Equações Diferenciais Parciais

MAP 5712

Professor: Pedro Tavares Paes Lopes

Local da Prova Sub: Sala 138 B (bloco B), às 8 horas, dia 29 de novembro.

Notas Notas P1 / Notas P2 / Notas e Conceitos Finais

Horário:

Quartas-feiras: 10:00 às 12:00 horas;

Sextas-feiras: 08:00 às 10:00 horas.

Ementa: https://uspdigital.usp.br/janus/componente/disciplinasOferecidasInicial.jsf?action=3&sgldis=MAP5712

Referências:

1) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations. 2th edition. American Mathematical Society: Rhode Island, 2010. (Principal)

2) Gerald B. Folland, Introduction to Partial Differential Equations. 2th edition. Princeton University Press: New Jersey, 1995.

3) Fritz John, Partial Differential Equations. 4th edition. Springer-Verlag: New York, 1981.

Algumas outras referências interessantes:

4) Qing Han, A basic course in partial differential equations. American Mathematical Society, 2011.

5) András Vasy. Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 2015.

Avaliação:

2 provas (P1 e P2) e uma substitutiva não obrigatória (S). A nota final será dada por Max{(P1 + P2)/2,(P1 + S)/2,(S + P2)/2}, em que S é a prova substitutiva.

Data das Provas:

P1) 2 de outubro de 2019

P2) 27 de novembro de 2019

PSub) 29 de novembro de 2019

Exercícios:

Para a primeira prova, façam os exercícios dos capítulos 1 e, principalmente, 2 do Evans.

Abaixo, estão algumas sugestões de exercícios interessantes do Folland que complementam o estudo. (A lista será atualizada ao longo do curso).

Exercícios complementares (Última atualização: 24 de setembro de 2019, 11:17)

Exercícios para a P2 (Última atualização: 22 de novembro de 2019, 00:15. Não serão colocadas mais exercícios. O antigo exercício 13 foi excluído, pois usava material não visto em sala de aula)

Alguns poucos exercícios corrigidos. (Ignore o exercício 18! Eu preciso repassá-lo a limpo. Use as respostas com senso crítico.) Alguns exercicios

O curso aula por aula (Aproximadamente):

Dia 07/08: Definição de equação diferencial parcial e sistemas de equações diferenciais parciais. Exemplos de equações lineares, semilineares, quasilineares e totalmente não lineares. Dedução física da equação do transporte e seu estudo no caso homogêneo.

Dia 09/08: Estudo da equação do transporte no caso não homogêneo. Dedução física das equações de Laplace e Poisson. Definição de condições de contorno de Dirichlet, Neumann e Robin. Definição de funções harmônicas e o exemplo das funções holomorfas. Recordação de certos fatos sobre integrais de superfície (em especial em esferas). Demonstração do princípio do valor médio para funções harmônicas. Sugestões de exercícios

Dia 14/08: Teorema do máximo forte. Positividade de funções harmônicas. Unicidade do problema de Dirichlet em abertos limitados. Prova de que uma função contínua satisfaz o princípio do valor médio se, e somente se, ela é C infinita e harmônica. Em particular, toda função harmônica é C infinita. Prova de que sequências de funções harmônicas que convergem uniformemente sobre compactos, necessariamente convergem para uma função harmônica.

Dia 16/08: Fim da demonstração de que uma função u que satisfaz o princípio do valor médio é C infinita. Estimativas locais das derivadas de funções harmônicas. Teorema de Liouville e unicidade de soluções limitadas C2 módulo constantes para a equação de Poisson em Rn. Definição de funções analíticas e algumas de suas propriedades.

Dia 21/08: Funções harmônicas são analíticas. Desigualdade de Harnack. Solução fundamental do laplaciano: motivação e definição.

Dia 23/08: Solução do problema de Poisson em Rn. Motivação para a definição da função de Green num aberto limitado. A identidade de Green, usando a solução fundamental.

Dia 28/08: Definição da função de Green. Propriedades de simetria. Enunciado de existência de funções de Green. Exemplo de funções de Green no semiplano e na bola.

Dia 30/08: Solução do problema de Dirichlet no semiplano. Dedução física da equação do calor. Motivação da solução fundamental, definição e interpretação. Propriedades da solução fundamental da equação do calor. Solução do problema homogêneo. Analogia com exponencial de matrizes.

Dia 11/09: A solução da equação do calor não homogênea em Rn. Equação do calor em abertos limitados. Princípio do máximo forte e unicidade das soluções (não provamos existência).

Dia 13/09: Princípio do máximo para o problema de Cauchy em Rn. Unicidade do problema de valor inicial do calor em Rn. Prova da regularidade das soluções da equação do calor: uma função em C21 automaticamente é C infinito.

Dia 18/09: Término da prova de regularidade da solução da equação do calor. Equação da onda: dedução física através das equações de Maxwell. Solução em R e em R+ usando as soluções da equação de transporte. Fórmula de d'Alembert.

Dia 20/09: Solução da equação da onda em R2 e em R3. A equação de Euler-Poisson-Darboux. Fórmulas de Kirchhoff e Poisson. O método de “descent”.

Dia 25/09: Resolução da equação da onda em Rn, n arbitrário: Estratégia e esboço da demonstração. O método de energia para a equação de Laplace: Unicidade e princípio de Dirichlet (uma função é solução do problema de Dirichlet se, e somente se, for um mínimo de um determinado funcional).

Dia 27/09: O método de energia para equação do calor: Unicidade e Backwards uniqueness. O método de energia para a equação de onda: Unicidade e propagação finita de velocidades (domínio de dependência).

Dia 30/09: Aula Extra às 12:00: Resolução de Exercícios.

Dia 02/10: Primeira Prova.

Dia 04/10: O Método das Características: O Caso semilinear. Curvas integrais e características e receita para achar soluções. Exemplos. Enunciado do teorema de existência local de soluções.

Dia 09/10: O Método das Características: O Caso quasilinear. Curvas integrais e características e receita para achar soluções. Exemplos. Demonstração do teorema de existência local de soluções.

Dia 11/10: O Método das Características: O Caso totalmente não linear. Curvas integrais e características e receita para achar soluções. Exemplos. Enunciado do teorema de existência local de soluções.

Dia 16/10: Exemplos de características no caso totalmente não linear: A equação de Hamilton-Jacobi e a formulação lagrangeana.

Dia 18/10: Não teve aula.

Dia 23/10: Demonstração do teorema de existência e unicidade para o caso totalmente não linear. Formulação do problema com condições iniciais em hiperfícies. Começo do estudo de problemas quasilineares de ordem mais alta (método de potências)

Dia 25/10: Determinação das derivadas das funções a partir das condições iniciais. Superfícies não características. Algumas propriedades gerais de funções reais analíticas.

Dia 30/10: Redução do problema de ordem alta a um problema de ordem 1. O método dos majorantes.

Dia 01/11: Demonstração do Teorema de Cauchy-Kowaleskaya. Pequena discussão sobre o Teorema de Holmgren e o problema de Lewy.

Dia 06/11: Distribuições definição e propriedades de funções C\infinita com suporte compacto. Convergência de funções e distribuições. Derivada de funções e multiplicação por funções suaves. Exemplos.

Dia 08/11: Soluções fracas de lei de conservação (equação quasi-linear de primeira ordem). Definição de transformada de Fourier e suas propriedades com multiplicação por polinômios e derivação. Funções de Schwartz. Símbolos de operadores.

Dia 13/11: Demonstração da fórmula da inversa da Transformada de Fourier. Transformada de Fourier parcial. Convolução e transformada de Fourier. Solução da equação do Calor. Começo da discussão sobre distribuição temperada.

Dia 22/11: Distribuições temperadas. Transformada de Fourier de distribuições temperadas. Soluções fundamentais.

Dia 25/11: Aula de exercícios extra (12:30?).

Dia 27/11: Prova 3

Dia 29/11: Prova Sub