Matemática 3
CCM0213
Professor: Pedro Tavares Paes Lopes
Atenção: A prova P2 do dia 6 de novembro começará às 12:30 para que vocês tenham mais tempo para fazê-la.
Horário:
Segundas-feiras:
13:00 às 15:00 horas;
Quartas-feiras: 13:00 às
15:00 horas;
Quintas-feiras: 16:00 às 18:00 horas.
Não haverá aulas nos dias 14, 16, 17 e 21 de agosto.
Monitoria: Horário: Terça-feira às 13 horas na sala de aula - Monitor: Frank Navarro.
Ementa: https://uspdigital.usp.br/jupiterweb/obterDisciplina?sgldis=CCM0213
Referências:
1) Calculus vol. 2 ed. 2, Tom M. Apostol. (Deixei na biblioteca do IME um reservado para consulta)
Para a segunda prova, aqui está um resumo dos resultados (com algumas coisas a mais) que foram apresentados em sala de aula: Resultados 1, Resultados 2. Este resumo não contém exponencial de matrizes. Para a exponencial de matrizes, seguimos o livro do Apostol.
Para a parte de operadores adjuntos e auto-adjuntos, seguimos o livro Linear Algebra do Hoffmann e Kunze. Mais especificamente o capítulo 8.3 (linear functionals and adjoints). O livro pode se encontrado procurando por Hoffman e Kunze no google.
Sobre o critério de diagonalização (multiplicidade geométrica e algébrica), seguimos o livro Álgebra Linear e Aplicações do Callioli, Domingues e Costa. Mais especificamente, o capítulo 2 (Diagonalização de operadores) da segunda parte.
Avaliação:
3 provas + exercícios para entregar.
Nota final = 0,9*(P1 + P2 + P3)/3 + 0,1*(Exercícios para entregar)
Data das Provas:
P1) 25 de setembro
P2) 6 de novembro
P3) 11 de dezembro
Psub) 14 de dezembro
Notas das Provas:
Notas (FINAL) Ao lado seguem todas as notas (Novo).
Aviso: Para a aluna com número USP 8022103, a nota final após a correção da lista 3 é 5,0. Logo está aprovada. Não é necessário fazer a sub. Os demais alunos que estão abaixo de 5 precisam fazer a sub, já que as notas finais deles seriam abaixo de 5, mesmo se a nota da lista 3 for igual a 10.
Atenção:
Quem não puder fazer alguma das provas acima (e tiver justificativa) poderá fazer a prova substitutiva. A regra de avaliação continuará a mesma: a média das provas feitas. (Lembramos também que colar = reprovação imediata)
Os alunos que fizerem todas as provas no período normal e que estiverem abaixo da média (somente os alunos com nota final menor do que 5), também poderão fazer a prova substitutiva. Neste caso a nota final será obtida substituindo a nota da menor nota das provas pela nota da SUB.
Rec:
Para aqueles que fizerem a Rec, a nota final será
em que M é a média final (antes da Rec) e Rec é a nota da Rec.
Notas de aula: notas de aula
Problemas para fazer e entregar:
Primeira lista para entregar (Adiado a pedido de alunos para o dia 18 de setembro, segunda-feira) Lista 1 para entregar
Segunda lista para entregar (para o dia 6 de novembro) Lista 2 para entregar
Terceira lista para entregar (para o dia 11 de dezembro) Lista 3 para entregar
Primeira Lista de Exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Lista 1 matematica 3
Segunda Lista de Exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Lista 2 matematica 3
Terça Lista de Exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Lista 3 matematica 3
Quarta Lista de Exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Lista 4 matematica 3
Quinta Lista de Exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Lista 5 matematica 3
Sexta Lista de Exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Lista 6 matematica 3
Sétima Lista de Exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Lista 7 matematica 3
Alguns poucos exercícios resolvidos: Lista 1, Lista 2 e Lista 3
O curso aula por aula:
Dia 02/08: Espaços vetoriais. Propriedades básicas. Subespaços. Combinação linear e espaços vetoriais gerados por conjuntos de vetores.
Dia 03/08: Dependência e independência linear. Base e dimensão. Exemplos.
Dia 07/08: Fim da demonstração do teorema: Se um espaço vetorial tem uma base finita, então toda outra base têm o mesmo número de elementos. Prova de que todo conjunto L.I. faz parte de uma base. Início de Produto Interno.
Dia 09/08: Produtos internos, normas e suas propriedades. Desigualdade de Cauchy-Schwartz. Ortogonalidade.
Dia 10/08: Componentes de vetores em relação a bases ortogonais e ortonormais. Método de ortogonalização de Gram-Schmidt. Projeções ortogonais.
Dia 23/08: Transformações lineares. Definição de núcleo, imagem e teorema do núcleo e da imagem.
Dia 24/08: Exemplo do operador de projeção. Transformações lineares injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Inversa de transformações lineares.
Dia 28/08: Conjunto das transformações lineares e propriedades de adição, multiplicação por escalar e composição. Definição de matrizes e suas propriedades.
Dia 30/08: Definição de distância e espaços métricos. Representação de transformações lineares por matrizes.
Dia 31/08: Resolução de sistemas lineares. Escalonamento. Operações elementares e sistemas equivalentes. Exemplos de sistemas incompatíveis, compatíveis determinados e compatíveis indeterminados.
Dia 11/09: Sistematização de resolução de sistemas. Sistema escalonado. Soluções homogêneas. Matrizes invertíveis e equivalentes. Matrizes elementares.
Dia 13/09: Método de inversão de matrizes. Exemplos. Definição de determinantes e exemplos. Método de Gauss-Jordan.
Dia 14/09: Prova da unicidade do determinante. Demonstração de que det(AB)=det(A)det(B).
Dia 18/09: Matriz dos cofatores e Regra de Cramer. Demonstração da existência de determinantes. Prova de que det(A)=det(A transposta).
Dia 20/09: Exemplos de matriz de cofatores e regra de Cramer. Definição de autovalores e autofunções. Definição de autoespaço. Prova de que autovetores associados a autovalores distintos são L.I. Definição de polinômio característico.
Dia 21/09: Demonstração de que o polinômio característico é de fato um polinômio. Definição de traço de matriz. Método para determinar autovetores e autovalores. Matriz de mudança de base e mudança de base na matriz que representa uma transformação linear.
Dia 22/09: Aula extra de exercícios (das 10 às 12).
Dia 25/09: (Aula Dupla) Regra de Cramer e inversão de matrizes. Primeira Prova.
Dia 26/09: (Aula dupla) Definição de transformações lineares diagonalizáveis. Multiplicidade geométrica e algébrica. Prova de que A é diagonalizável se, e somente se, as multiplicidades geométricas e algébricas coincidem. Sistematização da diagonalização. Definição de operadores adjuntos. Prova de que em dimensão finita os adjuntos sempre existem.
Dia 28/09: Operadores autoadjuntos. Prova de que eles são diagonalizáveis e admitem base ortonormal de autovetores. Exemplos.
Dia 02/09: Exemplo de diagonalização de operador autoadjunto e de operadores autoadjuntos. Transformações lineares e matrizes unitárias e ortogonais e suas propriedades.
Dia 04/10: Diagonalização de matrizes unitárias. Formas quadráticas e diagonalização de formas quadráticas.
Dia 05/10: Retomando formas quadráticas. Apresentação de sistemas de EDOs. Transformação de EDOs de grau maior do que um em sistemas de EDOs. Resolução via variação de coeficientes para EDOs escalares.
Dia 09/10: Definição de derivada e integral de matrizes. Convergência de séries de matrizes. Norma de matrizes. Definição de exponencial de matrizes e exemplos.
Dia 11/10: Resolução de sistemas de EDOs via exponencial de matrizes: existência e unicidade. Demonstração de que exp(A+B)=exp(A)exp(B), se A e B comutam, e de que a inversa de exp(A) é igual a exp(-A). Método de calcular exponencial usando diagonalização.
Dia 16/10: Exemplo de resolução de EDO usando exponenciação. Enunciado do Teorema: Toda matriz A complexa é igual a uma matriz diagonalizável mais uma nilpotente que comutam. Estudo da equação Y’(t)=AY(t)+Q(t). Início do estudo da equação Y’(t)=A(t)Y(t)+Q(t).
Dia 18/10: Demonstração da existência de soluções de Y’(t)=A(t)Y(t) por métodos iterativos e demonstração da existência de soluções de Y’(t)=A(t)Y(t)+Q(t).
Dia 19/10: Começo de cálculo em R^n. Bolas abertas. Conjuntos abertos e fechados. Prova de que toda bola aberta é um aberto. Exemplos. Topologia do R^n.
Dia 23/10: Pontos exteriores e de fronteira. Continuidade e limite. Propriedades e exemplos.
Dia 25/10: Exemplo de função contínua separadamente em x e em y, mas não contínua. Continuidade da composição. Derivada direcional. Derivadas parciais e de ordem superior. Exemplo de função em que as derivadas de ordem maior não comutam. Exemplo de função que tem todas as derivadas direcionais, mas que não é contínua.
Dia 26/10: Funções diferenciáveis. Propriedades das funções diferenciáveis: são contínuas e as derivadas direcionais existem. Definição de derivada como uma transformação linear. O gradiente.
Dia 30/10: Regra da cadeia. Prova de que toda função C1 é diferenciável. Exemplo com curvas de nível.
Dia 01/11: Aula de exercícios para a P2.
Dia 06/11: Segunda Prova.
Dia 08/11: Funções diferenciáveis de Rm em Rn. Derivadas direcionais. Regra da cadeia. Diferenciabilidade implica continuidade. Matrizes Jacobianas.
Dia 09/11: Exemplo de uso da regra da cadeia. Exemplo de solução de equações de primeira ordem.
Dia 13/11: Exemplo de resolução da equação da onda. Derivadas de funções dadas implicitamente.
Dia 22/11: Exemplo de derivação implícita. Definição de máximos e mínimos locais. Pontos críticos. Critério para determinar máximos e mínimos locais. Fórmula de Taylor.
Dia 23/11: Estudo do sinal de formas quadráticas (positiva, negativa,…) usando autovalores da forma quadrática. Demonstração do critério de máximos e mínimos. Exemplos.
Dia 27/11: Estudo de máximos e mínimos com uma restrição usando multiplicadores de Lagrange. Exemplos e aplicações.
Dia 29/11: Estudo de máximos e mínimos usando multiplicadores de Lagrange com mais de uma restrição. Exemplos e aplicações.
Dia 30/11: Estudo sobre conjuntos compactos. Definição em R^n, caracterização via sequências e subsequências e demonstração de existência de máximo e mínimo de uma função contínua definida num compacto.
Dia 4/11: Teorema de Schwarz e resolução de exercícios da lista.
Dia 7/11: Resolução de exercícios das listas 6 e 7.
Dia 8/11: Resolução de exercícios das listas 6 e 7.