Matemática 3

CCM0213

Professor: Pedro Tavares Paes Lopes

Prova Rec no dia 14 de janeiro, segunda-feira, às 14 horas na sala de aula no INOVA.

(Caso esse dia for muito complicado, por favor me mande um e-mail: pplopes@ime.usp.br).

OBS: Caso queiram monitoria ou rever alguma das listas, favor contatar diretamente o monitor por e-mail.

Horário:

Segundas-feiras: 14:00 às 16:00 horas;

Quartas-feiras: 14:00 às 16:00 horas;

Quintas-feiras: 16:00 às 18:00 horas.

Monitoria:

Horário: Quarta às 19h

Monitor: Lucas Galhego Mendonça

E-mail do monitor: luk.galhego@gmail.com ou lgalhego@ime.usp.br

Local: “sala de estudos da monitoria” 169, primeiro andar do bloco B do IME.

Ementa: https://uspdigital.usp.br/jupiterweb/obterDisciplina?sgldis=CCM0213

Referências:

1) Calculus vol. 2 ed. 2, Tom M. Apostol.

Avaliação:

3 provas + exercícios para entregar.

Nota final = 0,9*(P1 + P2 + P3)/3 + 0,1*(Exercícios para entregar)

Data das Provas:

P1) 20 de setembro de 2018

P2) 8 de novembro de 2018

P3) 6 de dezembro de 2018 P3 para casa .

OBS: 1) Havia um pequeno erro no formulário da questão 4. Se a intersecção de conexos não for vazia, então a união também é conexa.

Psub) 13 de dezembro, quinta-feira, às 14 horas na sala de aula do INOVA (a mesma onde ocorre o curso).

Notas das Provas:

Notas Finais provas 1, 2 e 3, lista 1 e 2 OBS: 1) Havia um erro no arquivo .xls que eu estava usando. Algumas notas foram alteradas (para mais, felizmente).

Atenção:

Quem quiser ou faltou numa das provas, pode fazer a sub para substituir a nota da pior prova. A sub não substituirá a nota da prova, caso a nota da sub for pior do que a prova que está sendo substituída. (A sub não piora nota)

Os alunos que fizeram todas as provas no período normal e que estiverem abaixo da média (nota final menor do que 5), também poderão fazer a prova substitutiva. Neste caso a nota final será obtida como sendo

máximo {nota antes da sub, (Pfinal+Sub)/2, nota com a sub substituindo a menor nota das provas 1, 2 e 3}.

Rec:

Para aqueles que fizerem a Rec, a nota final será

em que M é a média final (antes da Rec) e Rec é a nota da Rec.

Notas de aula: notas de aula

Provas do ano anterior: Primeira prova de 2017, Segunda prova de 2017, Prova sub de 2017. (A prova sub continha matéria da P3 diferente).

Problemas para fazer e entregar:

Primeira lista para entregar Lista 1 para entregar (Para o dia 27 de setembro)

Segunda lista para entregar Lista 2 para entregar (Para o dia 8 de novembro)

Terceira lista para entregar Lista 3 para entregar (Para o dia 5 de dezembro)

Primeira Lista de Exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Lista 1 matematica 3

Segunda Lista de Exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Lista 2 matematica 3

Terça Lista de Exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Lista 3 matematica 3

Quarta Lista de Exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Lista 4 matematica 3

Quinta Lista de Exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Lista 5 matematica 3

Alguns poucos exercícios resolvidos: Lista 1, Lista 2 e Lista 3

Exercícios do Elon para treinar (capítulo 1 do livro análise em Rn. O livro possui resolução de todos os exercícios): Página 1, Página 2, Página 3, Página 4, Página 5

Para a prova, aqui segue um resumo de resultados de álgebra linear (com algumas coisas a mais) que foram apresentados em sala de aula: Resultados 1, Resultados 2.

O curso aula por aula:

Dia 08/08 e 09/08: Espaços vetoriais. Propriedades básicas. Subespaços. Combinação linear e espaços vetoriais gerados por conjuntos de vetores. Dependência e independência linear. Base e dimensão. Exemplos.

Dia 13/08: Definição de base. Exemplos. Base ordenada e combinação linear.

Dia 15/08: Teorema fundamental (Se V é gerado por k elementos, então todo conjunto com mais do que k elementos é L.D.) Propriedades de Base Dimensão.

Dia 16/08: Produto interno e norma. Definição e exemplos.

Dia 20/08 e 22/08: Desigualdade de Cauchy-Schwartz. Norma vinda de um produto interno. Ortogonalidade e conjuntos ortonormais. Fórumla de Parseval. Teorema de Gram-Schmidt e operadores de projeção.

Dia 23/08: Definição de transformações lineares. Exemplos. Teorema do núcleo e da imagem. Definição de transformações lineares injetoras, sobrejetoras e bijetoras.

Dia 27/08: Equivalência da noção de transformações lineares injetoras (Em particular, T é injetora se, e somente se, seu núcleo é {0}). Álgebra de transformações lineares.

Dia 29/08: Definição de matrizes e operações de matrizes: soma, multiplicação por escalar e multiplicação. Matriz associada a uma transformação linear.

Dia 30/08: Exemplos de matrizes associadas a transformações lineares. Isomorfismo entre espaço das transformações lineares e matrizes.

Dia 10/09: Resolução de sistemas lineares. Operações elementares nos sistemas. Sistemas compatíveis determinados e indeterminados e sistemas incompatíveis. Relação de sistemas com transformações lineares.

Dia 12/09: Exemplos de resolução de sistemas lineares. Matrizes inversíveis e inversão de matrizes. Propriedades e relações com sistemas lineares.

Dia 13/09: Matrizes elementares (definição). Relação de matrizes elementares com operações elementares. Método de inversão de matrizes.

Dia 17/09: Exercícios para Prova

Dia 19/09: Exercícios para Prova

Dia 20/09: Primeira Prova

Dia 24/09:

Dia 26/09:

Dia 27/09:

Dia 01/10: A matriz da transformação linear transposta é igual a transposta da matriz da transformação linear. Espaços duais em espaços com produto interno (Prova de que são dados pelo produto interno de um vetor). Definição de Bidual e propriedades. Definição de autovalor, autovetor e autoespaço.

Dia 03/10: Exemplos de autovalores e autovetores (derivada, integração, …). Alguns resultados: autoespaços são subespaços vetoriais, autovetores associados a autovalores distintos são L.I., num espaço de dimensão n temos no máximo n autovetores. Polinômio característico e método para determinar autovalores e autovetores.

Dia 04/10: Fórmula do determinante em termos de permutações. Polinômio característico. Estudo do efeito numa matriz de transformação linear de uma mudança de base. Prova de que o polinômio característico independe da base. Matriz e transformações lineares diagonalizáveis.

Dia 08/10: Operadores e matrizes adjuntas. Operadores autoadjuntos e unitários. Autovalore e autovetores de operadores auto-adjuntos.

Dia 10/10: Propriedades de operadores unitários (auto-valores e auto-vetores, preservação de ângulo e tamanho, …). Matrizes unitárias e ortogonais. Todo operador auto-adjunto é diagonalizável.

Dia 11/10: Diagonalização de matrizes auto-adjuntas por matrizes unitárias. Formas quadráticas associadas a operadores e a matrizes: definição e diagonalização.

Dia 15/10: Multiplicidade algébrica e geométrica. Condições necessárias e suficientes para diagonalizar matrizes (as raízes do polinômio característico devem pertencer ao corpo considerado e as multiplicidades algébricas e geométricas devem ser iguais). Equações ordinárias. Como transformar uma equação de ordem alta em um sistema. Exponencial de matrizes: início.

Dia 17/10: Existência de exponencial de matrizes (usando norma de matrizes). Propriedades básicas: Se A e B comutam, então e^{A}e^{B} comutam, e^{tA} dá a única solução de u'=Au, a exponencial de matriz é uma matriz inversível e etc.

Dia 18/10: Exemplo de exponencial de matriz. Demonstração de que C^1AC=D implica que C^1e^{tA}C=e^{tD}. Problemas do tipo u'+Au=f(t) (sistemas de EDO) e resolução de exercícios da lista que tratam do caso em que A também depende do tempo. Método de resolução de EDO usando diagonalização de matrizes. Fim da matéria da prova 2.

Dia 22/10: Início do estudo de topologia do R^n. Usaremos o livro Análise Real Volume 2, Elon Lages Lima, Coleção Matemática Universitária, Capítulo 1. Começamos definindo norma (lembramos a definição), distância, bola aberta e fechada, conjuntos e funções limitadas. Conjuntos abertos.

Dia 24/10: Fronteira, conjuntos fechados e suas propriedades, exemplos.

Dia 25/10: Sequências: Definição. Sequência limitada, convergente. Mostramos que uma sequência converge se, e somente se, cada uma de suas componentes em R^n converge. O mesmo para sequências limitadas. Resolução de alguns exercícios da prova 2.