Matemática 4
CCM0223
Professor: Pedro Tavares Paes Lopes
A prova Rec será realizada no IME (Instituto de Matemática e Estatística) sexta-feira, dia 20 de julho.
Será na sala A266, bloco A (o mesmo da biblioteca), no segundo andar.
A prova começará às 10 da manhã.
Horário:
Segundas-feiras:
13:00 às 15:00 horas;
Quartas-feiras: 13:00 às
15:00 horas;
Quintas-feiras: 16:00 às 18:00 horas.
Ementa: https://uspdigital.usp.br/jupiterweb/obterDisciplina?sgldis=CCM0223&verdis=1
Referências:
1) Calculus vol. 2 ed. 2, Tom M. Apostol.
Avaliação:
3 provas + (talvez…) exercícios para entregar.
Nota final = 0,9*(P1 + P2 + P3)/3 + 0,1*(Exercícios para entregar)
Data das Provas:
P1) 12 de abril de 2018
P2) 4 de junho de 2018
P3) 3 de julho de 2018 às 15 horas
Psub) 6 de julho de 2018
Prec) 20 de julho de 2018 às 10 horas.
Notas das Provas:
Notas da P1 Notas P1
Notas da P2+Exercício 1 Notas P2 (a correção do exercício 1 foi revisado. As notas podem estar ligeiramente diferentes das notas mostradas em sala de aula)
Notas da P3+Listas Notas Finais
Gabarito das Provas: Gabarito P1, Gabarito P2, Gabarito P3, Gabarito Psub
Atenção:
Quem não puder fazer alguma das provas acima (e tiver justificativa) poderá fazer a prova substitutiva. A regra de avaliação continuará a mesma: a média das provas feitas. (Lembramos também que colar = reprovação imediata)
Os alunos que fizerem todas as provas no período normal e que estiverem abaixo da média (somente os alunos com nota final menor do que 5), também poderão fazer a prova substitutiva. Neste caso a nota final será obtida substituindo a nota da menor nota das provas pela nota da SUB.
Rec:
Para aqueles que fizerem a Rec, a nota final será
em que M é a média final (antes da Rec) e Rec é a nota da Rec.
Notas de aula:
Problemas para fazer e entregar:
Lista 1 para entregar (Entrega para o dia 7 de junho)
Lista 2 para entregar / Figuras 1 e 2 (Entrega para o dia 3 de julho) Nova data!
Listas de Exercícios (para treinar. Não precisa entregar)
O curso aula por aula:
Dia 01/03: Teorema da função implícita (uma variável definida implicitamente).
Dia 05/03: Definição de caminhos contínuos e deriváveis. Revisão de resultados do curso anterior para curvas. Definição e motivação para integrais de linha.
Dia 06/03: Prova de que variação da energia é igual ao trabalho realizado. Integral sobre o comprimento de arco. Campos conservativos, condições necessárias e invariância da integral por diferentes caminhos.
Dia 07/03: Prova de que a energia cinética mais a energia potencial é constante. Condição necessária e suficiente para ser campo conservativo: independência da integral por diferentes caminhos. Equivalências de definições para campos conservativos. Campos conservativos em abertos convexos.
Dia 08/03: Conjuntos simplesmente conexos. Definições, exemplos e teorema de que campo com rotacional nulo num conjunto simplesmente conexo é conservativo. Aplicações das integrais de linha às EDOs.
Dia 12/03: Integral dupla. Partições, funções escadas e suas propriedades. Definição de integral sobre um retângulo. Teorema de Fubini. Exemplos.
Dia 14/03: Exemplos e exercícios de integrais duplas. Continuidade uniforme. Prova de que funções contínuas são integráveis. Conjunto de conteúdo nulo.
Dia 15/03: Esboço da prova: Se uma função limitada é contínua a não ser num conjunto de conteúdo nulo, então ela é integrável. Integração sobre conjuntos limitados. Exemplos: massa, centro de massa e Teorema de Pappus.
Dia 19/03: Teorema de Green: enunciado, exemplos e demonstração em casos simples. Teorema de Stokes e do divergente no plano.
Dia 21/03: Exemplos do Teorema de Green. Formulação do Teorema com várias curvas, índice de curvas planas. Fórmula de mudança de variáveis.
Dia 22/03: Formulação precisa do teorema de mudança de coordenadas. Exemplos. Demonstração usando a fórmula de Green.
Dia 02/04: Integral em Rn: Definição e propriedades. Fórmula de mudança de coordenadas. Exemplos. Volume de uma bola n-dimensional.
Dia 04/04: Exemplos de integrais em Rn. Continuidade uniforme sobre compactos. Exemplo de aberto conexo com fronteira com conteúdo não nulo. Começo de discussão sobre superfícies.
Dia 05/04: Superfícies: Definição de imersões e parametrizações. Definição rigorosa de superfície. Exemplos. Espaço tangente. Exemplos.
Dia 09/04: Definições equivalentes de superfícies. Normal de uma hiperfície. Área de uma superfície em R3. Exemplos. Integral de superfícies. Aplicações (Massa e centro de massa).
Dia 11/04: Invariância da integral de superfície em relação a diferentes parametrizações. Exemplos de aplicações (Massa, momento de inércia, centro de massa). Fluxo através de uma superfície. Definição de integral do fluxo de uma superfície. Notações para integrais de fluxo.
Dia 12/04: Integração em superfícies de dimensões arbitrárias. Cálculo da área da casca esférica em R4. Resolução de alguns exercícios das listas.
Dia 16/04: Primeira Prova
Dia 18/04: Rápida revisão de integrais de superfícies. Integrais em cadeias. Teorema da divergência: Enunciado e exemplos.
Dia 19/04: Aplicações do teorema da divergência. Dedução da equação da continuidade. Dedução que o potencial gravitacional/elétrico satisfaz a equação de Poisson. Dedução da equação de Laplace e diferentes contextos físicos. Interpretação do divergente.
Dia 23/04: Conjuntos de classe C1 (com fronteira de classe C1). Demonstração rigorosa do teorema da divergência para conjuntos de classe C1. (Apenas assumimos a partição da unidade).
Dia 25/04: Demonstração de que o teorema da divergência em 2 dimensões implica teorema de Green. O Teorema de Stokes. Formulação. Exemplos. Definição do rotacional (novamente)
Dia 26/04: Demonstração (no caso particular dado em sala de aula). Exemplos do Teorema de Stokes. Interpretação do rotacional e suas propriedades. Aplicações: A equação da onda eletromagnética deduzida das equações de Maxwell.
Dia 02/05: Extensões do teorema de Stokes. Mais propriedades do rotacional e do gradiente. Critérios para quando um campo é rotacional de outro e aplicações.
Dia 03/05: Definição de 1-forma e 1-forma diferencial. Mudança de coordenadas. Integração de 1-forma. 1-forma exata. Relação com integral de linha e campos conservativos.
Dia 07/05: Definição de 2-formas e 2-formas diferenciais. Produto exterior. Mudança de coordenadas e exemplos. Integração de dois formas em abertos de R2.
Dia 09/05: Invariância da integral de 2-formas em abertos de R2 por mudança de coordenadas. Integração de formas em superfícies. Relação com integração de campos em superfícies. A diferencial exterior e a formulação dos Teoremas de Green e Stokes usando formas.
Dia 10/05: k-formas e k-formas diferenciais. Diferencial exterior e teorema da divergência. Integração em superfícies de dimensão k. Formas exatas e fechadas. Lemma de Poincaré (enunciado). Exemplos das notas de aula (para graduação) encontradas em https://www.math.purdue.edu/~dvb/preprints/diffforms.pdf
Dia 14/05: Conjuntos Booleanos. Funções finitamente aditivas. Definição de probabilidade em espaços amostrais finitos. Terminologia e exemplos.
Dia 16/05: Análise combinatória. Probabilidade condicional e independência.
Dia 17/05: Experimentos compostos. Experimentos de Bernoulli.
Dia 21/05: O número mais provável de obter num experimento de Bernoulli. Aplicações da probabilidade condicional em alguns problemas do dia a dia
Dia 23/05: Conjuntos finitos enumeráveis e não enumeráveis. Demonstração de que os naturais, inteiros e racionais são enumeráveis, mas que os reais não são enumeráveis. Propriedade de conjuntos enumeráveis. Hotel de Hilbert.
Dia 24/05: Aula para resolução de exercícios das listas 3 e 4.
Dia 04/06: Segunda Prova.
Dia 06/06: Estudo de probabilidade em espaços amostrais finitos e infinitos. Definição de sigma-álgebra e sigma-álgebra de Borel. Definição geral de espaço de probabilidade. Definição e interpretação de variáveis aleatórias.
Dia 07/06: Continuação de variáveis aleatórias. Definição de função distribuição e suas propriedades básicas. Exemplos.
Dia 11/06: Variáveis aleatórias e distribuições discretas. Pontos de massa. Propriedades e exemplos.
Dia 13/06: Variáveis aleatórias contínuas. Definição e exemplos. Distribuição uniforme e sua caracterização. Distribuição de Cauchy. Distribuição exponencial e relação com probabilidade condicional.
Dia 14/06: Distribuição exponencial e caracterização. Distribuição normal. Funções de variáveis aleatórias. Função de distribuição para variáveis aleatórias tomando valores em Rn.
Dia 18/06: Funções de distribuição em duas variáveis discretas e contínuas. Distribuição de funções de duas variáveis aleatórias e suas densidades de distribuição. Exemplos.
Dia 20/06: Exemplo de distribuição de funções de duas variáveis aleatórias. Esperança e variância. Definição e exemplos (binomial, normal, uniforme, …). Esperança de uma função de uma variável aleatória.
Dia 21/06: Desigualdade de Chebyshev. Lei dos grandes números. Teorema central do limite.
Dia 28/06: Aula dupla de exercícios.