Tópicos de Matemática Aplicada
MAP-2313
Professor: Pedro Tavares Paes Lopes
Horário:
Quarta-feira às 8:00 hs
Sexta-feira às 10:00 hs
Monitoria: Quarta-feira às 13:00 na sala 169 do bloco B.
Referências:
1) Fourier Analysis and Its Applications, Gerald B. Folland. (Deixei na biblioteca um reservado para consulta)
2) Matemática Superior para Engenharia - Vol. 2 - Erwin Kreyszig.
(NOVO) As Notas Finais com a REC já estão disponíveis. Ver abaixo.
Avaliação:
Provas (Prova 1 +Prova 2 )/2.
Listas (Por volta de um exercício a cada 2 semanas).
Data das Provas:
P1) 29 de Abril
P2) 24 de Junho
Psub) 01 de Julho
Prec) 15 de Julho
Notas das Provas:
Notas Finais com REC NOVO (Com as Notas da REC). Caso queira fazer revisão, marcar até sexta-feira por favor.
Atenção:
Quem não puder fazer alguma das provas acima (e tiver justificativa) poderá fazer a prova substitutiva. A regra de avaliação continuará a mesma: a média das provas feitas. (Lembramos também que colar = reprovação imediata)
Os alunos que fizerem todas as provas no período normal e que estiverem abaixo da média (somente os alunos com nota final menor do que 5), também poderão fazer a prova substitutiva. Neste caso a nota final será obtida substituindo a nota da menor nota das provas pela nota da SUB.
Rec:
Para aqueles que fizerem a Rec, a nota final será
em que M é a média final (antes da Rec) e Rec é a nota da Rec.
Problemas para fazer e entregar:
1) Exercício da primeira quinzena exercício quinzena 1 (O novo prazo é o dia 30 de março, já que não haverá aula segunda-feira)
2) Exercício da segunda quinzena exercício quinzena 2
3) Exercício da terceira quinzena exercício quinzena 3 (O novo prazo é o dia 29 de março)
4) Exercício da quarta quinzena exercício quinzena 4
5) Exercício da quinta quinzena exercício quinzena 5
6) Exercício da sexta quinzena exercício quinzena 6
7) Exercício da sétima quinzena exercício quinzena 7 (Opcional. Pode ser usado para substituir a pior nota dos exercícios anteriores, caso isto melhore a nota final)
Primeira Lista de Exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Primeira Lista de Exercícios
Alguns exercícios resolvidos: Resolução de alguns exercícios da primeira lista de exercícios
Segunda Lista de Exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Segunda Lista de Exercícios
Alguns exercícios resolvidos: Resolução de alguns exercícios da segunda lista de exercícios
Terceira Lista de Exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Terceira Lista de Exercícios
Alguns exercícios resolvidos: Resolução de alguns exercícios da terceira lista de exercícios
Quarta Lista de Exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Quarta Lista de Exercícios
Alguns exercícios resolvidos: Resolução de alguns exercícios da quarta lista de exercícios
Quarta-feira haverá aula de revisão e também resolução de exercícios.
Na gráfica do IME, no bloco B, tem uma pasta do curso. Lá se encontram todas as notas que eu fiz para a preparação das aulas. Elas podem ser úteis para guiar o estudo. Mas cuidado! São notas que não foram revisadas e que podem conter erros e imprecisões (na dúvida, consultem uns dos livros das referências ou perguntem a mim ou ao monitor)
O curso aula por aula:
Dia 24/02: Exemplos de equações da física matemática: Poisson, calor, onda e Schrödinger. Dedução da equação da onda (via equações de Maxwell) e do calor. Condições de Contorno.
Dia 26/02: Definição de operadores lineares de segunda ordem. Princípio da Superposição. Exemplo de Método de Separação de Variáveis.
Dia 02/03: Sistematização do Método de Separação de Variáveis. Início de série e coeficientes de Fourier.
Dia 04/03: Definição precisa de série e coeficientes de Fourier. Exemplo de cálculo de série. Desigualdade de Bessel.
Dia 09/03: Demonstração da convergência pontual das séries de Fourier de funções suaves por partes. Exemplos e relações interessantes obtidos através da série de Fourier.
Dia 11/03: Integração e derivação de séries de Fourier.
Dia 16/03: Tipos de convergência: Uniforme, pontual e absoluta. Teste M de Weierstrass. Demonstração da convergência uniforme e absoluta da série de Fourier de funções contínuas e suaves por partes. Séries de Fourier em intervalos.
Dia 18/03: Expansão seno e cosseno de funções f:[0,L]→C. Revendo as equações do calor e de onda.
Dia 30/03: Resolvendo o Problema do calor com condições de Neumann. Definição de Ortogonalidade. Produtos Internos em C^n e em espaços de função.
Dia 01/04: Bases de C^n. Escrevendo vetores e normas usando as bases. Escrevendo Séries de Fourier como expansões de funções em bases de L^2. Definição de convergência em L^2.
Dia 06/04: Desigualdade de Bessel. Igualdade de Parseval. Definição de Base de L^2.
Dia 08/04: Começo do estudo do problema de Sturm-Liouville. Equações formalmente auto-adjuntas e condições de contorno auto-adjuntas.
Dia 13/04: Definição do problema de Sturm-Liouville. Propriedades gerais do problema de Sturm-Liouville e o Teorema de Sturm-Liouville. Exemplos.
Dia 15/04: Exemplos do problema de Sturm-Liouville e aplicações a equação do calor com condição de Robin.
Dia 20/04: Mais exemplos do problema de Sturm-Liouville e diversos exemplos de como resolver uma equação (como a do calor e da onda) com condições não homogêneas.
Dia 27/04: Aula de exercícios e revisão.
Dia 29/04: Primeira Prova.
Dia 04/05: Equação da Onda e do Calor em mais dimensões. Problema de autovalores e autovetores do Laplaciano com condições de contorno de Dirichlet, Neumann e Robin. Propriedades dos autovalores.
Dia 06/05: O problema de Dirichlet no retângulo e na bola. A fórmula Integral de Poisson.
Dia 11/05: Transformada de Fourier. Motivação e dedução não rigorosa. Propriedades elementares da Transformada de Fourier.
Dia 13/05: Exemplos de Transformada de Fourier. Teorema de Inversão de Fourier (para funções contínuas e pertencentes a L1)
Dia 18/05: Fim da demonstração do teorema de inversão. Lema de Riemann-Lebesgue. Transformada de Fourier em L2. Teorema de Parseval (Plancherel). Definição do produto de convolução.
Dia 20/05: Propriedades do Produto de Convolução. Transformada de Fourier aplicada a um produto de convolução. Aproximação de funções usando produto de convolução. Aplicações da Transformada de Fourier: Resolução de EDOs e resolução da equação de calor na reta.
Dia 25/06: Aplicações da transformada de Fourier. Algumas observações finais sobre a resolução da equação do calor. Equação da onda e obtenção da fórmula de d'Alembert. Problema de Dirichlet no semiplano.
Dia 01/06: Comentários Finais sobre o problema de Dirichlet no semiplano. Aplicações da transformada de Fourier para problemas de Sturm-Liouville na reta e no semi-plano.
Dia 03/06: Resolução da equação do calor na semi-reta com condições de Neumann utilizando a transformada de Fourier cosseno. Definição de Função de Green e início do estudo de funções de Green para problemas de valor inicial.
Dia 08/06: Fórmula Geral das Funções de Green para problemas de valor inicial. Exemplos. Início do estudo de funções de Green para problemas de contorno (em uma dimensão).
Dia 10/06: Fórmula Geral das Funções de Green para problemas de contorno (em uma dimensão). Exemplos. Caso auto-adjunto.
Dia 15/06: Demonstração da Fórmula Geral das Funções de Green para problemas de contorno (em uma dimensão). Funções de Green para a equação do Calor e Onda (uma dimensão espacial) via série de Fourier e função de Green para o problema de Poisson no quadrado via série de Fourier dupla.
Dia 17/06: Uma breve introdução às Funções de Bessel.
Dia 22/06: Aula de exercícios.
Dia 14/06: Segunda Prova.