Matemática 4

CCM0223

Professor: Pedro Tavares Paes Lopes

Por favor, confiram as médias. Qualquer dúvida, estarei amanhã, dia 4 de julho, às 14 horas na sala de aula para aplicar a sub.

Caso tenham dúvidas em relação às listas, por favor, contactem diretamente o monitor. Ele poderá vir quinta-feira, dia 4 de julho, se necessário.

Algumas provas:

P1 2019, P2 2019, P3 2019, Psub 2018 (Cuidado. Não teve probabilidade dessa vez).

Algumas informações importantes:

A média das listas para entregar será a média das duas listas com maior nota (novo critério). Quem não fizer uma lista, por exemplo, a terceira, não terá nota descontada. No entanto, é recomendável entregar todas.

A Psub será realizada às 14 horas de quinta-feira, dia 4 de julho. Ou seja, será um pouco mais cedo do que o horário de aula (se algum professor já tiver marcado nesse horário, é só me avisar).

Algumas coisas para ajudar na preparação da prova P3 de segunda-feira. Os links abaixo funcionarão até o final do dia (sábado, dia 29 de junho):

1) Prova P2 do ano passado (mesma matéria da nossa P3) e sua resolução. Ignore o último exercício. Prova ano passado, Resolução da prova ano passado

2) Algumas dicas de estudo. Dicas de estudo

Horário:

Segundas-feiras: 14:00 às 16:00 horas;

Quartas-feiras: 14:00 às 16:00 horas;

Quintas-feiras: 16:00 às 18:00 horas.

Monitoria:

Horário: Quarta às 19h

Monitor: Lucas Galhego Mendonça

E-mail do monitor: luk.galhego@gmail.com ou lgalhego@ime.usp.br

Local: “sala de estudos da monitoria” 169, primeiro andar do bloco B do IME.

Ementa: https://uspdigital.usp.br/jupiterweb/obterDisciplina?sgldis=CCM0213

Referências:

1) Calculus vol. 2 ed. 2, Tom M. Apostol.

2) Análise Real, volume 2, Elon Lages Lima. (Coleção Matemática Universitária)

Avaliação:

3 provas + exercícios para entregar.

Nota final = 0,9*(P1 + P2 + P3)/3 + 0,1*(média das duas melhores listas para entregar)

Data das Provas:

P1) 11 de abril de 2019

P2) 03 de junho de 2019

P3) 1 de julho de 2019

Psub) 4 de julho de 2019 às 14 horas (na sala de aula)

Prec) 11 de julho de 2019 às 14 horas

Notas das Provas: Notas de Provas e Listas

Critério SUB e REC:

Problemas para fazer e entregar:

Primeira lista para entregar: Lista 1 para entregar (Adiado para o dia 9 de maio) Infelizmente havia um pequeno erro na última questão. Ele foi corrigido.

Segunda lista para entregar: Lista 2 para entregar (Para o dia 10 de junho)

Terceira lista para entregar: Lista 3 para entregar (Para o dia 01 de julho)

Problemas para treinar (não precisa entregar):

Primeira lista de exercícios: (para treinar. Não precisa entregar) Lista 1 matemática 4 (2019) Dicas (feitas pelo Monitor Lucas) Lista 1 Dicas

Segunda lista de exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Lista 2 matemática 4 (2019) Dicas (feitas pelo Monitor Lucas) Lista 2 Dicas

Terceira lista de exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Lista 3 matemática 4 (2019)

Quarta lista de exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Lista 4 matemática 4 (2019)

Quinta lista de exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Lista 5 matemática 4 (2019)

Sexta lista de exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Lista 6 matemática 4 (2019) (Não precisa fazer o exercício 9)

O curso aula por aula (Aproximadamente...)

Dia 18/02: Derivadas direcional, parcial e parcial de ordem alta. Exemplos: função cujas derivadas parciais não comutam, função descontínua com derivadas direcionais. Funções diferenciáveis de Rn em R: definição e consequências da definição.

Dia 20/02: Teorema do valor médio e definição de gradiente.

Dia 21/02: Definição de função C1. Demonstração de que funções C1 são diferenciáveis (e, portanto, também contínuas).

Dia 25/02: Interpretações de gradiente. Definição de funções de Rm em Rn diferenciáveis. Exemplos.

Dia 27/02: Exemplos de aplicações diferenciáveis. Definição de Jacobiano Regra da cadeia.

Dia 28/02: Exemplos de regra da cadeia. Aplicação: Curva de nível: o gradiente é sempre normal a curva de nível. Teorema do valor médio.

Dia 07/03: Alguns exercícios da lista.

Dia 11/03: Exemplos de derivadas parciais que não comutam. O teorema de Schwartz (enunciado sem demonstração).

Dia 13/03: Série de Taylor de ordem 2. Recordação de formas quadráticas. Definição de formas quadráticas hessianas.

Dia 14/03: Máximos e mínimos locais e globais. Pontos críticos. Hessiana. Critérios suficientes para mínimos e máximos locais.

Dia 18/03: Exemplos de máximos e mínimos locais. Derivadas definidas implicitamente. Cálculo da derivada dessas funções. Exemplos.

Dia 20/03: Mais exemplos de cálculos de derivadas de funções definidas implicitamente. Demonstração do caso geral.

Dia 21/03: Mais exemplos de derivadas implícitas e discussão (não muito rigorosa) do teorema da função implícita. Começo do estudo de multiplicadores de Lagrange.

Dia 25/03: Método dos Multiplicadores de Lagrange para achar máximos e mínimos em superfícies. Exemplos.

Dia 27/03: Superfície. Definição de parametrizações. Superfícies de gráficos de funções e de imagem inversa de valores regulares.

Dia 28/03: Espaço tangente. Definições equivalentes. Vetores normais a superfícies que são imagem inversa de valores regulares.

Dia 01/04: Aplicação do conceito de superfícies para justificar o método dos multiplicadores de Lagrange. Integral de linha. Dedução física a partir do trabalho.

Dia 03/04: Notações de integrais de linha. Invariância por parametrizações. Exemplos. Prova de que variação de energia cinética é igual ao trabalho.

Dia 04/04: Integral de linha com respeito ao comprimento de curva. Dedução física. Aplicações: centro de massa, massa, momento de inércia. Campos conservativos e Teorema da conservação de energia. Aplicações.

Dia 08/04: Discussão de critérios necessários e suficientes para que uma função seja o gradiente de uma função C1.

Dia 10/04: Resolução de exercícios para a prova.

Dia 11/04: P1 (Primeira Prova)

Dia 22/04: Discussão sobre partição de intervalos e integrais de funções degrau.

Dia 24/04: Integral múltipla definida a partir da função degrau e sua integral. Definição de integral dupla e propriedades. Versão de Fubini. Exemplos.

Dia 25/04: Demonstração de que toda função contínua é integrável. Conjunto de conteúdo nulo e integração.

Dia 29/04: Teorema de Fubini para funções contínuas. Demonstração de que curvas têm conteúdo nulo em R3. Integral entre curvas. Exemplos como volume do paraboloide. Exemplos físicos: massa, centro de massa e momento de inércia.

Dia 02/05: Exemplo de cálculo de centro de massa. Curvas de Jordan e Teorema de Green. Exemplos. Interpretação física e dedução do Teorema da Divergência (e sua equivalência com o Teorema de Green) em 2 dimensões. Dedução da equação do calor.

Dia 06/05: Demonstração do Teorema de Green em casos muito particulares. Conjuntos simplesmente conexos e suas relações com campos conservativos (neles o campo é conservativo se, e somente se, o campo tem rotacional igual a zero). Outras versões do Teorema de Green. Número de rotação de uma curva.

Dia 08/05: Fórmula de mudança de coordenadas. Exemplos (coordenadas polares, transformações lineares...). Exemplos e interpretação do determinante Jacobiano como razão entre volume após aplicação da função sobre o volume inicial.

Dia 09/05: Integração em várias dimensões. Resumo da teoria (análogo a 2 dimensões). Exemplos com coordenadas esféricas e cilíndricas. Cálculo do volume de uma bola n-dimensional.

Dia 13/05: Integral de superfícies e analogia com a integral sobre o comprimento de arco. Exemplos.

Dia 14/05: Exemplos de integrais de superfícies (massa, momento de inércia, área).

Dia 16/05: Invariância da integral de superfície por mudanças de parametrizações. Definição de integral de fluxo sobre uma superfície. Interpretação e exemplos.

Dia 20/05: Notação para integral do fluxo sobre uma superfície. Enunciado do Teorema da Divergência. Interpretação e exemplos.

Dia 22/05: Parametrização da esfera. Interpretação o divergente (novamente) e demonstração do Teorema da Divergência para um retângulo. Dedução da equação a continuidade. Discussão sobre o volume de um paralelepípedo (começo).

Dia 23/05: Término da discussão sobre o volume de um paralelepípedo. Integral de superfícies em dimensões arbitrárias. Discussão sobre partição da unidade.

Dia 27/05: Existência de partições da unidade. Definição de aberto com fronteira Ck, k>0. Elemento de superfície para gráficos de funções. Começo da demonstração do teorema da divergência.

Dia 29/05: Demonstração do Teorema da Divergência para o caso em que o aberto tem fronteira C1. Algumas consequências: Fórmula de Gauss.

Dia 03/06: P2 (Segunda Prova).

Dia 05/06: Aplicações do Teorema da divergência (problemas de autovalores e unicidade do problema de Dirichlet para o Laplaciano). Dedução do Teorema de Green via o Teorema da Divergência.

Dia 06/06: O Teorema de Stokes e sua demonstração.

Dia 10/06: Relação entre Teorema de Stokes e de Green. Exemplos de cálculo com Stokes. Interpretação do rotacional.

Dia 12/06: Relações entre rotacional, divergente e gradiente. Dedução da equação da onda a partir das equações de Maxwell no vácuo.

Dia 13/06: Breve introdução ao conceito de formas diferenciais em R2 e R3. Enunciado do Teorema de Stokes Geral e como ele implica em Green, divergência e Stokes. Lema de Poincaré e como ele implica as relações vistas em sala de aula (campos conservativos e etc.).

Dia 24/06: Uma breve introdução à análise complexa. Definição de funções holomorfas e integração sobre o plano complexo.

Dia 27/06: Aula de exercícios para a P3.