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MAC 118 - 2000

Lista de Exercícios MuPAD e GSP


 

Esta lista é um roteiro para as provas "on-line" de MuPAD e GSP.

Quanto ao sistema operacional (Windows/DOS), deve-se saber, no mínimo, realizar/entender a seguinte lista:
1. "Executar" ("rodar") um programa via "My Computer" e "Windows Explorer";
2. Operações com diretórios: criar, renomear, mover e apagar;
3. Operações com arquivos: criar, renomear, mover, copiar e apagar;
4. Operações com rede: executar, copiar, copiar em outra máquina.
 
 

MuPAD

  1. Sabendo que o MuPAD trata dados na notação fracionária, como extrair o numerador ou denominador de um número fracionário?
  2. Utilize funções do MuPAD para:
    3.     a. transformar uma fração em um número decimal com 20 casas depois da vírgula;
    b. calcular os fatores primos de 10234;
    c. verificar se um número inteiro é primo.
  3. Escreva um programa que verifique se um número inteiro n é primo. Caso o número não seja primo, o programa deve devolver a lista da decomposição de n em fatores primos.
  4. Utilize o programa do exercício anterior para construir um laço que verifique todos os números inteiros pertencentes ao intervalo entre 1 e 10.
  5. Escreva um programa que imprima a soma dos n primeiros ímpares, com n variando de 1 a 10. Exemplo:

    6. n soma
    1, 1
    2, 4
    3, 9
    4, 16
    ...
    10, 100
  6. Para o problema anterior, verifique a seguinte conjectura: soma = n2, ou seja, para cada n pertencente ao intervalo de 1 a 10, se a soma dos n ímpares for igual a n2 imprima "conjectura correta", caso contrário, imprima "conjectura errada".
  7. Escreva um programa que calcule o valor do polinômio n2-n+17 para n inteiro variando de 1 a 20. Caso o resultado seja um número primo, imprima n e o resultado, caso contrário, imprima n e a frase "não é primo".
  8. Usando o comando sum do MuPAD, faça um programa contendo um laço (use o comando for do MuPAD) que imprima n e
    9. (2i - 1),   para n de 1 até 10.
  9. Defina uma função f(x,y) que receba como entrada dois números reais x e y e devolva a sua soma. Calcule os valores de f para x = -3 e y = 2.
  10. Repita o exercício 7 para o polinômio n2+n+41, modificando a implementação do programa da seguinte maneira: faça uma função p que devolva o valor do polinômio. Escreva um programa que chame a função p para fazer a verificação da conjectura: p(n) é primo?
  11. Escreva uma função g(x) que receba uma lista como entrada e devolva o valor contido na n-ésima posição da lista. Teste a sua função g na lista de fatores primos gerada pelo comando lista:=ifactor(10234).
  12. Use o comando expand para a expressão x(x+1)(x-2).
  13. Encontre as raízes de x3-x2-2x usando o comando solve do MuPAD.
  14. Faça uma função f(x,n) que devolva o valor da expressão xn-xn-1-2x. Note que para n=3, a expressão se reduz a do exercício anterior. Teste f para os pontos obtidos acima, usando n=3, para verificar se de fato os valores obtidos no exercício anterior são as raízes da função!
  15. Faça um laço que calcule a expressão 2n- 1, para n variando de 10 até 20, e que imprima OK se o resultado da expressão for primo, caso contrário, imprima NÃO e a lista de fatores.
  16. Escreva um programa que troque dois elementos de uma lista de números inteiros.
  17. Escreva uma função troca que resolve o problema anterior. A função deve receber uma lista como parâmetro e mais dois outros parâmetros correspondendo aos índices da lista para os quais se deseja fazer a troca de conteúdo. Exemplo: troca([3,4,5,1,8], 2, 4) devolva a lista [3,1,5,4,8].
  18. Escreva um programa que calcula o fatorial de um número inteiro n (sem usar a função fact)
  19. Resolva o seguinte sistema de equações: x2+y2=2 e x+1=y, ou seja, encontre um a e um b tal que, a2+b2=2 e a+1=b . Use o comando solve do MuPAD.
  20. Defina uma lista com 5 elementos inteiros e faça um programa (bloco de comandos) que imprime a média aritmética destes 5 elementos usando variáveis com índices na sintaxe do MuPAD.
  21. Usando a expressão n2 + 3n + 1, faça um programa (bloco de comandos que contenha um laço usando o comando for do MuPAD) que calcula o resultado da expressão para n variando de 1 até 10, e que imprima OK se o resultado da expressão for primo, caso contrário imprima NÃO e a lista de fatores.
  22. Neste exercício você deverá usar 4 variáveis, a, b, c e d. As 3 primeiras (a, b, c) devem ser iniciadas, respectivamente, com os valores: 1, 1 e 51/2. Na linha seguinte, comece um laço for variando n de 3 até 10, com duas linhas subordinadas: - na primeira, faça as atribuições d recebe a+b, a recebe b e b recebe d (nesta ordem); na segunda, imprima o conteúdo da variável d (usando o comando print).
  23. Defina uma função no MuPAD que, dado N, devolva o valor da expressão
    24. (i2 + 3i + 1). Use o comando sum do MuPAD para simplificar a construção da função. Teste a sua função para N = 1, 2, 3, e 4.
  24. Dado p, faça o gráfico 3D da função sen(x)cos(x) no intervalo (-p,p). Use o comando do MuPAD plot3d.
  25. Dado p, faça o gráfico 2D da função x sen(x) no intervalo [-4p, 4p].

GSP

Básico:
1. Mudar preferências entre centímetros/polegadas, entre graus/radiano, etc
2. Mudar ícone seta (tranlação, rotação, dilatação)
3. Mudar ícone linha (segmento, semi-reta, reta)
4. Rotular objetos (incluindo alterar os nomes)
5. Operações com o "Graph": criar eixos, "plotar" medidas e pontos, etc
6. Saber usar a calculadora: operações básicas (+,-,*,/,^) e aplicações de funções especiais (trigonométricas, exponencial,...)
7. Saber consultar o Help (principalmente o "Contents")
8. Saber abrir e gravar arquivos GSP ("Sketchs" e "Scripts")

Construções:
(respeite os rótulos sugeridos nos enunciados - esconder construções intermediárias)

1. A partir de dois pontos A e B, construir os seguintes objetos:

a. Um quadrado sobre AB
b. Um retângulo sobre AB de altura metade da base
c. Um triângulo equilátero sobre AB
d. Um segmento AB e dois pontos, C e D, sobre AB tal que: d(A,C)=d(C,D)=d(D,B) (ou seja, dividir AB em três segmentos de comprimentos iguais)


2. Com o exercício 1, fazer macros ("scripts") que, selecionando dois (e só dois) pontos, constrói o objeto correspondente


3. Dados dois pontos A e B, construir a figura ao lado (ou abaixo, acima...)
     a. construir um ponto E solto sobre AB
b. aplicar a macro 2.a para construir o quadrado ABCD
c. construir os pontos F, G e H, tais que d(A,E)=d(B,F)=d(C,G)=d(D,H)
d. construir os segmentos EF, FG, GH e HE
e. construir os interiores poligonais dos triângulos AEH, BEF, CFG e DHG, e das poligonais ABCD e EFGH
f. medir as áreas de todos on interiores criados e buscar alguma relação entre essas (vide figura ao lado)
4. Dados os pontos A e B,

a. construir o ponto C solto sobre uma semi-reta perpendicular a AB
b. construir os segmentos AC e BC, colocando-os em linha grossa e em azul
c. aplicar a macro 2.a para os pontos A e B, B e C e C e A
d. computar as áreas dos quadrados formados e procurar alguma relação
5. Repetir o exercício 4, desta vez trocando a macro 2.a por 2.b
6. Repetir o exercício 4, desta vez trocando a macro 2.a por 2.c
7. Dados duas retas perpediculares, x e y, uma reta d perpendicular a y e um ponto F sobre y,
a. construir um ponto solto sobre o eixo x
b. construir o ponto P tal que d(P,F)=d(P,d) e d(P,d) = min{ d(P,D): D está em d} (distância de ponto a reta)
c. mover os objetos base e descobrir qual objeto está sendo desenhado (via "Display|Trace Point" e também "Construct|Locus")
8. Dados três pontos A, B e C
a. construa uma circunferência de centro A e raio B e coloque sobre a mesma um ponto D
b. construa uma corda começando em D e passando por C
c. crie o ponto E interseção da corda e a circunferência
d. construa as medidas de CD e CE e tente descobrir algum invariante
9. Dados dois pontos A e B, construa uma macro que
a. divida AB em três partes iguais, d(A,C)=d(C,D)=d(D,b)
b. construa o ponto E tal que o triângula CDE seja equilátero
c. construa os segmentos AC, CE, ED e DB e esconda os pontos C, D e E
10. Faça uma macro como em 9, mas que seja recorrente para cada segmentos criado
11. Dada um circunferência de centro A e raio AB, construa uma macro recorrente que
a. desenha os polos norte/sul/leste/oeste, respectivamente E, C, B e D
b. sobre cada segmento AE, AD, AB e AC, construa novas circunferências de raio metade de d(A,B), com centros respectivamente em E, D, B e C
c. esconda os pontos intermediários criados
d. aplique a macro criada com a maior profundidade que o micro que você estiver usando aguentar
 
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