Curso de Cálculo V
MAP 0217 / MAT 0311
Professor: Pedro Tavares Paes Lopes
Notas Finais (Após a SUB) Notas Finais (com Sub)
Após Rec: Nota Final (10736632): 3,6 (a nota da Rec foi 3,6)
Horário:
Segunda-feira às 10:00 hs
Quarta-feira às 8:00 hs
Sexta-feira às 10:00 hs
Monitoria: Quarta-feira às 13:00 na sala 169 do bloco B.
Avaliação:
Máximo{0,9*(Prova 1 +Prova 2 + Prova 3)/3+0,1*Lista, (Prova 1 +Prova 2 + Prova 3)/3} NOVO
A lista para entregar é opcional. Ela só pode melhorar a nota.
Critério da SUB: Poderão fazer a sub os seguintes alunos:
1) Quem não fez uma das 3 provas. Neste caso, a nota da Sub conta como a nota da prova que falta.
2) Quem tirou nota final menor do que 5. Neste caso, a nota final será:
Máximo{Nota sem Sub, (Nota sem sub + prova sub)/2}
A sub é a mesma para todos e cai toda a matéria.
Critério da REC: Poderão fazer a rec os alunos que tiraram nota final entre 3 e 4,9. Neste caso, a nota final será:
Máximo{Pfinal, Prec}
Data das Provas:
P1) 20 de setembro de 2019
P2) 1 de novembro de 2019
P3) 6 de dezembro de 2019
Psub) 9 de dezembro de 2019
Prec) 24 de janeiro de 2020 às 10 horas.
Atenção:
Quem não puder fazer alguma das provas acima (e tiver justificativa) poderá fazer a prova substitutiva. A regra de avaliação continuará a mesma: a média das provas feitas. (Lembramos também que colar = reprovação imediata)
Referências:
1) Análise Real volume 2, Elon Lages Lima.
2) Cálculo Diferencial Geométrico no Rn, Élvia Sallum, Lucia Murakami, Juaci da Silva.
Site: http://www.ime.usp.br/~ricardo/calculogeometrico/calculo_diferencial_geometrico_Rn.pdf
3) Espaços Métricos, Elon Lages Lima.
Lista para Entregar:
1) Lista para entregar (para o dia 3 de dezembro) NOVO
Em .tex Lista para entregar (Arquivo .tex)
Exercícios para estudar:
1) Primeira Lista de Exercícios (Não precisa entregar). Primeira Lista de Exercícios
2) Segunda Lista de Exercícios (Não precisa entregar). Segunda Lista de Exercícios (Alguns Exercícios Resolvidos)
3) Alguns exercícios extras para praticar: Exercícios Extras 1 / Exercícios Extras 2 / Exercícios Extras 3
4) Terceira Lista de Exercícios (Não precisa entregar. Recomendo fazer os exercícios do livro do Elon também). Terceira Lista de Exercícios
Alguns Exercícios Resolvidos da lista 3. Cuidado! Estas resoluções foram feitas sem revisão e podem conter erros (Exemplo: Ignore a solução do exercício 1 b)). Eu as coloco aqui apenas para poder ajudar àqueles que não puderam comparecer à aula extra de exercícios. Use-as com senso crítico!
5) Quarta Lista de Exercícios (Não precisa entregar). Quarta Lista de Exercícios
Todos Exercícios Resolvidos - Lista 4 da lista 4.
Alguns exercícios extras para praticar. Exercício Extras 6 - Gabarito Extras 6 / Exercícios Extras 7 - Gabarito Extras 7
Notas das Provas:
1)
O curso aula por aula (Aproximadamente):
Dia 02/08: Definição de espaços métricos e topológicos. Espaços normados e espaços com produto interno. A desigualdade de Cauchy-Schwartz. A métrica vinda de normas.
Dia 05/08: O espaço métrico induzido (subconjuntos de espaços métricos) e o espaço métrico produto. Definição de bola aberta e conjuntos abertos. Exemplos e propriedades de abertos. Caracterização de abertos no espaço métrico induzido e no espaço produto. Demonstração de que os abertos de Rn independem das métricas da soma, euclideana e do máximo.
Dia 07/08: Os abertos do espaço produto independem das métricas da soma, euclideana e do máximo. Conjuntos fechados. Propriedades e exemplos. A bola fechada é fechada. Definição de interior e de fecho. Propriedades do interior e caracterização do interior usando bolas abertas.
Dia 09/08: Propriedades do fecho. Pontos aderentes e de acumulação. Definição de distância de um ponto a um conjunto. Caracterização do fecho como o conjunto dos pontos aderentes e também como a união do conjunto com os seus pontos de acumulação. Exemplos.
Dia 12/08: Fronteira de um conjunto. Descrição de M como união entre interior de X (subconjunto de M), interior do complementar de X e fronteira de X. Definição de sequências, subsequências. Limites de sequências e unicidade do limite.
Dia 14/08: Limitação de sequências convergentes. Caracterização de convergência de sequências e subsequências usando bolas. Caracterização de fechados, pontos de aderência e de acumulação usando sequências. Sequências de Cauchy e espaços completos.
Dia 16/08: Subconjuntos fechados de espaços métricos completos são completos. Produto de espaços métricos são completos. Definição de conjuntos compactos e exemplos. Propriedades de conjuntos compactos (união finita de conjuntos compactos é compacto, intersecção de compactos é compacto, compactos são fechados e limitados, conjuntos fechados de compactos são compactos).
Dia 19/08: Caracterização de conjuntos compactos usando fechados. Propriedade da intersecção finita. Distância entre conjuntos e entre fechados e compactos. Conjuntos totalmente limitados.
Dia 21/08: Caracterização de compactos usando sequências e como conjuntos completos e totalmente limitados. Demonstração de que compactos em Rn são os conjuntos fechados e limitados. Definição de funções contínuas e equivalência de definições.
Dia 23/08: Caracterização de funções contínuas: “volta” abertos em abertos, fechados em fechados é tal que a imagem do fecho está contido no fecho da imagem. Exemplos de funções contínuas: produto interno, norma, soma em Rn, multiplicação por escalar em Rn. Composição de funções contínuas é contínua. A continuidade é uma propriedade local.
Dia 26/08: Caracterização de continuidade usando sequências. Função contínua leva compacto em compacto. Função contínua de um compacto M em R tem sempre máximo e mínimo. Funções contínuas no círculo.
Dia 28/08: Definição e exemplo de funções uniformemente contínuas. Funções Lipschitz e contrações. Teorema do ponto fixo de Banach. Definição de homeomorfismo. Alguns exemplos para ilustrar a definição.
Dia 30/08: Exemplos de homeomorfismos. Funções contínuas, bijetoras e com domínio compacto são homeomorfismos. Métricas equivalentes. Cisão, conjuntos conexos e desconexos. Definições equivalentes de conexidade. Exemplos e propriedades: fecho de conexo é conexo. União de conexos com intersecção não vazia é conexo.
Dia 09/09: Teorema da alfândega. Componentes conexas. As componentes conexas são fechadas e disjuntas. Exemplos de componentes conexas (em Q são apenas conjuntos com um ponto). Imagens de conexos por funções contínuas são conexos. R e S1 não são homeomorfos.
Dia 11/09: Os conexos de R são os intervalos. Teorema do valor intermediário. Caminhos e conexidade por caminhos. Imagens de conexos por caminhos por funções contínuas são conexos por caminhos. União de conexos por caminhos com intersecção não vazia é conexo por caminho. Conexo por caminhos são conexos. Exemplos.
Dia 13/09: Conjunto conexo, mas que não é conexo por caminhos. Conexidade + conexidade local por caminhos implica conexidade por caminhos. Propriedades de produtos cartesianos de espaços métricos: as projeções são uniformemente contínuas. Produtos de abertos, fechados, conexos, conexos por caminhos, compactos e completos são também abertos, fechados, conexos, conexos por caminhos, compactos e completos respectivamente.
Dia 16/09: Normas em Rn. Todas as normas em Rn são equivalentes. Definição de limite em Rn. Limite e sequências. Limite e continuidade. Limite de funções com valores em Rn.
Dia 18/09: Aula de resolução de exercícios para a primeira prova.
Dia 20/09: Primeira Prova.
Dia 23/09: Definição de funções de abertos de Rn em R diferenciáveis e a sua derivada. Derivadas direcionais e parciais. O teorema de Riesz e a definição do gradiente. Alguns exemplos patológicos.
Dia 25/09: Definição de funções C1. Prova de que são diferenciáveis. Regra da cadeia e suas consequências. O teorema do valor médio.
Dia 27/09: Propriedades do gradiente: se o gradiente se anula, a função é constante em cada componente conexa. Curvas e superfícies de nível. O gradiente aponta para a direção de maior crescimento e é ortogonal às curvas de nível. Exemplos. Derivadas parciais de ordem superior. O Teorema de Schwartz.
Dia 30/09: Série de Taylor. Definição e demonstração.
Dia 02/10: Unicidade da série de Taylor. Série de Taylor com resto de Lagrange e resto integral. Formas bilineares e formas quadráticas (positivas, negativas, definidas, ...).
Dia 04/10: Classificação de formas quadráticas a partir de seus autovalores. Definição de máximos e mínimos locais/globais/estritos e pontos críticos. Condições suficientes para ser ponto de máximo ou mínimo local. Condições necessárias para um ponto ser máximo ou mínimo local. Exemplos.
Dia 07/10: O Teorema da Funções implícitas para funções de Rn em R. Enunciado e demonstração. Definição de hiperfície (conjuntos que são localmente gráficos de funções) e exemplos.
Dia 09/10: Espaço tangente de uma hiperfície. Caracterização. Valores regulares de funções e curvas de nível. Espaço tangente de superfícies de nível. Nem toda hiperfície é uma superfície de nível (exemplos de hiperfícies não orientáveis). Exemplos da esfera, quádricas e grupo unimodular (matrizes com determinante igual a 1).
Dia 11/10: Espaço tangente do grupo unimodular. Máximos e mínimos em superfícies. Método dos multiplicadores de Lagrange. Exemplo de aplicação.
Dia 14/10: Exemplos e aplicações do método dos multiplicadores de Lagrange.
Dia 21/10: Funções convexas. Definição e propriedades gerais. Propriedades de funções convexas em uma variável.
Dia 23/10: Propriedades de funções convexas em várias variáveis. O epigráfico. Uma função é convexa se tiver hessiano não negativo em todo ponto. Uma função convexa com ponto crítico tem mínimo nesse ponto. Início da demonstração de que toda função convexa num aberto é contínua.
Dia 25/10: Fim da demonstração de que toda função convexa num aberto é contínua. Exercício do Elon sobre Cauchy-Schwartz. Cauchy-Schwartz usando multiplicadores de Lagrange. Começo da terceira parte da matéria. Definição de funções diferenciaveis de Rm em Rn. A derivada e a sua representação matricial: a matriz Jacobiana.
Dia 30/10: Uma função f=(f1,…,fn) é diferenciável se, e somente se, todas as componentes fi são diferenciáveis. Exemplo de funções diferenciáveis: Caminhos, funções de Omega em R, funções lineares, bilineares e multilineares, soma, produto interno e derivação complexa.
Dia 31/10: Aula Extra às 14 horas para resolução de exercícios.
Dia 01/11: Segunda Prova.
Dia 04/11: Propriedades de aplicações diferenciáveis. Funções constantes em conexos são as funções diferenciáveis com derivada nula. Regra da cadeia. Regras de derivação (lineares, bilineares, multilineares,…). Exemplos e aplicações: determinante da exponencial da matriz é igual ao determinante de seu traço.
Dia 06/11: Mais aplicações: derivada da inversa de matrizes. Desigualdade do valor médio. Derivadas de ordem superior. Funções de classe Ck.
Dia 08/11: Isomorfismo entre “aplicações lineares de aplicações lineares” e aplicações bilineares. Diferenciabilidade uniforme.
Dia 11/11: Difeomorfismo. Propriedades: Se f é difeo de classe Ck, então sua inversa também é de classe Ck. Difeomorfismos locais e suas propriedades: um difeo local é uma função aberta, se um difeo local for injetor então é um difeomorfismo, um difeo local leva espaços de mesma dimensão. Exemplo da exponencial complexa (difeo local, mas não global).
Dia 13/11: Começo da demonstração do Teorema da Aplicação inversa (Diferenciabilidade do homeomorfismo inverso).
Dia 18/11: Teorema da aplicação inversa. Raízes de matrizes quadradas. Forma local das submersões.
Dia 22/10: Teorema da Aplicação implícitas.
Dia 25/10: Forma local das imersões e funções com posto constante.
Dia 27/10: Enunciado do Teorema do Posto e consequências. Superfícies diferenciáveis: definição, parametrizações. Exemplos. Propriedades de parametrizações.
Dia 29/10: Mudança de coordenadas em superfícies. O espaço vetorial tangente de uma superfície. O espaço vetorial de uma superfície dada como função inversa de um valor regular. Pontos de máximos, mínimos e críticos numa superfície. Teorema dos Multiplicadores de Lagrange.
Dia 02/11: Exemplos de superfícies (matrizes ortogonais) e aplicações do teorema dos multiplicadores de Lagrange. Resolução de exercícios.
Dia 04/11: Aula de exercícios.
Dia 06/11: Terceira Prova.
Dia 09/11: Prova Sub.