Curso de Álgebra Linear - Turma1
Professor: Pedro Lopes.
Monitor: Max Reinhold.
Horário do Curso: de segunda-feira a sexta-feira das 8:00 até às 10:00 - sala B16.
Pasta na Xerox: Número 10.
Horário de Monitoria: 13:00 de quinta-feira. Sala B169 (subir as escadas do prédio em que está a sala de aula).
Aviso: Dia 27/01 comecei a prova às 7:45 hs para dar mais tempo.
Programa: Vetores no Rn. Espaços vetoriais, subespaços. Transformações lineares e matrizes. Semelhanças e Diagonalização. Determinantes. Produto interno e ortogonalidade.
Referências Bibliográficas:
“Álgebra Linear e Aplicações” dos autores Hygino H. Domingues, Carlos A. Callioli e Roberto C. F. Costa. (Principal)
“Álgebra Linear” dos autores Kenneth Hoffman e Ray Kunze (Secundária).
Notas Finais Aqui
Todas as provas estarão a disposição na secretaria do curso de verão a partir de amanhã. Eu estarei na USP todos os dias. Caso alguém queira tirar dúvidas a respeito da prova, pode tentar me encontrar na sala da pós graduação (com porta de vidro) do segundo andar do bloco B ou me mandar um e-mail para pplopes@ime.usp.br para marcar horário.
Notas da Primeira Prova Aqui
Dica: Existe um site do MIT (Massachusetts Institute of Technology) com aulas que foram filmadas. Tem um curso inteiro de álgebra linear lá. Ele pode ser encontrado no site: (tem legendas em inglês)
http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/
Listas de Exercícios:
Lista 1 Aqui
Atenção: Houve uma pequena correção no exercício 1 b da lista. A versão atual está correta.
Dicas e Respostas da Lista 1 Aqui
Lista 2 Aqui
Dicas e Respostas da Lista 2 Aqui
Atenção: Nos exercícios 9 e 10 da lista eu tinha adotado uma convenção diferente da usual. Para evitar confusões eu preferi mudá-la. Logo para quem já tinha pego a lista, basta substituir PBC por ICB e PCB por IBC. A lista disponível aqui no site já está com a nova convenção.
Lista 3 Aqui
Dicas e Respostas da Lista 3 Aqui
Lista 4 Aqui
Dicas e Respostas da Lista 4 Aqui
Errata: A resposta do exercício 5 b é {c/6-ct+ct^{2}; c em R}. t^{2} é t ao quadrado.
Lista 5 Aqui
Dicas e Respostas da Lista 5 Aqui
Resultados Dados em Sala de Aula:
Resultados dados em sala de aula até a prova 1 Aqui
Resultados dados em sala de aula para a matéria da segunda prova Aqui
Provas e Gabaritos:
Prova 1 Aqui
Gabarito da Primeira Prova Aqui
Prova 2 Aqui
Gabarito da Segunda Prova Aqui
Prova Substitutiva Aqui
Gabarito da Prova Substitutiva Aqui
Serão dadas 32 aulas. Incluindo 3 dias de prova.
Avaliação: (Prova 1 +Prova 2)/2.
Para quem fizer a substitutiva a avaliação fica sendo as melhores 2 provas das 3 dadas dividido por dois. Ou seja, a substitutiva não piora a nota.
Data das provas:
P1: 27 de Janeiro.
P2: 15 de fevereiro.
Substitutiva: 17 de fevereiro.
A substitutiva é aberta. Pode ser usada para compensar uma prova que não foi feita ou para substituir a nota de uma prova que foi feita, caso a nota da substitutiva for maior.
O curso aula por aula:
Dia 4/01: Sistemas lineares, equivalência de sistemas lineares, método de escalonamento.
Dia 5/01: Discussão de sistemas escalonados, exemplos de sistemas, matrizes e suas propriedades.
Dia 6/01: Inversão de matrizes: Algoritmo de inversão, matrizes elementares e relação com escalonamento.
Dia 9/01: Espaços Vetoriais: definição, exemplos e propriedades básicas. Definição de subespaços.
Dia 10/01: Exemplos de subespaços. O subespaço das soluções de sistemas lineares. Soma direta. Combinação linear. Subespaços gerados.
Dia 11/01: Vetores linearmente dependentes e independentes. Exemplos e propriedades.
Dia 12/01: Bases (prova da existência) e dimensão. Propriedades e exemplos.
Dia 13/01: Dimensão e bases dos conjuntos soluções de sistemas lineares (exemplos). Teorema do completamento. Relação entre as dimensões de U+V e U intersecção com V. Definição de coordenadas.
Dia 16/01: Matriz de mudança de base.
Dia 17/01: Cálculos com subespaços: Métodos para saber se um vetor pertence a um subespaço e como determinar a dimensão e uma base de um subespaço. Revisão de fatos fundamentais sobre funções.
Dia 18/01: Transformações Lineares: Definição, exemplos, propriedades. Definição de núcleo. Teorema do Núcleo e da Imagem.
Dia 19/01: Isomorfismos e automorfismos. A estrutura de espaço vetorial das transformações lineares e a composição de transformações lineares.
Dia 20/01: Representação de transformações lineares por matrizes. Isomorfismo entre L(U,V) e Mn(F).
Dia 23/01: Dependência da matriz que representa uma transformação linear em relação às bases. A matriz da composição de transformações lineares.
Dia 24/01: Espaço dual. Resolução de alguns exercícios da lista em sala de aula.
Dia 26/01: Produto interno: Definição e Propriedades. Definição de norma. (Já é matéria da segunda prova).
Dia 27/01: Primeira Prova.
Dia 30/01: Exemplos de norma e propriedades. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Métrica vinda de uma norma. Regra do Paralelogramo.
Dia 31/01: ângulo entre vetores. Vetores e conjuntos ortogonais e ortonormais. Bases ortonormais. Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt.
Dia 01/02: Coordenadas de um vetor em bases ortonormais e identidade de Parseval. Complementos ortogonais e projeções ortogonais.
Dia 02/02: Isometrias e operadores (transformações lineares) adjuntos.
Dia 03/02: Operadores auto-adjuntos. Definição de determinantes, funções n-lineares e n-lineares alternadas.
Dia 06/02: Prova da existência de determinantes. Fórmulas para determinantes de matrizes 2 por 2 e 3 por 3. Início da prova da unicidade dos determinantes.
Dia 07/02: Prova da unicidade dos determinantes. Propriedades de determinantes como det(AB)=det(A)det(B) e det(transposta de A)=det(A).
Dia 08/02: Exemplos de cálculos de determinantes. Uso de determinantes para determinar bases. Determinantes de operadores. Inicio do estudo de diagonalização: Definição de auto-valor, auto-vetor e subespaço próprio.
Dia 09/02: Polinômio característico de matrizes e operadores. Métodos para determinação de auto-valores e auto-vetores. Soma direta de vários subespaços.
Dia 10/02: Operadores diagonalizáveis. Multiplicidade algébrica e geométrica. Como diagonalizar uma matriz e um operador.
Dia 13/02: Critério necessário e suficiente para um operador e uma matriz serem diagonalizáveis. Diagonalização de operadores auto-adjuntos.
Dia 14/02: Diagonalização de matrizes adjuntas e simétricas por matrizes unitárias e ortogonais. Fórmula da inversão por matriz adjunta. Regra de Cramer. Exercícios da lista.
Dia 15/02: Segunda Prova.
Dia 16/02: Brevíssima introdução aos módulos (álgebra) e a análise funcional (análise).
Dia 17/02: Prova Substitutiva.