Colorações essencialmente infinitas de hipergrafos

Resumo:

O tema básico da teoria de Ramsey é, grosseiramente falando, a investigação de estruturas que são resistentes a partições finitas ou colorações finitas (isto é, colorações com um número limitado cores). Em geral, temos um estrutura `grande' e uma estrutura-alvo menor, e o objetivo é mostrar que, quando colorimos a estrutura grande com um número limitado de cores, há sempre uma subestrutura monocromática isomorfa à estrutura-alvo. Se a hipótese de o número de cores ser limitado é removida, não mais podemos garantir a existência de subestruturas monocromáticas, mas temos então as subestruturas coloridas canonicamente (por exemplo, como no teorema de Erdos e Rado).

O que acontece se impusermos a condição de que muitas cores devem ser usadas em nossas colorações? Discutiremos inicialmente uma forma de tornar esta pergunta precisa no contexto de colorações das arestas de hipergrafos, e apresentaremos um resultado sobre estruturas inevitáveis nessas colorações, que chamamos de essencialmente infinitas. Este resultado generaliza um resultado anterior, conjunto com Bollobás e Schelp [J. London Math. Soc. (2) 61 (2000), no. 3, 658-670], sobre colorações essenciamente infinitas de grafos. Um lema auxiliar que pode ser de interesse independente é uma versão do teorema de Erdos e Rado para hipergrafos $r$-partidos.

Um resultado análogo para colorações de inteiros e progressões aritméticas será mencionado.

Este é um trabalho conjunto com B. Bollobás (Memphis e Cambridge), V. Rödl (Atlanta), and A. Taraz (Berlim).