Tópicos de Matemática Aplicada
MAP-2313
Professor: Pedro Tavares Paes Lopes
Avisos:
Sexta-feira, 30 de junho, darei aula de exercícios, caso venham alunos.
Terça-feira, 4 de julho, haverá aula extra de resolução de exercícios das 12:30 às 14:00.
Notas Finais de Listas Final e Notas Finais Notas Finais
Notas finais de 7599770, 6452990, 7275747 Notas finais após sub e última lista
Nota final após rec Notas após rec
Horário:
Quarta-feira às 8:00 hs
Sexta-feira às 10:00 hs
Monitoria: Todas as quinta-feira, às 12:30. Sala 139 B (Segundo andar do Bloco B do IME)– Monitor: Allan.
Referências:
1) Fourier Analysis and Its Applications, Gerald B. Folland. (Deixei na biblioteca do IME um reservado para consulta)
2) Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, Djairo G. de Figueiredo.
3) Matemática Superior para Engenharia - Vol. 2, Erwin Kreyszig.
Avaliação:
Média=0,8*(Prova 1 +Prova 2 )/2 + 0,2*(Média dos exercícios para entregar).
Serão dados por volta de um exercício a cada 2 semanas para entregar.
Além disso, disponibilizaremos listas de exercícios para treinar, sem precisar entregar.
Data das Provas:
P1) 12 de maio
P2) 5 de julho
Psub) 7 de julho
Prec) 14 de julho
Notas das Provas:
Atenção:
Quem não puder fazer alguma das provas acima (e tiver justificativa) poderá fazer a prova substitutiva. A regra de avaliação continuará a mesma: a média das provas feitas. (Lembramos também que colar = reprovação imediata)
Os alunos que fizerem todas as provas no período normal e que estiverem abaixo da média (somente os alunos com nota final menor do que 5), também poderão fazer a prova substitutiva. Neste caso a nota final será obtida substituindo a nota da menor nota das provas pela nota da SUB.
Rec:
Para aqueles que fizerem a Rec, a nota final será
em que M é a média final (antes da Rec) e Rec é a nota da Rec.
Notas de aula: Notas de Aula 1 (Cuidado! Estas são as notas de preparação de aula. Elas contém alguns erros e nem sempre são idênticas ao que foi dado em aula. Disponibilizo aqui para facilitar o acompanhamento do curso).
Notas de aula: Notas de Aula 2 (Cuidado! Estas são as notas de preparação de aula. Elas contém alguns erros e nem sempre são idênticas ao que foi dado em aula. Disponibilizo aqui para facilitar o acompanhamento do curso).
Problemas para fazer e entregar:
1) Exercício da primeira quinzena exercício quinzena 1 (Prazo: 5 de abril)
2) Exercício da segunda quinzena exercício quinzena 2 (Prazo: 19 de abril)
3) Exercício da terceira quinzena exercício quinzena 3 (Prazo: 3 de maio)
4) Exercício da quarta quinzena exercício quinzena 4 (Prazo: 19 de maio)
5) Exercício da quinta quinzena exercício quinzena 5 (Prazo: 14 de junho)
6) Exercício da sexta quinzena exercício quinzena 6 (Prazo: 28 de junho)
7) Exercício da sétima quinzena exercício quinzena 7 (Opcional. Pode ser usado para substituir a pior nota dos exercícios anteriores, caso isto melhore a nota final) (Prazo: dia 5 de julho)
Notas das Listas de Exercícios Novo (Faltam ainda as notsa das listas que forma entregues hoje)
Primeira Lista de Exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Primeira Lista de Exercícios
Alguns exercícios resolvidos: Resolução de alguns exercícios da primeira lista de exercícios
Segunda Lista de Exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Segunda Lista de Exercícios (Atualizada)
Alguns exercícios resolvidos: Resolução de alguns exercícios da segunda lista de exercícios
Terceira Lista de Exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Terceira Lista de Exercícios
Alguns exercícios resolvidos: Resolução de alguns exercícios da terceira lista de exercícios
Quarta Lista de Exercícios (para treinar. Não precisa entregar) Quarta Lista de Exercícios
Alguns exercícios resolvidos: Resolução de alguns exercícios da quarta lista de exercícios
Prova P1 do ano passado com gabarito: P1 do ano passado e gabarito
Prova P2 do ano passado com gabarito: P2 do ano passado e gabarito
O curso aula por aula:
Dia 08/03: Exemplos de equações da física matemática: Poisson, calor, onda. Dedução da equação da onda (de uma corda unidimensional, usamos o livro do Djairo) e do calor (usamos o livro do Folland). Condições de contorno e condições iniciais.
Dia 10/03: Recordação da definição e das propriedades de transformações lineares em espaços vetoriais e algumas de suas propriedades (em particular, o princípio da superposição). Equação de Poisson e do calor vistas como transformações lineares em espaços vetoriais de funções. Introdução ao Método de Separação de Variáveis.
Dia 15/03: Mais um exemplo de separação de variáveis (equação de onda com condições de Dirichlet) e sistematização do Método de Separação de Variáveis. Série de Fourier real e complexa e suas relações.
Dia 17/03: Definição precisa de série e coeficientes de Fourier. Exemplo de cálculo de série. Desigualdade de Bessel.
Dia 22/03: Demonstração da convergência pontual das séries de Fourier de funções suaves por partes. Exemplos e relações interessantes obtidos através da série de Fourier: Uma série para o cálculo do número pi.
Dia 24/03: Integração e derivação de séries de Fourier. Convergência pontual e uniforme.
Dia 29/03: Convergência absoluta de séries. Critérios para convergência uniforme de séries de Fourier. Séries de Fourier em intervalos: Série de Fourier seno e série de Fourier cosseno.
Dia 31/03: Séries de Fourier em intervalos [0,L]. Solução completa da equação do calor e da onda com condições de Dirichlet. Solução da equação do calor com condição de Neumann. Recordação: Produto Interno e Norma.
Dia 05/04: Recordação de conjuntos ortogonais, ortonormais e bases em C^n. O conceito de ortogonalidade aplicado no estudo de séries de Fourier. Identidade de Parserval.
Dia 07/04: Bases ortonormais: Definição. Começo do estudo da equação da onda e do calor com condições não homogêneas.
Dia 19/04: Métodos para resolução de equações de onda e do calor com condições não homogêneas. (Bibliografia: capítulo 4 do Folland)
Dia 26/04: Resolução do exercício 20 da lista 2 com condições de contorno não homogêneas (usando o método da aula do dia 19/04). Começo do estudo do Problema de Sturm-Liouville (operadores diferenciais de ordem 2 auto-adjuntos)
Dia 28/04: Não teve aula.
Dia 03/05: Problema de Sturm Liouville. Condições de contorno auto-adjuntas. Autovalores e autovetores do problema de Sturm-Liouville e suas propriedades. Teorema de Sturm-Liouville.
Dia 05/05: Exemplos de problemas de determinar auto-valores e auto-funções. Aplicação no estudo da equação do calor.
Dia 10/05: Resolução de exercícios das listas 1 e 2.
Dia 12/05: Primeira Prova.
Dia 17/05: Equações de Poisson, da Onda e do Calor em mais dimensões. Propriedades Gerais. Equação de Poisson no retângulo.
Dia 19/05: Fim do estudo da equação de Poisson no retângulo. Equação de Poisson em coordenadas polares.
Dia 24/05: Fim do estudo da equação de Poisson em coordenadas polares. Fórmula integral de Poisson. Equação da Onda em coordenadas polares. Funções e equações de Bessel.
Dia 26/05: Fim do estudo da equação de onda em coordenadas polares. Visualização das soluções em https://en.wikipedia.org/wiki/Vibrations_of_a_circular_membrane e no vídeo https://www.youtube.com/watch?v=v4ELxKKT5Rw . Definição de Transformada de Fourier. Demonstração de algumas propriedades básicas.
Dia 31/05: Exemplos de Transformadas de Fourier. Lema de Riemann-Lebesgue. Teorema de inversão de Transformada de Fourier.
Dia 02/06: Teorema de Parseval. Definição de convolução e sua relação com a transformada de Fourier. Começo do estudo de aplicações da transformada de Fourier.
Dia 07/06: Estudo das equações do calor e da onda no semiplano. Núcleo do Calor e fórmula de d'Alembert. Começo do estudo da equação de Poisson no semiplano.
Dia 09/06: Término do estudo da equação de Poisson no semiplano. Problema de Sturm-Liouville na semi-reta. Definição de Transformada de Fourier Seno e Cosseno.
Dia 14/06: Fórmula de inversão e de Parseval para as transformadas de Fourier seno e cosseno. Aplicação à equação do calor numa semi-reta com condições de Neumann. Funções de Green: Definição e método para determiná-las para problemas de valor inicial.
Dia 21/06: Exemplos de funções de Green para problemas de valor inicial. Definição de função de Green para problemas de contorno. Método para determiná-la e exemplos.
Dia 23/06: Não teve aula.
Dia 28/06: Exemplos de funções de Green para problemas de contorno. Demonstração de que as funções de Green definidas nas aulas passadas realmente fornecem às soluções dos problemas.