V.W.Setzer – avaliações da palestra sobre o infinito

OS SURPREENDENTES CONCEITOS DE INFINITO
NA GEOMETRIA, EM CONJUNTOS DE NÚMEROS
E NO MUNDO FÍSICO

AVALIAÇÕES DE PARTICIPANTES

Valdemar W. Setzer
Departamento de Ciência da Computação, IME-USP
www.ime.usp.br/~vwsetzer – esta versão: 30/10/24

Nesta página encontram-se todas transcrições de avaliações de participantes desta palestra, conforme escreveram no One-minute paper ou no formulário on-line: [1] Coisa mais importante aprendida; [2] Quais as maiores dúvidas que ficaram; [3] Comentários. Os originais estão à disposição para exame. Note-se que nem todos os participantes entregam as avaliações. Ver o resumo da palestra, a apresentação em ppt e o livro (em minha home page). As avaliações feitas por formulário eletrônico foram copiadas e coladas, tais como estão. As feitas em papel no fim da palestra foram digitadas como foram escritas.

17. 26/10/24 palestra presencial dentro do programa "USP 60+" promovido pela Pró-Reitoria de Cultura e Extensão da USP no Auditório Jacy Monteiro do IME-USP, Cidade Universitária, São Paulo, também dentro do programa Embaixadores da Matemática do IME-USP. Info: Rosemeire Aparecida Alves ratudojuntoao aaa ime pt usp pt br

[1] Que o conhecimento é infinito e nossas capacidades são finitas. [2] Telepatia pode ser um tipo de correspondência biunívoca? [3] Estou digerindo o conteúdo. Conclusão, o universo é Shakespeariano: há mais coisa entre o céu e a Terra do que podemos imaginar. RESP.: Nossas capacidades físicas são limitadas, mas nosso pensamento não é limitado. Kant formulou que nosso pensamento é limitado, o que foi um terrível erro, tendo influenciado a filosofia e a ciência até hoje. Ele admitia a existência de algo não físico no universo, mas achava que nosso pensamento era mecânico e não podia chegar ao que não era físico. A matemática já mostra o erro, pois ela não se relaciona diretamente com o mundo fisico, a não ser em contagens. O fenômeno da telepatia pode ser entendido, mas não vou tratar disso aqui. Apenas dizer que o receptor não capta precisamente o que o emissor está pensando, mas uma "sombra" disso. Pode haver um emissor e vários receptores. No antigo livro Psi (não sei se foi traduzido) há um relato de uma experiência feita na União Soviética (que estava muito interessada em fenômenos de telepatia, para fins militares) de se ter levado filhotes de uma coelha para um submarino, e em horas precisas foram matando um por um. A cada morte havia uma alteração no eletroencefalograma da coelha. A frase de Shakespeare é "há mais coisas entre o céu e a terra do que pode imaginar sua vã filosofia", está no drama Hamlet.
[1] Que o infinito existe para "dentro" e para "fora" e não é localizado. [2] A matéria existe? [3] Um profundo sentimento de gratidão. E torcida para que tenham outras. RESP.: Não sei o que você quis dizer com "dentro" e "fora". Quando pensamos na ideia de infinito, estamos trazendo essa ideia, que está no mundo platônico das ideias, portanto "fora" de nós, para nosso pensamento, isto é, para "dentro" de nós. Sim, a matéria existe, mas é uma condensação de algo imaterial. Nos seres vivos, as formas da matéria são controladas pelo que chamo de "modelo", algo não físico, da natureza de nosso pensamento (por isso reconhecemos com ele as formas típicas de uma espécie); esse modelo interage com o corpo físico (tenho uma teoria sobre isso). Veja a apresentação de minha palestra "O pensamento é gerado pelo cérebro? Implicações na 'inteligência' artificial" em
www.ime.usp.br/~vwsetzer/apresentacoes/pensamento-IA.ppsx
Quanto a outras palestras, fique de olho na lista das programadas em
www.ime.usp.br/~vwsetzer/pals/pals-cursos.html
Se você não veio na palestra do dia 5/10, venha na do dia 6/1/25.
[1] Aprendi muitas coisas importantes, impossível escolher uma só. [2] As dúvidas ... formam um conjunto impressionante. E isto é ótimo. [3] Agradeço com ênfase. RESP.: Que bom que minha palestra despertou dúvidas - isso indica um aspecto de uma boa palestra.
[1] Os diferentes tipos de infinitos. Aa diferenciar a verdade. Não existe infinito menor ou maior, apenas infinitos. [2] Pontos de perspectiva a nível arquitetônico. Estudei. arquitetura, bom para mim. [3] Física. Relação de átomos e real. RESP.: Eu mostrei (veja a apresentação) que o Cantor provou que o conjunto das partes de um conjunto C é sempre maior (isto é, tem mais elementos) do que C (a menos C ser vazio), inclusive se C for infinito. Baixe a apresentação e recorde o capítulo sobre a perspectiva. Introduzi-a, pois é uma maneira de representarmos finitamente o infinito. Eu quis chamar a atenção para o fato de normalmente nos prendermos ao que vemos (as paralelas se encontrando), e não à realidade (elas só se encontram no infinito, que não vemos). Isso significa que nossos sentidos muitas vezes nos transmitem uma ilusão. Com o pensamento, somos capazes de transcender essa ilusão, isto é, ver as paralelas se encontrando (por exemplo, numa rua ou numa estrada) mas imaginar que na realidade não se encontram. Com o pensamento podemos chegar à realidade das coisas. Tendo capacidade de observar a realidade transcendente ao mundo físico, os antigos hindus chamavam o mundo físico de "maia", uma ilusão; para eles, muito mais real era o mundo espiritual. Não é difícil compreender isso: ao vermos uma planta, vemos parcialmente (por exemplo, de um só lado) o que ela é naquele instante. Mas ela não é só isso, ela já contém seu desenvolvimento, como foi magistralmente apontado por Goethe. Sobre a ciência dele, veja, por exemplo, meu artigo
www.ime.usp.br/~vwsetzer/Goethe-vs-Newton.pdf
A humanidade perdeu a capacidade de observar o mundo espiritual, a não ser que se desenvolva órgãos não físicos para isso (que os hindus chamavam de "chacras"). Eu acho que no nível atômico a realidade não é mais só física. Idem para os limites do universo, como mostrei na palestra.
[1] Expandir a percepção da realidade em que vivemos. [2] Não tive dúvidas e sim a necessidade de aperfeiçoar o exercício mental! [3] Muito boa aula, ajudando a expandir nossa mente. RESP.: Sim, acho fundamental fazer-se diariamente pelo menos um pouco de exercícios de concentração mental ou de meditação (esta já exige uma concentração mental). Acho também importante fazer-se o exercício de a todo momento pensar que há algo não físico subjacente a qualquer objeto físico, em particular aos seres vivos.
[1] O mais importante foi a desconstrução do conceito de infinito ligado ao físico. Exercício de sair do físico e imaginar o infinito. [2] As dúvidas são infinitas... Sempre buscando uma nova maneira de pensar no infinito. [3] Pode fazer outras palestras tão dinâmicas assim. Conhecimento incrível. Tema que acho legal é a modelagem matemática. RESP.: Fique de olho na programação de minhas palestras em
www.ime.usp.br/~vwsetzer/pals/pals-cursos.html
Quanto à modelagem matemática, é fundamental não confundir o modelo matemático com a realidade. A frase do Galileu parece ter sido: "A matemática é a linguagem com a qual Deus escreveu o universo". Como eu disse, ele não falou que a matemática é o universo. Não se deve extrapolar o significado de um modelo matemático, que nunca é a própria natureza. Obrigado pelas últimas palavras em russo. Gostaria de ter escrito algo para você nessa língua, mas pelo visto eu teria que definir que todo o texto, e não parte dele, está em caracteres cirílicos.

16. 24/10/24, palestra presencial para alunos da 3ª seríe do ensino médio do Colégio Uirapuru, Sorocaba, dentro do programa Embaixadores da Matemática do IME-USP. Info: Prof. Eric P. M. Bernardo eric.bertudojuntonardo no colegiouirapuru dot com pt br

[1] O ponto pode ser qualquer coisa, dependendo da escala. As retas se encontram no infinito. Infinito não deve ser baseado nas percepções sensoriais. Não é possível representar um átomo. A luz é invisível. [2] Como que duas retas paralelas se encontram no infinito? É pela perspectiva? [3] Obrigada pela aula. RESP.: Podemos imaginar qualquer coisa reduzida a algo infinitamente pequeno, e isso é um ponto. A luz torna-se visível quando interage com a matéria. Mostrei que é razoável imaginar-se que duas paralelas se encontram no infinito, se imaginarmos uma delas rodando com um ponto fixo, e imaginarmos que ela assume posições contínuas, o que é impossível representar graficamente. Com a rotação de uma delas, o ponto de intersecção vai se afastando; podemos supor que um pouco "antes" de elas ficaram paralelas, o ponto de intersecção estava muito distante, ao ficarem paralelas ele está mais distante ainda, infinitamente distante. Fiz ainda uma ilustração usando circunferências de raio crescente, até ele atingir o infinito. A perspectiva é a representação do infinito trazida para o finito (obviamente, não é a mesma coisa).
[1] Refletir sobre a realidade, o que é real e o que é imaginação. [2] Como é possível distinguir o real do imaginário? [3] Palestra didática, envolvente e que traz reflexão. Refletir = aprender. Interessante palestra, inesquecível. Obrigada pelo seu tempo (outro tema interessante para refletir, ha há há!)! RESP.: Cuidado com o que você chama de imaginário. Podemos pensar em um ponto ideal, geométrico - e ele é objetivo e universal (todas as pessoas pensam na mesma ideia de ponto). Portanto, podemos imaginar "coisas" reais que não existem fisicamente; chamei esse "espaço" de Mundo Platônico das Ideias", que não é físico. Nesse sentido é preciso distinguir o "real" físico do "real" imaginário. Toda a matemática é um real imaginário, mental. É normal uma pessoa distinguir o que pensa, uma ideia, do que ela percebe sensorialmente. Se ela não consegue distinguir o que existe no mundo físico do que ela pensa, ela tem um problema psíquico; é um dos sintomas da esquizofrenia.
[1] Ao analisar o infinito, não se pode usar o raciocínio intuitivo e "físico" do finito (percepções sensoriais). Exemplo, figuras geométricas, conjuntos numéricos, o universo etc. Puro pensamento. [2] Como 2 retas se encontram no mesmo infinito, se o plano é infinitamente grande, tanto para a esquerda quanto para a direita? Eles se encontram como uma esfera? [3] Adorei a aula, muito obrigado. RESP:. Eu sugeri que vocês imaginassem a folha de papel plana crescendo até que atingisse o infinito (que não pode ser representado graficamente como espaço). O segmento de reta que estava indo até as bordas da folha transforma-se numa reta de comprimento infinito. Ainda estamos sempre no plano, não numa esfera, que é tridimensional.
[1] Não se pode representar um ponto fisicamente. Imaginação = ∞. Ponto é o limite de qualquer figura geométrica. Meditação não é algo físico ∞ concentração mental. Plano projetivo = até o infinito. Soma de infinitos 0's é indeterminada. Retas encontram-se no mesmo infinito. Pensando no ∞, não se pode usar as "ideais" sensoriais. Ninguém sabe verdadeiramente o que é um elétron, sem que seja modificado. O nosso tempo, não é o tempo da física. [2] {Vazio}. [3] Para mim, a palestra foi extremamente prazerosa e enriquecedora, pois pude abrir mais pensamentos para conceitos que para mim já eram fixos e enraizados. RESP.: Você pode imaginar algo que não tem tamanho infinito, por exemplo um círculo colorido. Um excelente exercício de meditação é imaginar esse círculo alternando a sua cor, depois imaginar que ele vai crescendo até se transformar em um plano infinito com a última cor, depois fazer o círculo surgir novamente e chegar ao tamanho original. Depois imaginar que ele está diminuindo de tamanho, até se tornar um ponto colorido, depois voltar ao círculo original. Experimente! O importante é não pensar em absolutamente mais nada, senão você perdeu a concentração (e capacidade de se concentrar é essencial para estudar! A propósito, use o celular somente para o que é absolutamente essencial, pois ele foi feito para distrair, o que prejudica a capacidade de se concentrar. Sim, pensando no infinito não se pode usar ideias baseadas no mundo sensorial. Aliás, toda a matemática e a geometria ideal não têm nada de físico! Elas mostram que podemos pensar em "coisas" que não são físicas. Estou preparando uma palestra sobre o tempo, a pedido de um professor da Escola Politécnica da USP.
[1] As diferenças nas formas de analisar questões da realidade finita sei infinitas. => E os" problemas"/desafios da ciência. [2] Infinitamente grande é igual a infinito ou diferente do infinito? Por que se criou esse termo? [3] Gostei muito do paradoxo da soma dos comprimentos dos lados de um triângulo => a < b + c; a = b + c. Observei, durante a palestra, a opinião do palestrante em diversos momentos sobre nossas noções sobre a ciência, algo com que considerei importantíssimo. RESP.: Imaginar algo infinitamente grande, por exemplo um lápis e uma porta, levam a imagens de infinito que preservam sua forma; é uma questão de escala. O infinito que podemos imaginar de uma reta é diferente de imaginar um lápis ou uma porta infinitamente grandes. Os antigos gregos já quebraram a cabeça pensando no infinito, inicialmente tinham horror dele. Até que Euclides provou de maneira extremamente simples que havia infinitos números primos, e com isso acabou o tal horror. O símbolo ∞ foi introduzido em 1655 por John Wallis. Eu costume abordar questões filosóficas em todas as minhas palestras. As vezes é só sobre filosofia...
[1] O ponto pode ser representante de qualquer coisa; o pensamento deve ser diferente ao considerar o finito e infinito; os reais não são numeráveis (infinito maior que os dos naturais). A matemática, a linguagem da natureza, não a natureza em si. [2] Como se dá diferença entre o nosso tempo e o físico? Os cientistas têm chance de adequar-se o suficiente para descobrir o que são partículas subatômicas. [3] Gostei muito de pensar além do senso comum. Abri um pouco do meu horizonte acerca da realidade. RESP.: Diz-se "enumeráveis". O fato de não se poder enumerar os reais mostra que o infinito deles é diferente do infinito dos naturais. Cantor provou que qualquer conjunto das partes de um conjunto é maior (tem mais elementos) que o primeiro. Ele quis provar que conjunto das partes do conjunto dos naturais era o conjunto dos reais, mas não conseguiu isso, o que contribuiu para sua depressão. Mais recentemente foi provado que se trata de um problema indecidível, esse fato não pode ser provado.
[1] O ponto é infinitamente pequeno. A reta só tem comprimento. O lado maior de um triângulo é menor do que os outros 2 juntos. Uma reta divide um plano infinito em. Uma parte. 2 retas paralelas se encontram no infinito. [2] Nada. [3] Nada. RESP.: Na verdade, cometi um erro: não precisa ser o lado maior.. Qualquer comprimento de um lado de um triângulo com ângulos diferentes de 0 (se forem 0 o triângulo reduz-se a um segmento de reta) é menor do que a soma dos comprimentos dos dois outros lados.
[1] O que eu aprendi de mais importante não dá para colocar em palavras, é ser flexível, é pensar de maneira diferente, é tudo!.[2] A mesma coisa, tudo, mas eu entendi também, pois eu aprendi infinitamente. Não tem como escrever isso. [3] Nenhum, estou sem palavras. Mas isso já é um comentário, então?... É difícil. RESP.: às vezes é necessário "digerir" um conteúdo para comentar sobre ele.
[1] A palestra me fez refletir e desmistificar a ideia de infinito. Tinha muitas ideias equivocadas. Por exemplo, que há mais números naturais do que pares, por exemplo, que em um segmento de medida 0-1 tem a mesma quantidade de pontos de uma reta. [2] Sobre alguns conceitos físicos. [3] Muito obrigada por apresentar conceitos tão profundos de forma tão simples e esclarecedora. Foi enriquecedor aprender com o senhor, mestre. RESP.: O que provei é que há o mesmo número infinito de pontos em um segmento de reta do que em um quadrado de lado de mesmo tamanho que o segmento (decomposição da distância da abcissa e da ordenada de um ponto à origem).
[1] Apreendi que as áreas de conhecimento têm limitações, o pensamento humano busca respostas para o desconhecido e que, nem as ciências humanas ou as ciências exatas podem responder a tudo. [2] A maior dúvida é sobre a aplicação concreta dos conhecimentos matemáticos no âmbito escolar, por que somos tão pouco concretos e a tanta dificuldade na abstração? [3] O flerte com a filosofia durante a palestra foi muito bom! Principalmente para os de humanas, como eu! RESP.: Atenção, na verdade existe apenas uma ciência exata, é a matemática. A física experimental e a teórica baseada nela, a biologia, a astronomia etc. são ciências aproximadas, pois baseiam-se em medidas feitas por instrumentos, que são sempre aproximadas e nunca exatas. Quanto aos aspectos filosóficos e históricos, sempre tento incluí-los pois tocam mais as pessoas do que as teorias abstratas ou formais.
[3] Muito incrível., nos fez pensar bastante e ir além do que é pensado normalmente. Foram feitas reflexões valorosas que farão com que eu pense até o ∞. Sugestão. Tentar trazer as exemplificações matemáticas de forma didática. [2] {Vazio} [3] Obrigado. RESP.: Tentei ser bastante didático, não sei se conseguiria ser ainda mais.
[1] Penso, como todos os temas igualmente importantes, pois todos me auxiliaram em diferentes aspectos, alguns me ajudando a organizar, relembrar e aprender sobre diversas coisas. [2] Como a palestra estava muito bem explicada, quase não apresentei dúvidas, exceto com relação a alguns conceitos que não agregavam com os demais. [3] Considerei muito importante porque ela me ajudou a organizar as ideias. Eu já conhecia diversos conceitos, mas não me lembrava mais. Amei a sua palestra, que sem dúvidas me auxiliou muito. Obrigado por isso.
[1] O mais importante foi que para criar um ambiente reflexivo e criativo precisamos mudar quase tudo e na nossa formação, estudar muito, pensar muito e também fazer perguntas para nós mesmos. Muitas rupturas. [2, 3] {Vazios}. RESP.: para desenvolver a imaginação, faça uma atividade artística e leia pelo menos um bom romance por mês.
[1] Que a grande parte dos conceitos que aprendemos está no pensamento/imaginação e não podem ser representadas fisicamente, inclusive o infinito. [2] Como é possível que retas paralelas se encontrem? [3] Parabéns pela aula, foi espetacular em conteúdo e estilo. Adorei as reflexões além do previsto. RESP.: Mostrei que por continuidade imaginada, a intersecção de duas retas pode ser levada até o infinito; podemos então imaginar que essa intersecção está no infinito.
[1] Não tem como desenhar um ponto (graficamente). O ponto existe no mundo platônico." Achei muito interessante a divisão da folha pelos segmentos de reta. A arte na idade média não utilizava o estudo de perspectiva. Conjuntos numéricos dos inteiros e naturais: estabelecer uma ordenação dos números inteiros. Televisão, abafa o pensamento => "Leia um livro!" "O conjunto dos racionais, ordenados, são o mesmo dos naturais." "Não dá para ordenar os reais." 'Infinito no mundo físico: ~> infinitesimal => nível atômico ~> Infinito =>limites do universo. Não se sabe o que é um elétron ~> incompreensível. Física: medidas c/ instrumentos c/ quantidades ~> tudo quantitativo. Luz não é uma onda ~> depois de interagir com as fendas, mostram uma natureza de onda. Infinito físico, não é possível compreender o finito do universo. [2] Como se imagina um ponto se eu nunca, definitivamente, vi um? Como os segmentos de retas se encontram no infinito se são paralelas? A expansão do universo teria "força maior" do que a aceleração gravitacional. [3] A palestra do professor Setzer mostrou um lado da matemática muito diferente do que normalmente é proposto. A matemática, que usualmente é apresentada no sistema escolar como algo tão sucinto, sólido, foi apresentada pelo professor como algo para se refletir e analisar. Antes, a matemática não me interessava tanto. Mas quando entrei no Uirapuru, isso mudou bastante – principalmente com o professor Eric – e agora, após a palestra, mais ainda. Aliás, o projeto das palestras nas escolas é muito interessante e essencial para estabelecermos visões diferentes do que estamos direcionados. Além disso, o professor Setzer nos mostrou diversas aberturas para reflexão, além de "refutar", várias coisas que vemos com tanta rigidez no espaço escolar – como, por exemplo, a teoria da gravitação de Newton (F = g m₁ m₂ / d_2/), cujo ignora a existência de outros corpos celestes. A frase "o infinito da matemática pode ser conceituado e compreendido, pois ele é puro pensamento, não tem nada de Físico" me marcou, e baseou o meu comentário inteiro. Foi, de verdade, muito importante para nós. Muito obrigada pelas palavras e pelo conhecimento transmitido! RESP.: Excelente sinopse da palestra! Sim, ninguém jamais viu um ponto ideal (geométrico), uma reta ideal, uma circunferência ideal etc. No entanto, todos pensamos a mesma coisa. Isso se deve ao fato de que com o pensamento podemos "perceber" o mundo das ideias, que não é físico. Aproveitando, isso mostra que nosso pensamento não é físico (a ciência não sabe o que é pensar.) Sobre as retas paralelas, veja a avaliação anterior.
[1] O infinito é do mundo dos pensamentos. [2] E os números complexos? [3] Muito interessante, aprendi muito. RESP.: Não abordei os complexos, já havia assunto demais. É necessário examinar a parte e real e a imaginária dos complexos. Se ambas forem números naturais, então a cardinalidade do conjunto desses complexos é a mesma que a dos naturais - pode-se construir uma matriz como Cantor fez com os racionais. Se as partes são racionais, pode-se construir duas matrizes, ordenando um elemento de uma, depois um da outra, depois voltando para um novo elemento na primeira etc. Ou então usar a mesma construção que mostrei para o segmento de reta e um quadrado. Portanto complexos com partes racionais têm a mesma cardinalidade dos naturais. Complexos com partes reais funcionam exatamente como no caso do segmento de reta tendo a mesma cardinalidade que um quadrado, isto é, a cardinalidade dos reais. No cap. 11 do livro sobre o infinito eu trato dos complexos.
[1] Que o pensamento não é fixo, mas deve ser flexível. A ciência não condiz. Realidade, mas à medidas. [2] Para o senhor, Deus é realidade.?
[3] Adorei sua palestra, adoraria ter uma conversa longa com o senhor. RESP.: Sim, infelizmente a educação escolar tende a enrijecer os pensamentos, o que em um extremo pode levar a fanatismos. Se você examinar todos meus artigos, eu não menciono Deus, pois essa entidade virou mera abstração. Há um artigo recente em que eu menciono Deus, pois comentei o ateísmo de Leandro Karnal, mostrando que "ateu" não é uma boa denominação, veja em
www.ime.usp.br/~vwsetzer/Karnal-ateismo.pdf
Adianto que não sou adepto de nenhuma religião, mas tenho interesse em conhecer todas, para compreender como muitas pessoas sentem e pensam. Não sou adepto de nenhuma religião, mas tenho religiosidade, isto é, não sou materialista, como caracterizei no artigo citado acima. Estou à disposição para conversarmos, pessoalmente com você ou com um grupo de seus colegas e amigos – você viu que eu tenho muita coisa para contar (vivi muito...)! Escreva-me um e-mail (endereço no topo de minha home page) para combinarmos, posso agendar uma sessão remota pelo Zoom.
Resposta informal, com respeito:
[1] Matemática é coisa de maluco. Há há há. [2] Como a mente humana consegue chegar tão longe? [3] Simplesmente maravilhoso (você e a palestra).
Resposta. Formal:
[1] matemática pode ser facilmente manipulada, porém a tapa etapa mais difícil avaliar o avanço dessa manipulação. [2] Como posso manipular os números e conceitos matemáticos com maior facilidade? [3] Como posso encontrar artigos matemáticos com mais facilidade? RESP.: A mente humana não tem limites; pode chegar muito longe pois tem acesso ao mundo das ideias.
[1] Arte da idade média é sem perspectiva. O elétron pela matemática é uma onda de possibilidades. Podemos pensar em coisas que não conseguimos representar. A TV tem efeito de sonolência, abafa o pensamento, sem atenção mental. Cantor diz que o conjunto dos racionais é = aos naturais. A física é a medida de instrumentos. A luz é invisível. Estrelas fixas de Aristóteles. Problema dos 3 corpos. Nosso tempo não é o tempo da física. Existe apenas um infinito. [2] Como as retas paralelas encontram? O ponto tem tamanho zero, então como ele existe? [3] A palestra do professor Setzer nos mostrou que um ponto vai muito além do que imaginamos. A matemática vai muito além da sala de aula, que temos que refletir sobre tudo aquilo que aprendemos. E acho muito essencial o projeto de palestras nas escolas muito interessante. RESP.: Ótimo você ter achado importantes tantos tópicos! Não existe apenas um infinito. Examinamos dois nos conjuntos de números: a cardinalidade do conjunto dos naturais e a dos reais. Cantor mostrou que existem infinitos infinitos; pulei essa parte da apresentação, baixe-a e a examine. Sobre o encontro das paralelas, veja a avaliação 1. Um ponto ideal não existe fisicamente (e nenhuma outra figura geométrica ideal), mas podemos atingir a ideia de ponto, e trabalhar com ela.
[1] O ponto não é visível. (tamanho zero) [2] Como descobrimos que existem coisas invisíveis? [3] Nenhum. RESP.: Há muuuuitas coisas invisíveis, inclusive físicas, como a irradiação ultravioleta, a eletromagnética, a força da gravidade etc. Mas há coisas invisíveis que não são físicas, mas todos vivenciam, como o pensar, o sentir e o querer.
[1] O infinito é um conceito muito mais presente em nossas vidas do que pensava. Pensar sobre isso me faz pensar sobre o quão pequeno somos. [2] Existem infinitos maiores que outros. [3] Não posso chamar esta palestra de palestra. Pois foi um show, do começo ao fim. Valdemar, só tenho a te parabenizar por sua de didaticidade e molejo em apresentar os assuntos. RESP.: Não somos pequenos! Nosso pensamento chega até o infinito! Tentei interessar vocês por alguns tópicos de matemática e da vida diária.
[1] Eu aprendi de mais importante que há uma correspondência biunívoca entre o conjunto natural e o dos pares. [2] Foram em relação às retas infinitas do quadrado. [3] Essa palestra mudou todo o meu ponto de vista matemático. RESP.: Não entendi o que você quis dizer com as retas infinitas do quadrado. Talvez era o número infinito de pontos de um quadrado, que é o mesmo que o número de pontos de um segmento de reta?
[1] Suposição ? realidade. [2] Função bijetora. [3] Gostei. Professor, você deve conhecer meu professor de química Sérgio Horci [?], é você "..." [Ilegível] químico. RESP.: Quando falei de correspondência biunívoca entre os elementos de dois conjuntos, eu poderia ter mencionado as funções bijetoras, mas não quis sobrecarregar com mais conceitos. Não conheço o Sérgio Horsi.
[1] O mundo é algo incompreensível, devemos pensar "fora da caixa". [2] O que é um ponto? (Contém ironia). [3] É interessante saber de tantas coisas, vejo uma inspiração futura, saber de tudo um pouco. RESP.: Eu mencionei a definição dada por Euclides: "Ponto é o que não pode ser dividido em partes." Não se deve ficar no "pouco" de cada coisa, deve-se sempre tentar aprofundar-se. Cuidado: um telespectador ou usuário de internet é uma pessoa que sabe cada vez menos sobre cada vez mais, até não saber nada sobre tudo...
[1] Ponto é o infinitésimo de qualquer objeto físico. Conjuntos de mesma cardinalidade são equivalentes no infinito. O infinito é o único [fez o desenho das circunferências de raios crescentes, percorridas no sentido anti-horário. O problema do universo: expande aceleradamente: energia e matéria escura; finito ou infinito? Existem ideias universais que são compreendidas por todos, mas não podem ser demonstradas na realidade. [2] Se IR = Q + I, irracionais são enumeráveis? Se não, eles têm mesma cardinalidade dos reais? Reais e irracionais são biunívocos? [3] Maravilhosa palestra, didática impecável. RESP.: Os irracionais não são enumeráveis, como Cantor mostrou com a diagonialização (a matriz de frações com o mesmo denominador em cada linha, e o mesmo denominador em cada coluna. Os reais contêm os racionais; os irracionais não contêm os racionais.
[1] Sobre as retas e os pontos infinitos. [2] Foram em relação às retas infinitas no quadrado. [3] Gostei muito da sua palestra, meus parabéns! RESP.: Sobre as tais retas infinitas no quadrado, veja a avaliação 21.
[1] Um ponto pode representar qualquer coisa com tamanho zero. [2] Sem dúvidas. [3] Achei que destoou um pouco algumas vezes, mas foi uma ótima aula e me apresentou diversas perspectivas. RESP.: às vezes saí, propositalmente, do assunto principal.
[1] Biunívoco. Só existe um infinito. [2] Vazio. [3] Boa explicação. Senso de humor. RESP.: Não existe só um infinito. Eu mostrei que a cardinalidade do conjunto dos reais é diferente da cardinalidade do conjunto dos naturais. Cada feixe de paralelas faz com que elas se encontrem em outro infinito.
[1] A abrangência do conceito de limites, tanto no quesito matemático quanto físico. [2] A relação do volume de uma esfera. [3] Palestra excepcional. RESP.: Relação com o que? Podemos imaginar uma esfera com raio infinito.
[1] O conceito, as aplicações e explicações acerca do infinito e do plano projetivo. [2] Senti que ainda preciso me aprofundar nas teorias sobre conjuntos numéricos. [3] Achei a sua aula muito didática, interessante, inspiradora, realmente impressionante! Muito obrigada, Valdemar. RESP.: Há muita coisa fascinante na matemática. Espere até eu dar a palestra sobre Fibonacci, as espirais e a razão áurea (se eu for convidado...).

15. 6/5/23, palestra presencial dentro do projeto "Comunidade 60+" (mas aberta a qualquer interessada/o), promovido pela Pró-Reitoria de Cultura e Extensão da USP, no Auditório Jacy Monteiro do Bloco B do IME-USP, Av. Prof. Luciano Gualberto 1171, Cidade Universitária, dentro do programa Embaixadores da Matemática do IME-USP. Info: Prof. Eduardo Colli cotudojuntolli no ime ponto usp dot br. Avalições feitas por escrito.

[1] A universalidade dos conceitos, que podem ser objetivados da mesma forma por diferentes indivíduos. O infinito como conceito que não encontra representação no mundo físico. Entrei com dúvidas básicas e saí com dúvidas mais elevadas. [2] Preciso pensar, e muito. [3] Maior divulgação. RESP.: Os conceitos são diferentes do que sua representação no mundo físico. Tomemos o exemplo do conceito "porta". Aquela porta que mostrei é uma possível representação desse conceito, não é o próprio conceito. Isso é devido ao fato de que os conceitos não são físicos. Veja o meu artigo
www.ime.usp.br/~vwsetzer/conceito-cerebro.pdf
onde eu descrevo o que apresentei a vocês como as representações e o conceito do numeral 2, mostrando que o que há de comum entre todas as representações do 2 não é nenhuma delas, é o conceito puro do 2, com o qual trabalhamos. Tanto faz escrever 2+3=5 como "dois mais três igual a cinco", o que pensamos é sobe os conceitos de 2, de +, de 3 etc. Que bom que deixei dúvidas! Sim, houve um grande problema de divulgação. Havia muitos pais acompanhando filhos em outras atividades, se houvesse cartazes alguns poderiam ter assisitido a palestra. Foi um grande esforço de minha parte, que poderia ter sido aproveitado por mais gente.
[1] Aprendi a questionar dogmas científicos, filosóficos, e tecnológicos e não aceitar tudo como verdades definitivas. [2] Tornaram minhas dúvidas mais conscientes e estimulantes. [3] Sutilezas nas verdades! RESP.: Sim. E um dos "dogmas" mais comuns é a teoria darwiniana da evolução. Um outro é que o sangue circula porque é bombeado pelo coração. E há muitos outros. Estou seguro de que muitos cientistas sabem que essas são meras teorias, não são fatos científicos. O problema é que elas são popularizadas como verdades, como fatos. Por exemplo, ninguém estava nos tempos primordiais para investigar a evolução, e não se sabe por que há certa mutação hoje em dia para levar à seleção natural (por exemplo, das bactérias e vírus; já se comprovou na alteração de pássaros que migraram de uma ilha para outra). Eu estendo a teoria darwiniana assumindo que nem todas as mutações e nem todos os encontros entre casais são aleatórios. O sangue é um fluido muito viscoso, é há, se não me engano, milhares de quilômetros de vasos sanguíneos no corpo humano, a maior parte capilares, de modo que a tal bomba do coração deveria ter uma potência descomunal. O coração comporta-se como uma bomba ao dar um pulso de pressão que é detectado pelo corpo, produzindo a circulação sanguínea. Experimente tomar sua pressão sanguínea perto do coração e longe dele, e verá que a pressão aumenta, o que contradiz a ideia de que o sangue flui por ser bombeado pelo coração.
[1] Libertação da intuição no mundo físico. [2] Quanto às dúvidas, preciso refletir mais e talvez depois eu possa esclarecê-las. [3] Palestra excelente para "demolir" conceitos arraigados ao longo do tempo. RESP.: Sim, chamei a atenção para o fato de que a educação escolar favorece o raciocínio lógico, em lugar de também, ou talvez primordialmente, incentivar a intuição, e só depois dela usar o raciocínio lógico. Alunas/os são induzidos a perguntar e responder apenas coisas corretas, e ficam inibidos, com medo de errar.
[1] A aplicabilidade do conceito de infinito. Antes era um conceito bastante limitado e subjetivo, algo fora de alcance. [2] Não sei dizer. Recebi muitas informações. Talvez após "digerir" melhor o assunto. Vou ver o ppt. [3] Adorei!!! Estou há décadas longe da escola, foi ótimo!!! RESP.: O importante é que, ao se lidar com o infinito, é necessário abandonar nossa maneira de pensar, baseada na nossa percepção do mundo físico finito. Coloco aqui o endereço do ppt.
https://www.ime.usp.br/~vwsetzer/apresentacoes/infinito.ppsx
[1] Conceitos não estão no cérebro. São universais. Não são construídos socialmente. Também aprendi que é preciso "sair do quadrado", pensar, refletir, intuir para além do lugar comum. [2] Sinceramente, eu tive dificuldade de compreender muita coisa, pois a minha área de conhecimento e ativação profissional é a psicologia. [3] Para mim foi muito bom, pois contribuiu para aumentar a minha perspectiva e desejar ampliar ainda mais. Obrigada, professor! RESP.: Pena que você não fez perguntas para eu esclarecer o que você não estava entendendo. Mas certamente você deve ter ficado com uma impressão geral (como por exemplo "conceitos não estão no cérebro), e talvez tenha aprendido alguns resultados sem ter compreendido as deduções. Parabéns por ter vindo assistir uma aula de matemática, seu interesse por essa matéria é um grande exemplo. A matemática é importante pois com ela exercitamos um pensamento absolutamente claro e fora do mundo físico, ao qual ficamos presos, pelos sentidos sensoriais, logo que despertamos do sono. É preciso fazer um esforço mental para nos afastarmos do mundo físico, para nos libertarmos da prisão que ele representa, e penetrarmos conscientemente no que me referi como "o mundo platônicos das ideias". Lembre-se como eu comecei: nunca ninguém viu um ponto geométrico, ideal; no entanto, trabalhamos mentalmente com ele na matemática.
[1] O universo não é finito nem infinito. [2] A matemática é uma criação ou uma descoberta? É somente uma linguagem? [3] Interessante! Gostei. Boas surpresas. RESP.: Sim, se for finito, deve-se perguntar, como eu mostrei: o que há além dele? O nada? O que é nada? Até onde vai o nada? Isso não faz sentido físico. Se ele for infinito, estamos usando um conceito que não tem representação física. Em ambos os casos, chego pessoalmente à conclusão de que nas fronteiras do universo a matéria física desaparece. O mesmo quando se trata das partículas atômicas, que são incompreensíveis. Quando se lida com a matéria infinitamente pequena, ela desaparece. Ela se torna física quando é agregada, por exemplo em moléculas., ou quando é tirada de seu estado natural, como nos aceleradores de partículas. Não se sabe o que é a matéria no infinitamente pequeno e no infinitamente grande. Pode-se conjeturar que ela deixa de ser um fenômeno físico. Quanto a matemática ser uma criação humana ou uma descoberta, essa é uma questão milenar. Minha tendência é achar que os seres humanos são capazes de introduzir novas ideias no mundo platônico das ideais, que não é físico. Por exemplo, parece-me que o zíper é uma dessas ideias que não provêm do exemplo da natureza. Os computadores também. Na matemática, depois que uma pessoa pensou em algo que não existia antes, como a teoria dos conjuntos de Cantor, como eu mostrei, esse pensamento passa a fazer parte do mundo das ideias, e daí para diante pode ser usado por outras pessoas. Se outra que não conhecia a novidade chegar aos mesmos pensamentos, terá feito uma descoberta. Mas minha tendência é achar que Cantor criou a sua teoria.

14. 30/9/22 palestra presencial (e remota pelo canal do youtube do IME, onde ela está gravada) na 25ª Edição da Semana de Arte e Cultura da USP, no auditório Jacy Monteiro do IME-USP, Cidade Universitária, . Info: Prof. Eduardo Colli cotudojuntolli no ime ponto usp dot br. Graus de satisfação 1 - muito insatisfeita/o; 5 - muito satisfeita/o: 100%. Aprendeu coisas novas: 100%.

[1] Infinito em geometria. [2, 3] {Vazios}.
[1] Que às vezes as coisas que parecem intuitivas no mundo físico não se comportam da mesma forma que as generalizações matemáticas. [2] Como a união infinita de pontos (dimensão 0) formam uma reta (dimensão 1)? [3] {Vazio}. RESP.: Como eu mostrei, a soma de infinitos zeros é indeterminada. Portanto, a distância composta por infinitos pontos geométricos pode ser qualquer linha finita, em particular com um segmento de reta que tem certa distância.
[1] A noção de infinito, que se fecha sobre si mesmo, não há lateralidade. [2] Muitas!! Mas valeram a pena, pois um aprendizado real baseia-se sobre dúvidas. Os números irracionais são difíceis para minha compreensão. {Vazio}. RESP.: Interessante sua observação de que o infinito na matemática fecha-se sobre si mesmo. No sentido de uma reta ou plano infinitos, isso se aplica muito bem. Mas não se aplica em feixes de paralelas, no sentido em que cada feixe tem seu infinito próprio. Já nos conjuntos de números, como qualquer subconjunto infinito dos naturais ou dos racionais tem a mesma cardinalidade que o conjunto dos naturais, eu diria que ele é "invariante". Quanto aos irracionais, veja a demonstração que coloquei na apresentação em ppt. Como exercício, substitua a raiz quadrada de 2 pela raiz quadrada de m natural.

13. 21/9/22, com adição de considerações sobre "matemática e espiritualidade", palestra remota para a série Momentos de Antroposofia, organizada pela Sociedade Antroposófica em Portugal. Info: Arq Fritz fritzjuntoarq attt sapo ponto pt

[1] Que a cardinalidade do conjunto dos números irracionais é diferente ao dos números naturais; isto é, que há infinitos maiores do que outros. É como a diferencia entre uma reta infinita e um plano infinito, o segundo é mais infinito do que a primeira. Que o desenho de perspetiva e o ponto de fuga é outra maneira de ver o infinito. [2, 3]{Vazios}. RESP.: Como eu mostrei que um segmento de reta tem o mesmo número infinito de pontos que um quadrado, teoricamente isso pode ser estendido para uma reta infinita e um plano infinito, que têm o mesmo número infinito de pontos.
[1] "Reforço" de conhecimentos que já tinha, da geometria projectiva. [2] Não consegui compreender a 100% a parte sobre números, talvez também devido ao cansaço no final do dia. [3] Achei excelente a didática e todo o ambiente que o palestrante soube criar. RESP.: Estude a apresentação em ppt, provavelmente vai compreender tudo, pois não é complicado.

12. 29/10/21 palestra remota nos Seminários de Estudos em Epistemologia e Didática (SEED)/Seminários de Ensino de Matemática (SEMA) da Faculdade de Educação da USP (FEUSP). Questões adicionais: [4] Grau de satisfação com a palestra: (1 - muito insatisfeito a 5 muito satisfeito) 100% de 5; [5] Aprendeu coisas novas (100% de SI Sim) [6] Área - 100% de CE Ciências exatas e engenharia.

[1] Sobre os vários pontos de fuga - não tive geometria projetiva em meus cursos. [2] A divisão do plano infinito. [3] Muito boa abordagem sobre os vários infinitos. [4] 1. [5] SI. [6] CE. RESP.: Quando se pensa sobre o plano infinito, não se pode usar imagens baseadas no mundo físico.

11. 26/10/21 palestra remota para alunos, professores, e interessados, organizada pela Escola Waldorf Veredas de Campinas. Questões adicionais: [4] Grau de satisfação com a palestra: (1 - muito insatisfeito a 5 muito satisfeito) 100% de 4; [5] Aluna/o do ensino fundamental (33,3% de EF ensino fundamental , 66,7% PR professor); [6] Aprendeu coisas novas: 100% de SI sim, interessantes.

[1] Acho que o mais importante que eu aprendi foi a entender melhor os conceitos de infinito dentro da matemática e da física, junto com suas relações e semelhanças. [2] Acho que por eu ainda estar no nono ano, que seria o último ano do fundamental, não consegui entender direito o conceito de comparação e relação entre dois conjuntos de números infinitos, como por exemplo os números naturais e os números pares. [3] Eu gostei bastante e começo cada vez mais a me interessar pela matemática. [4] 4. [5] EF. [6] SI. RESP.: Quem sabe se você baixar a apresentação e estudá-la calmamente você vai entender. Gostaria de saber o resultado disso! Ou, melhor ainda, leia o livro. O importante é compreender a associação biunívoca que construí. Que ótimo que você está começando a se interessar pela matemática, ela tem as pectos fascinantes e é fundamental para se desenvolver um raciocínio claro e ordenado e concentrado.
[1] Que o tema dos números infinitos é muito interessante e, às vezes, contraria nossa intuição. [2] Sobre a teoria Big Bang, os paradoxos e modelos usados para lidar com os mesmos. [4] Achei o tema e abordagem muito interessante, mas o conteúdo muito longo para uma única palestra. No formato virtual é bastante extenuante tanto tempo de atenção a este conteúdo. No fim, alguns conteúdos precisaram ser desenvolvidos de forma rápida, portanto superficial. Minha percepção é que a abrangência do conteúdo seria adequada a um minicurso e seria interessante adequar a quantidade de informações e questionamentos para uma palestra de 1h, especialmente se for no formato virtual. [4] 4. [5] PR. [6] SI. RESP.: Contraria a nossa intuição baseada em nossas experiências sensoriais. É preciso desenvolver também uma intuição que não é baseada no mundo físico que percebemos. É minha opinião pessoal que o Big Bang não é uma teoria satisfatórica. Uma das evidências para ele é a irradiação de fundo, mas ela poderia ter outras causas. A expansão do universo não é um bom argumento, pois ela deveria desacelerar, em lugar de aparentemente estar acelerando. Parece-me que a teoria do Big Bang é devida a um raciocínio baseado na percepção sensorial, mas a origem da matéria e da energia escapa a esse tipo de pensamento. Sim, o ideal é que tudo fosse desenvolvido muito mais devagar, em várias aulas. Infelizmente foi necessário comprimir tudo e ir muito rápido. Achei que era importante abordar todos os tópicos abrangidos.
[1] Maneiras diversas de bordar e explorar o infinito com os alunos e alguns aspectos históricos bastante interessantes. [2] {Vazio} [3] São abordados muitos conceitos e maneiras diferentes sobre como pensar sobre o infinito. Para os alunos que nunca tiveram contato com isso, talvez fique muito abstrato e não haja um tempo para uma reflexão e uma exploração da imaginação (especialmente nas ideias que se referem à geometria projetiva). Refletir sobre o infinito requer capacidade imaginativa e um "abandono" da representação física. Pensando nos alunos, fiquei com a pergunta se a palestra não fica muito densa e se eles de fato conseguem manter a concentração por tanto tempo e com assuntos tão profundos. Foi uma palestra muito interessante e motivadora! Gratidão! [4] 4. PR. [5] SI. RESP.: Infelizmente a palestra não pode ser feita com mais lentidão, devido ao tempo. De qualquer modo, a apresentação em ppt é suficientemente detalhada para os alunos poderem estudá-la.

10. 30/9/21 palestra remota retransmitida pelo youtube e gravada nele, para professores de matemática e ciências da natureza, e interessados, organizada pelo Núcleo Pedagógico da Diretoria de Ensino, Carapicuiba, SP, dentro do projeto Embaixadores da Matemática do IME. Info: Profa. Antonia Zulmira da Silva proftudojuntoantoniazs attt gmail pt com. Perguntas do formulário de avaliação e estatísticas: [1] Grau de satisfação (1 - muito insatisfeito a 5 muito satisfeito) 25% de3, 40% de 4, 35% de 5; [2] O que aprendeu de mais importante? [3] Quais as maiores dúvidas que ficaram? [4] Comentários; [5] Aprendeu coisas novas (SI - sim, interessantes 89,5%, SN - sim, não interessantes, N - não 10,5%); [6] Uso do assunto (PU - professor/a e vai poder usar em aulas 73,7%, PN - profesor/a, não vai pode usar em aulas 21,1%, NP - não é professor/a 5,2%); [7] Área (M - matemática 50%, CN - ciências da natureza 35%, CH - ciências humanas 15%, LCT - linguagens, artes etc., OU - outra).

[1] 5 [2-4] {Vazios} [5] SI [6] PU [7] M. RESP.: Pena que essa e outras pessoas deixaram itens vazios! Assim não me ajuda e as outras pessoas também.
[1] 5 [2] Abordagem sobre conceitos, diagrama de Venn o subconjuntos de infinitos impares [3] nenhuma gostei bastante [4] muito boa a formação [5] SI [6] PU [7] CN. RESP.: Não abordei o diagrama de Venn pois ele ilustra os conceitos de intersecção, união, subconjunto, e complemento de conjuntos, e não eram tópicos da palestra. Talvez fosse interessante abordar o diagrama em relação a conjuntos infinitos, por exemplo a interseção do conjunto dos naturais ímpares com o conjunto dos naturais múltiplos de três; ela também é infinita. Mas os diagramas de Venn não ajudam a se tirar conclusões sobre as cardinalidades dos conjuntos. Infelizmente a palestra já está longa demais. Talvez para uma nova edição do livro... Agradeço a sugestão.
[1] 3 [2] Sou da área de ciências da natureza. Então achei bem produtivo o que foi apresentando [3, 4] {Vazios} [5] SI [6] PN [7] CN. RESP.: Interessante você ser da área de CN e ter aproveitado. Obviamente, eu esperava um maior aproveitamento pelos professores de matemática, com sugestões para suas aulas. Mas a palestra foi idealizada para um público geral, como conhecimento adicional, e pela abordagem das questões filosóficas, que considero muito importantes para que se veja a possibilidade e importância de se mudar a maneira de pensar.
[1] 4 [2] aprofundamento da relação música/arte e matematica [3] cardinalidade [4] {Vazio} [5] SI [6] PU [7] CH. RESP.: Tanto no ensino médio quanto no fundamental a matemática devia ser sempre apresentada esteticamente, e isso deve ser feito com a geometria; os alunos deviam ser incentivados a fazer bonitos desenhos coloridos. Aliás, aproveito para dar uma sugestão didática: incentivem seus alunos a decorarem seus cadernos de anotações, pelo menos colorindo as margens. Com isso eles terão muito mais prazer em estudá-los! Quanto à cardinalidade, reveja a apresentação e talvez o livro. É um conceito muito simples. Já não o é para conjuntos infinitos, mas acho que dá para compreender.
[1] 3 [2-4] {Vazios} [5] N [6] PN [7] M. RESP.: Interessante que essa pessoa, que colocou uma avaliação indiferente para o grau de (in)satisfação, disse que não aprendeu nada de novo. Será possível? A organização de minha palestra foi totalmente original; essa pessoa poderia ter reconhecido que aprendeu uma maneira nova de apresentar esses assuntos. Além disso, é muito difícil que ela tenha lido ou ouvido antes as considerações filosóficas que eu fiz - a abordagem também foi original. Então não aprendeu nada de novo? E os exercícios meditativos que eu sugeri, não foram uma novidade? Pena - e interessante - que essa pessoa não colocou seu endereço de e-mail, pois eu teria escrito tudo isso para ela (não sei se verá essa síntese das avaliações).
[1] 4 [2] Aumentar minha perspectiva é capacidade de abstração [3] Como fazer o aluno se interessar e focar no assunto o suficiente para ter algum aprendizado significativo. [4] A defasagem em Matemática está realmente chegando ao extremo do aluno não saber "quanto é 2 + 2"! [5] SI [6] PU [7] CN. RESP.: Interessante você ter escrito que a palestra serviu para aumentar a sua capacidade de abstração. Cuidado, não se trata de uma abstração sem realidade. Chamei várias vezes a atenção para o fato de que os conceitos existem no mundo platônico das ideias, que não é físico. Ela é tão objetivo e universal quando os objetos do mundo físico! Quanto a interessar o alunos, posso resumir alguns pontos: dar aulas com entusiasmo pela matéria - isso irradia para os alunos, que também se entusiasmam; apresentar sempre dados biográficos e históricos ligados ao que é ensinado, pois assim introduz-se uma realidade nos assuntos, pois foram coisas que aconteceram; na matemática, sempre introduzir os tópicos por meio da geometria, pois ela apresenta um elemento estético, que vai tocar os sentimentos, não ficando apenas nos pensamentos abstratos. E assim por diante; na matemática, começar qualquer tópico novo com aplicações práticas, para depois introduzir a teoria; aí a teoria adquire sentido. Veja os últimos capítulos de meu livro A matemática pode ser interessante... e linda! - detalhes na minha home page. Quanto à "defasagem" da matemática, acho que isso é um problema da maneira como ela é ensinada, em geral muito abstrata.
[1] 5 [2-4] {Vazios} [5] SI [6] NP [7] CH.
[1] 4 [2] [3] Conceitos Básicos para o Ensino Fundamental [4] Quero ler o Livro [5] SI [6] PU [7] M. RESP.: Atenção: essa palestra e os assuntos abordados não foram pensados para o ensino fundamental. Mas a perspectiva poderia ser introduzida na 8ª série, como é feita com sucesso no 7° ano da Pedagogia Waldorf (uma de minhas grandes fontes de inspiração). Ótimo querer ler o livro, foi a única avaliação nesse sentido. Por favor, depois de ter lido uma boa parte, preencha o formulário de avaliação com link no meu site, ao lado do livro.
[1] 4 [2] Uma outra forma de aplicar os temas abordados [3] Aprofundar e praticar os temas [4] Muito bom! Mas na prática do dia a dia [5] SI [6] PU [7] M. RESP.: Obrigado por ter reconhecido que apresentei os tópicos de uma forma original. Pena que a pessoa que fez a avaliação N° 5 não conversou com você! Quanto à prática do dia a dia no ensino, acho que dei várias sugestões de didática; se você é professor/a de ensino médio, acho que vários dos tópicos podem ser abordados. Não é necessário seguir o currículo padrão, se se reconhece que há tópicos importantes para a formação da/o aluna/o. Quanto à prática do dia a dia na vida comum, penso que as indicações que dei sobre a natureza de nosso pensamento são muito importantes, como por exemplo reconhecer que com o pensamento estamos sempre completando a percepção com o conceito dos objetos, e que esses conceitos são realidades objetivas e universais no mundo platônico das ideias, que não é físico.
[1] 5 [2] Números irracionais [3] A que nível aplicar [4] Estado contratar palestrante para forma [5] SI [6] PN [7] CN. RESP.: Sobre os irracionais, reveja a apresentação ou leia o livro. Especialmente, estude e compreenda a demonstração de que a raiz quadrada de 2 não é racional. Quanto ao nível, a palestra foi pensada para alunos dos últimos anos do ensino médio e para público com pelo menos esse nível. Mas veja a avaliação N° 8 para a questão da perspectiva. Obrigado, não quero ser contratado por nenhum Estado e nenhuma empresa. Tenho muitas coisas a fazer - mas poderia dar alguns conselhos...
[1] 4 [2] A importância da aula de Matemática diversificada na vida dos educando do Ensino Médio. A necessidade de uma linguagem mais acessível e práticas dos conteúdos ministrados. [3] Gostaria de saber mais sobre atividades diversificadas para alunos do ensino médio. [4] Palestra de excelente qualidade e um palestrante que está a altura do desafio de ensinar. [5] SI [6] PU [7] M. RESP.: Sim, sempre que possível, uma aula deveria abordar vários tópicos. Veja a avaliação N° 6. Não sei se você reconheceu que eu tentei introduzir os tópicos de uma maneira bem simples e acessível. Tenho outras palestras para ensino médio, mas várias são presenciais e algumas não estão listadas no site dos Embaixadores da Matemática, pois não têm nada de matemático ou computacional. Obrigado pela "excelente qualidade", espero ter servido de um bom exemplo.
[1] 3 [2] O olhar do educador ao se deparar com temas de complexos e qual melhor abordagem [3] Até que ponto podemos escolher falar o real entendimento da matéria? Pois acredito que a visualização de um sistema mais simples configura o primeiro passo para o entendimento, na sequencia essa ideia pode ir evoluindo, como exemplo a natureza atômica [4] A palestra poderia ser dividida em mais tópicos e discorrido pontualmente, em novos ATPCs acabou ficando uma palestra muito pesada de conteúdo complexo. [5] SI [6] PU [7] CN. RESP.: Acho que a melhor abordagem é a que é bem simples, partindo de exemplos práticos etc. (Veja a avaliação N° 6.) Não entendi a dúvida [3]. Talvez como saber se os alunos estão entendendo a matéria? Para isso, recomendo fazer-se perguntas constantes para os alunos. Como eu disse na palestra, aprender o nome da/o aluna/o quando se faz uma pergunta a ela/e - isso produz um contato pessoal. Além disso, incentivar a que faça uma pergunta/comentário qualquer, pois se for errada/o será uma grande ajuda para mostrar que as coisas não são daquele jeito. O processo educacional padrão massacra a criatividade e a liberdade das/os alunas/os! Elas/es ficam até sem coragem de pensar, de medo de errar!!! Isso é um crime educacional. Finalmente, fazer avaliações em cada aula com as 3 perguntas principais desta avaliação, na aula seguinte comentar algumas avaliações - assim se faz um gancho entre uma aula e outra, partindo do que as/os próprias/os estudantes expressaram.
[1] 4 [2] Achei tudo importante [3] Foi tranquilo [4] Boa palestra [5] N [6] PU [7] M
[1] 4 [2] Sobre o infinito que converge a um ponto. [3] Alguns detalhes ligados a física e também ficou muito complexo para passar a alunos do EF [4] A visão geral da geometria é maravilhosa desde que a aplicaçao seja visível. [5] SI [6] PU [7] M RESP.: Sim, pensei nessa palestra, e a tenho dado, para alunos das 2ª e 3ª séries do médio. Sobre o uso no fundamental, veja a avaliação Nº 8. Infelizmente o infinito não em uma aplicação prática, além de desenvolver um pensamento matemático. Mas quem sabe os aspectos surpreendentes façam as/os alunas/os se interessarem.
[1] 3 [2] O infinito é uma criação humana [3] Fazer com que os alunos entendam um conceito tão abstrato. [4] O conceito de infinito exige dos alunos uma abstração que muitos ainda não tem. Talvez por falta de aquisição de alguns conceitos matemáticos, deixados par trás ao longo dos anos, e também pela falta de maturidade das crianças. [5] SI [6] PU [7] M. RESP.: A matemática existe no mundo platônico das ideias e é só descoberta, ou é inventada, isto é, novas ideias matemáticas são introduzidas naquele mundo? Sim, o infinito exige um bocado de abstração, mas talvez sirva para desenvolvê-la. Por exemplo, acho que o caso dos infinitos da reta pode ser compreendido com uma certa facilidade, assim como a cardinalidade infinita dos subconjuntos dos naturais ser igual à de seus subconjuntos, e também a dos racionais.
[1] 5 [2] Muitos saberes......mas "perspectivas" surpreendentes! [3] Incomensurabilidade... [4] Outras palestras, outros temas... [5] SI [6] PU [7] CN. RESP.: Que bom que você reconheceu que eu apresentei coisas surpreendentes - foi a única avaliação com isso! Eu achava que era tão óbvio... Acho que a noção de incomensurabilidade é fundamental. Será que daria para ilustrar no quadro-negro com a diagonal do quadrado e medindo em cm com uma régua? Por exemplo, com um lado de 20 cm a diagonal vai ter quase 28,3 cm; talvez os 0,3 cm fiquem bem claros mostrando que o tamanho da diagonal não dá um número inteiro de cm.
[1] 4 [2] Foi importante o entendimento dos conceitos e diferentes formas. [3, 4] {Vazios} [5] SI [6] PN [7] CH
[1] 5 [2] As diferentes formas de tratar do assunto. [3, 4] {Vazios} [5] SI [6] PU [7] CH
[1] 3 [2] Que a matemática é uma ciência a qual se divide em dois mundos; O mundo da matemática pura, que é perfeito e o mundo real em que aplicamos a matemática onde as vezes não é tão perfeita e exata assim. [3] Não ficou dúvidas, o assunto apresentado gera mais perguntas e questionamentos em relação ao assunto infinito, o que é bom ao meu ver. O tema demostrado pelos matemáticos e pelo professor, do ponto de vista matemático, são sempre axiomas (peço que acredite) pois, não temos como mensurar ou demostrar o infinito, visto que até aqui, não se demostrou ou provou o infinito de uma outra forma.Fica a pergunta: Será que é possível demostrar o infinito de outras forma já existente??? [4] Os assuntos matemáticos são sempre interessantes, porém precisamos observar qual o objetivo foco e público alvo. [5,6] {Vazios} [7] M. RESP.: Sim, a matemática pura é exata; a física experimental é sempre aproximada (medidas são sempre aproximadas). Quando se têm objetos claramente distintos, a contagem deles (numerais cardinais) ou a sua ordenação (números ordinais) também é exata. Operações aritméticas com esses números também são exatas, e tudo isso foi aplicado a objetos reais. O que apresentei sobre o infinito não é uma teoria axiomática. Foram usados princípios, como o de ponto e reta. Não é possível definir uma reta. Eu apresentei uma forma de mostrar conceitos de infinito; deve haver outras formas; por exemplo, no cálculo diferencial e integral também se usa o conceito de infinitamente pequeno (ex. dx, dy). Sim, objetivo e foco deveriam estar sempre na mente do/a professor/a, e não simplesmente seguir um currículo. Por exemplo, ele/a deveriam sempre se perguntar: "Por que estou dando este assunto?" "Qual a importância dele e da maneira como é apresentado?"
[1] 5. [2] Tudo que foi passado da para adaptar.os a sala de aula e enriquecer os conhecimentos dos alunos. Ideias si.es que podem fazer a diferença. [3] A linguagem utilizada foi de fácil compreensão [4] Precisamos desse apoio [5] SI. [6] PU. [7] M. RESP.: Ótimo que você achou que dava para aproveitar em sala de aula. Acho importante abordar um pouco o conceito de infinifo na matemática, e mostrar que ele não tem nada a ver com nossos pensamentos baseados no mundo físico. Talvez a propriedades surpreendentes dele ajudem a despertar o interesse dos alunos.

9. 21/9/21 palestra remota no seminário do "Grupo de estudos sobre a abordagem da natureza pela complexidade", Info: Info: profs. Carlos I. Z. Mammana cizmmaisnada arr uol pt com ponto br, Alaide Pellegrini Mammana alaidepontomammana idem. Graus de satisfação (1 - muito insatisfeita/o; 5 - muito satisfeita/o): 20% de 2, 20% de 3, 60% de 5. Questão 5 "Aprendi coisas novas": SI (sim, interessantes) 100%; SNI (sim, não interessantes; N (Não) . Questão 6 "Sou da área de": CE "Ciências exatas/engenharia) 80%; CB (biomédicas); CH (humanas); 20% AR (artes); OU (outra).

[1] É importante ter perspectiva histórica. [2, 3] [Vazios] [5] S [6] CH. RESP.: A história e as biografias deviam ser usadas em todas as matérias, em todos os níveis, pois contém algo de real e faz uma ligação do presente com o passado. Afinal, não chegamos aqui caídos do céu... [É interessante notar que essa pessoa foi a única da área de ciências humanas, e a que classificou o índice de satisfação como 2. Pensei que minha palestra fosse acessível a pessoas de qualquer formação, pelo menos uma boa parte dela, quem sabe excluindo algo da parte de conjuntos de números]
[1] O infinito é ouro [outro?] pensamento e não é físico! [2] Eu me senti de volta ao passado! [3] Penso que precisa ter maturidade para estes aprofundamentos. [5] S [6] CE. RESP.: Em minha concepção do ser humano e do mundo, opensamento não é físico; as atividades cerebrais ligadas a ele são uma consequência, e não uma causa; o cérebro é necessário pois reflete (refletir = pensar!!!) o pensamento para a consciência. Há muitas evidências nesse sentido, mas têm que ser vivenciadas por cada pessoa. Por exemplo, o fato de se poder escolher o próximo pensamento e se concentrar o pensamento em um tema. Se o pensamento fosse gerado pelo cérebro, ele iria pipocar aleatoriamente, seria imposível concentrá-lo.
[1] O infinito do mundo físico. [2] A questão dos números transfinitos. Existem só o aleph0 e aleph1 ? Ou existem outros ? Quas seriam os outros ? Seriam enumeráveis ou finitos? [3] Sou Engenheiro Eletricista, e portanto muitos dos conceitos apresentados eu já tinha visto na minha graduação. Só a parte final da apresentação é que trouxe algumas novidades. [5] S [6] CE. RESP.: Não, existem infinitos alefs. Como mostrei, o alef0 é a cartinalidade dos naturais; o alef1 a cardinalidade do conjunto potência (de todas as partes ou subconjuntos) dos naturais. O alef2 seria o conjunto das partes do alef1 e assim por diante. Sim, como conjuntos, eles são enumenráveis (os índices dos alefs já mostram isso), mas a partir do alef1 não é possível enumerar os seus elementos, como é também o caso do conjunto dos reais. Você aprendeu na faculdade algo sobre o plano projetivo? Provavelmente não. Imagino que por "parte final" você se referiu aos conjuntos de números e ao mundo físico.
[1] Que pensar é livre, ilimitado e infinito [2] Como aplicar o infinito na matemática para auxiliar o crescimento individual e da humanidade ? [3] Muito obrigado por alimentar minha mente [5] S [6] CE. RESP.: Sim, temos liberdade total, livre arbítrio, no pensamento. Mas, cuidado, a liberdade está na decisão do que pensar e na decisão de concentrar o pensamento, e não no pensamento em si. Isto é, temos liberdade no querer, na vontade. O pensamento é apenas o instrumento usado no exercício do livre arbítrio. A causa do livre arbítrio, como o nome muito bem o diz, está no querer. Para completar, também não tempos liberdade nos sentimentos. Se você tem uma sensação (por exemplo, do gosto de algo que está comendo) e se gosta ou não dessa sensação são reações incontroláveis. Os sentimentos podem ser educados, mas leva tempo. Mais tempo ainda os impulsos de vontade. Que bom que alimentei sua mente, isto é, fiz você pensar, e certamente de uma maneira não usual.
[1] Conceitos abstratos expandem sua propria compreensão e visão de mundo. Sendo um exercício deve ser praticado sempre. [2] São duvidas que já existiam antes, como o conceito de universo seu inicio e fim. O infinito é uma abstração, uma realidade ou os dois? Ao meditar sobre a ciência o que nos faz mais racionais que aqueles que, por conceitos que advêm de convicções, nem sempre o são? Não me considero iluminado, talvez privilegiado. Mas será? [3] Tenho fascinação por perguntas que me fazem parar para pensar. A história da humanidade é mais que fascinante. A educação deveria ser uma busca de vida de todas a pessoas. [5] S [6] CE. RESP.: Cuidado, não fique apenas nos pensamentos abstratos! Vivenciar e pensar sobre a relidade física é fundamental, pois isso nos faz ficar com o "pé no chão", e não começar a voar em abstrações, perdendo o senso da realidade. Quanto ao universo, acho fundamental saber-se que o início físico dele não faz sentido físico, isto é, essa origem não é física como, aliás, mostram profundamente as imagens da Gênese bíblica, e todos os mitos da criação. O infinito é uma realidade no mundo platônico das ideias, que podemos observar com nosso pensamento. Além disso, é uma realidade objetiva pois podemos trabalhar com ele matematicamente. Se eu fiz você pensar, fico imensamente contente! Mas, cuidado, não pare, exercite um pensamento dinâmico, como os que exemplifiquei (por exemplo, imaginando uma figura diminuindo de tamanho até tornar-se um ponto, depois a expandindo novamente e assim por diante. Podem-se ter convicções, mas elas devem ser hipóteses de trabalho, sempre sujeitas a revisão e comprovação. Na minha opinião, ter crenças é voltar ao passado, o que não é sadio. O ser humano moderno deveria ter hipóteses de trabalho e sempre querer compreender.

8. 4/9/21 palestra remota organizada pelo Instituto Rudolf Steiner e o Ramo Sofia da Sociedade Antroposófica no Brasil, ambos de Curitiba. Info: Kátia Sequeira katiamariatudojuntosequeira arr gmail ponto com, Zuleika Hauszler zuleikatudojuntohauszler at hotmail dot com. Graus de satisfação (1 - muito insatisfeita/o; 5 - muito satisfeita/o): 12,5% de 2, 12,5% de 3, 25% de 4 e 50% de 5. Questão 5 "Aprendi coisas novas": SI (sim, interessantes) 87,5%; SNI (sim, não interessantes. N (Não) 12,5%. Questão 6 - EM (ensino médio); ES (ensino superior/pós) 37,5%; OU (outro) 62,5%. Questão 7 - estudo/formação/atuação em: CE (ciências exatas/engenharia) 57,1%; CB (biomédicas); 28,6% CH (humanas); 14,3% AR (artes); OU (outra). Questão 8 - Antroposofia: M (membro da Sociedade Antroposófica no Brasil) 12,5%; NM (Não é membro, mas conhece a antroposofia razoavelmente) 87,5%; NC (Não conhece ou conhece muito pouco a antroposofia). Houve 29 participantes.

[1] Revi diversos conceitos, sob novas óticas. São sempre novas óticas, e isso é aprender. [2] [Vazio]. [3] [Vazio]. [5] NM. [6] OU. [7] [Vazio] [8] NC.
[1] Que o conceito de infinito é mais ideal que material e portanto se relaciona com o suprassensível, com o espiritual. [2] A ideia do Universo curvo x o infinito. [3] O Prof. Valdemar, com seu entusiasmo, é muito inspirador. [5] SI. [6] ES. [7] CH. [8] M. RESP.: Sim, o conceito de infinito da matemática não tem nada a ver com o mundo físico. Como eu disse na palestra, a ideia do universo curvo não refresca nada; se ele é curvo, deve haver algo fora dele. O que é? O nada? Até onde vai o nada? Por isso fiz a conjectura que nos limites do universo a matéria desaparece, resta o que é espiritual.
[1] A lógica com que pensamos o infinito é diferente daquela que tratamos o mundo físico. [2] Seria mais próximo de um pensamento espiritual? [3] O conteúdo é muito extenso. Não é possível acompanhar com qualidade as falas. Me senti meio atolada em informações que gostaria de refletir melhor. [5] SI. [6] OU. [7] CE. [8] NC. RESP.: Sim, deve-se usar uma lógica que não é baseada na nossa percepção do mundo físico. Sim, o conteúdo é extenso, mas você pode baixar a apresentação e ler o livro e estudá-los calmamente. Infelizmente, é preciso dar tudo de uma vez em uma única palestra.
[1] A visão dos infinitos. [2] O infinito e a divisão em partes. [3] Conteúdo interessante na medida que pode trazer novas vivências para a sala de aula. [5] SI. [6] ES. [7] CE. [8] NC. RESP.: Sim, acho importante que os alunos do ensino médio ouçam algo sobre o infinito, afinal ele é muito mencionado, assim como, por exemplo, "probabilidade", "média móvel"... Espero ter mostrado como ele pode ser abordado. Nas escolas Waldorf ensina-se perspectiva; é uma ocasião para se falar do infnito!
[1] Será que podemos dizer que somos co-criadores nesse universo que estamos? [2] Não saberia colocar agora. Não sou matemática. Sou apenas curiosa! [3] Sou espectadora dos assuntos da Antroposofia! Sempre aprendo!.[5] SI. [6] OU. [7] CE. [8] NM. RESP.: Sim, somos criadores. Quem é que está mudando a Terra do ponto de vista físico? São os seres humanos, infelizmente em geral para pior. Adquirimos liberdade mas não desenvolvemos o conhecimento e a consciência para usá-la exclusivamente para o bem.
[1] Sobre como que a espiritualidade está ligada às questões matemáticas e como é interessante trabalhar com isso na educação. [2] Algumas poucas questões de conceitos matemáticos, pois não sou da área, mas isso não interferiu no aproveitamento da palestra. [3] Deu vontade de retomar os estudos de matemática. [5] SI. [6] OU. [7] CH. [8] NM
[1] Aprendi o que é Espiritualidade, graças à visão de conjunto das relações conceituais: matemáticas, geométricas, históricas e filosóficas. [2] São dos seguintes itens: - 5. O conjunto de números racionais; - 6. O Conjunto de números reais. [3] [Vou numerar as várias partes para ficar claro, posteriormente, o que estou comentando.] {1} Na realidade, a primeira parte da palestra, dos itens 1 ao 4, foi extremamente gratificante. Pois, pela primeira vez entendi o que é Espiritualidade...foi como ter epifania...Já a segunda parte, do item 5 ao 6, apesar da excelente didática do professor, não consegui acompanhar, devido ao alto nível de abstração matemática dos números racionais e reais. {2} Esta palestra acentuou uma pergunta que sempre me faço, com base na assertiva de Rudolf Steiner, a seguir: “Podemos retirar conceitos de uma realidade observada, como retiramos água de um copo...” Percebemos, na evolução da palestra, que através dos conceitos matemáticos, geométricos, históricos e filosóficos, pudemos entender de forma simples um conceito altamente complexo - a Espiritualidade. {3} Portanto, analogamente, ao observarmos um quadro, ou um terreno, para interpretá-los de forma objetiva e intuitiva, as leituras individuais dos observadores podem convergir para uma interpretação única, pois, a ideia geradora do quadro ou do terreno é una, como a semente de uma árvore que contém a árvore toda. Perguntas: - {4} Cada observador tem sua própria interpretação de um quadro, ou de um terreno? - As diferentes interpretações de um quadro, ou de um terreno, podem ser complementares? Quando digo - foi como ter epifania - quero dizer que a palestra do Professor Valdemar foi gratificante ao me revelar o que é Espiritualidade. {5} Contudo, a terceira parte - 8. O infinito no mundo físico - poderia ter coroado as revelações tão importantes, se não fosse o exíguo tempo restante. [5] SI. [6] OU. [7] AR (arquiteto). [8] NM. RESP.: {1} Tenho a impressão que a prova de que o conjunto dos racionais tem a mesma cardinalidade que o dos naturais é muito simples; basta entender como a matriz dos racionais é construída, e como ordenar seus elementos. Já para os reais a diagonalização de Cantor é um pouco mais complexa, mas acho que dá para ser compreendida por quem não é matemático. . Reveja a apresentação ou estude o livro; se ainda tiver problemas, por favor me comunique. {2} Não conheço a frase de Steiner, gostaria de saber a origem dela. "Retirar" não é uma boa expressão (talvez haja aí um problema de tradução). Não se "retira" um conceito do mundo platônico das ideias, mas se o "percebe". É uma percepção diferente da sensorial, mas pode ser tão objetiva quando esta. Por exemplo, olhando para a entrada de sua sala ou quarto, você dirá que há uma "porta". E todas as pessoas com mente e visão sadias dirão que é uma "porta". Só que "porta" é um conceito, que se aplica a todas as portas. É a essência do objeto que você está olhando. Chegamos ao conceito por meio do pensar, e como ele é o mesmo para todas as pessoas, é objetivo e universal, isto é, não depende do julgamento de cada um. Estude o livro "A filosofia da liberdade", mas aguarde a nova edição, que será muito melhor do que as duas traduções anteriores. Acho que sairá no próximo semestre (eu e minha esposa estamos terminando ocotejo extremamente cuidadoso, de uma nova tradução com o original, ). {3} Para mim, uma concepção de mundo espiritualista é muito simples: trata-se de admitir, idealmente por hipótese de trabalho e não por crença, de que existem "substâncias", seres e fenômenos que não são físicos. Nessa palestra, tentei mostrar que podemos trabalhar mentalmente com conceitos claros e objetivos (no caso, os vários infinitos) que não têm nenhuma correspondência física e são, portanto, uma prova da existência de um mundo espiritual. {4} Sim, desde que se entre em contato com a essência real do quadro (o que estava na mente do pintor) ou do conceito que o arquiteto teve (no caso de ele observar um terreno e imaginar algo sobre ele - o que é materializado pela planta que ele desenha, sobre algo que pretende construir no terreno). {5} Sim, mas uma só interpretação será a verdadeira, isto é, captando a ideia do pintor (que pode ter sido inconsciente) ou do arquiteto. Talvez várias interpretações possam ajudar a se chegar à que realmente inspirou o quadro ou a planta. Em alguns casos, isso é relativamente simples, como o quadro "O grito" do Edvard Munch, que está na capa do meu livro sobre "Inteligência" Artificial (ver em minha home page; o quadro, expressionista, claramente quer mostra o medo, o pavor que uma pessoa pode sentir. {6} Se a palestra contribuiu para você ter uma revelação do que é pelo menos um aspecto do mundo espiritual, o mundo dos conceitos, fico muito satisfeito com o resultado, obrigado. {8} Sim, eu poderia ter ido muito mais devagar e entrado em mais detalhes, mas infelizmente o tempo era curto para tudo o que eu gostaria de ter dito... Agradeço a extensa avaliação, uma raridade total nesta nossa época em que as pessoas têm dificuldade de ter ideias e de se expressar, além de acharem que tudo deve ser telegráfico.
[1 - 2] [Vazios]. [3] Esperava uma abordagem maior da parte da espiritualidade. Vejo que a palavra "espiritualidade" foi colocada considerando o público da palestra, mas a palestra em si não mal tocou nessa abordagem. Me senti desconfortável com algumas grosserias com a organizadora. [5] N. [6] ES. [7] CE. [8] NM. RESP.: Curiosamente, essa pessoa foi a única que colocou o grau 2 para a satisfação (não houve nenhum 1). Acho que toquei bastante em espiritualidade, como outras/os avaliaram. O essencial foi que ao se trabalhar com o infnito não se está mais no mundo físico e nem no que nosso pensar baseado nele pode fornecer. Tudo isso, que foi enfatizado, é espiritualidade. Na apresentação em ppt não aparece a palavra "espiritualidade" pois, como mencionei, ela é dirigida a um público geral e não necessariamente espiritualista. Curiosa a afirmação de que eu tratei a organizadora com "algumas grosserias"; deve ter havido um mal entendido, pois a tratei com carinho; talvez esse mal entendido foi devido a algumas brincadeiras que fiz com ela. Finalmente, a menos que a avaliadora esteja cursando um bacharelado em matemática, a questão dos planos projetivos (infinitos) e dos conjuntos infinitos de números deve em geral ter sido total novidade. Certamente, como essa pessoa indicou que conhece a antroposofia razoavelmente, a ligação que eu fiz dos assuntos com o pensar extra-físico deve ter sido também total novidade. No entanto, ela colocou no item [5] que não aprendeu nada de novo. Aliás, as estatísticas de 12,5% foram unicamente devidas a ela.

7. 3/9/21, palestra remota com transmissão pelo youtube, para alunos, professores, e interessdos, organizada pelo Núcleo Pedagógico da Diretoria de Ensino, Carapicuiba, SP, . Info: Profa. Antonia Zulmira da Silva proftudojuntoantoniazs attt gmail pt com. Graus de satisfação da palestra; 1 - muito insatisfeita/o a 5 - muito satisfeito - 4,5% de 1; 6,8% de 2; 25% de 3; 25% de 4; 38,6% de 5. Item [5]: Aluna/o de EF - Ensino fundamental (11,4%); EM - ensino médio (77,3%); SU - superior e pós-graduação; OU - outro (11,4%). Item [6]: No caso de OU, a área de estudo ou atuação. Total de participatnes segundo o NPDE: 435, sendo 80 on-line.

[1] Nada de interessante nenhuma até agora nenhuma. [2] Nenhuma. [3] Aula até que interessante a aula. [5] EM.
[1], [2], [3] [Vazios]. [5] EM.
[1] infinitos. [2] 0. [3] [Vazio]. [5] EM.
[1] A física se relaciona com tudo ao nosso redor, desde a arte até a matemática. [2] Nenhuma. [3] Estudem sobre a inquisição além do que diz nos livros de história. [5] EM. RESP.: Curiosíssimo que você chamou atenção sobre a Inquisição, pois foi minha tia Anita Novinsky que introduziu o estudo dela no Brasil e publicou muitos artigos e vários livros sobre o assunto (o último será póstumo, sobre o Pe. Antônio Vieira)
[1] tudo. [2] nada. [3] muito legal. [5] EM.
[1] sobre os atomos. [2] nenhuma. [3] palestra muito boa. [5] EM.
[1] sobre física. [2] todas. [3] [Vazio]. [5] EM.
[1] muitas informações que irei usar para estudar no futuro. [2], [3] [Vazios]. [5] EM. RESP.: Comece revendo minha apresentação.
[1] Várias coisas. [2] Nenhuma, consegui esclarecer. [3] [Vazio]. [5] EM.
[1] nem tudo e o que parece ser. [2] o medelo atomico de dalton. [3] ele falou mt rapido, n entendi mt coisa, mais foi interessante. [5] EM. RESP.: Gostei de sua observação de que "nem tudo e[é] o que parece ser." É muito importante saber que o que os sentidos nos revelam é uma parte muito pequena do universo. Veja você própria/o: o que as pessoas veem em você é praticamente zero perto de tudo o que você já vivenciou (e gravamos todas as nossas vivências, quase tudo no insconsciente) suas lembranças, seus desejos e ideias, suas ideias etc. etc. Mesmo se você examinar uma pedra, mesmo abrindo-a, não saberá nada da riquíssima história dela. Curioso que você e outros chamaram a atenção para o John Dalton, pois não o mencionei. No início do séc. XIX, ele propôs um modelo do átomo como se ele fosse maciço e indivisível, que se denominou "modelo da bola de bilhar". Isso foi um século antes do modelo planetário de Rutherford. Dalton fez a primeira teoria científica sobre o átomo. Desculpe ter falado muito rápido, mas eu estava preocupado com o tempo. Na verdade, esses assuntos deveria ser abordado com muito vagar e com discussões. Mas espero ter deixado uma impressão sobre eles e despertado o interesse, além de ter mostrado que a matemática tem muito mais coisas do que vocês estão aprendendo, e interessantes.
[1], [2], [3] [Vazio]. [5] EM.
[1] várias coisas. [2] nenhuma. [3] [Vazio]. [5] EM.
[1] sobre as retas. eos números reais e maior que os naturais. [2] sobre o mundo físico. [3] estão de parabéns. [5] Prof. de matemática. RESP.: Exprimindo mais precisamente: A cardinalidade do conjunto dos números reais é maior do que a cardinalidade do conjunto dos naturais, são infinitos diferentes.
[1] Aprendi a questão de conceitos e representações sobre o infinito. [2] Aulas como essa deveriam ser mais recorrentes na rede. É sempre muito proveitoso ouvir outros profissionais de cada área para auxiliar os professores e alunos.. [3] . [5] OU [6] Prof. área de humanas.
[1] a mistura da matematica com a arte. [2] metade da palestra. [3] [Vazio]. [5] EM. RESP.: A matemática desperta sentimentos estéticos quando é expressa por meio da geometria. Fórmulas não podem ser lindas; desenhos bem coloridos podem ser!
[1] os conceitos da geometria, números naturais e muito mais. [2] foram todas resolvidas na video aula. [3] adorei o professor e a plataforma, excelente aula e gostaria de parabenizar o professor Dr. Valdemar. [5] EM. RESP.: Obrigado.
[1] As retas infinitas. [2] O tempo e linear. [3] Muito boa palestra parabéns. [5] EM. RESP.: Eu não disse que o tempo é linear. O que eu falei sobre o tempo é que ele tem que ser vivenciado, não pode ser observado como o espaço. Vivenciamos o tempo quando observamos uma mudança no espaço. Uma observação: a medida do tempo (segundos, minutos, horas, dias etc.) é uma abstração arbitrária, não é o tempo propriamente dito!
[1] Que o infinito da matemática é diferente do da física. [2] [Vazio]. [3] Super boa a palestra. [5] EM.
[1] A relação da matemática com outras disciplinas. [2] Algumas. [3] Muito boa a aula. [5] EM.
[1] Aprendi bastante sobre a geometria. [2] Nenhuma. [3] Aula muito boa gostei muito!. [5] EM.
[1] A relação da matemática com Outras matérias. Principalmente a arte, que é algo que eu gosto muito. [2] Não tive dúvidas. [3] Gostei que fossem feitas mais lives assim, só que de outras matérias também. [5] EM. RESP.: Que ótimo que você gosta de arte, espero que pratique alguma ou várias! A arte envolve pensamentos de outra natureza do que os pensamentos abstratos.
[1] Um pouco mais sobre geometria. [2], [3] [Vazios]. [5] EM.
[1] as atividades foram meio que difíceis. [2] nenhuma. [3] foi meio que que difícil pra mim. [5] EM. RESP.: Sugira ao seu professor de matemática para ver minha apresentação em ppt e depois explicar os tópicos para a classe.
[1] A junção com as demais disciplinas. [2] [Vazio]. [3] Agradeço o conteúdo explicativo e conhecimentos que aprimoraram as aulas que trabalho em sala de aula. [5] OU. [6] Prof. [não colocou a área]. RESP.: Acho importante sair do currículo padrão e mostrar outros aspectos da matemática. Veja meu livro, em meu site, A matemática pode ser interessante... e linda! para vários tópicos que você pode usar em suas aulas.
[1] Geométrica. [2] [Vazio]. [3] Geométrica. [5] EM.
[1] Não conseguir entender muito. [2] Várias. [3] [Vazio]. [5] EM.
[1] sobres os pontos. [2] apenas sobre daltôn. [3] Amei. [5] EF. RESP.: Sobre o Dalton, veja a avaliação N° 10.
[1] Os pontos que são infinitamente pequenos e o conceito dos pontos. [2] {Vazio]. [3] Infelizmente não consegui acompanhar por inteiro, pois foi, de certa forma, rápido de mais, vou procurar ler o livro e me aprofundar, pois gosto muito do tema.. [5] EF. RESP.: Comece estudando a apresentação em ppt.
[1] Nada. [2] Nenhuma. [3] Nenhum. [5] EF.
[1] Sobre os infinitos. [2] Quase a maioria. [3] {Vazio]. [5] EM.
[1] Que a matemática é os números nos rodeiam. [2] Sobre os números racionais e irracionais. [3] [Vazio]. [5] EM.
[1] Não sei direito, teve muita informação, e as vezes aqui caia a conexão. [2] Nenhuma. [3] Foi satisfatório.. [5] EM.
[1] Aprendi um pouco mais sobre a física sem ser só os calculos e formas. [2] Tudo de física se torna complicado como material de estudo, pois necessito de mais do básico para o entendimento mutuo. [3] Nada a comentar. [5] EM.
[1] A palestra ajudou na parte de matemática em alguns temas. [2] Acho que nenhuma. [3] Aula boa todo mundo participando. [5] EM.
[1] Ampliar a visão quanto ao conteúdo e metodologia. [2] Grande oportunidade de ampliação e compreensão do tema. [3] . [5] OU [6] Diretor/a de E.E.
[1] Que matematica e muito interessante quando vc se aprofunda. [2] Acho que nenhuma deu pra entender bem. [3] Professor esplica muito bem. [5] EF.
[1] Conceitos dos quais eu não possuía conhecimento, como cardinalidade, geometria analítica, a diferença entre reta e segmento de reta, como compreender o conceito de infinito na matemática etc. [2] Em relação à Física, e as grandezas infinitas envolvidas. [3] Eu gostei muito da aula, porque acredito que apenas nessa aula, aprendi muito mais do que nesse ano até o presente momento. Isto é principalmente influenciado pela pandemia que nos afastou das escola, obrigando-nos a se adaptar a um novo modelo de ensino ao qual não estávamos preparados. Vale ressaltar que, com o tempo a educação regrediu muito, principalmente na matemática, e eu consigo perceber isso com uma observação simples: eu sou uma aluna de escola pública, e sou a melhor da minha sala em matemática, e ainda tenho muito o que aprender e não sei como fazer isso, porque durante todos esses anos, minha única base de aprendizagem foi a escola, mas agora eu compreendo que para ter o mínimo de conhecimento, necessito ir muito além do que a escola me estabelece. Só assim poderei adquirir conhecimento de forma independente e completa. Para finalizar, gostaria de agradecer por essa oportunidade de aprofundar o estudo da matemática - que aliás é minha disciplina favorita - e desejar que futuramente tenhamos mais experiências como está. Atenciosamente, [Assin]. [5] EM. RESP.: Compre ou empreste livros de matemática - pegue um livro correspondente à sua série, mas depois passe para séries mais avançadas. Você verá que conseguirá estudar sozinha, e quando tiver dúvidas, pergunte ao seu professor. Aposto que ela/e ficará encantada/o com o seu interesse pela matéria! Quando eu tinha 12 anos, fiquei com febre reumática, de cama por um mês. Meu pai me deu um livro de matemática em francês (naquela época 6 anos de francês eram obrigatórios para todos os alunos), estudei o livro todo e fiquei com o conhecimento de todo o ensino fundamental e grande parte do médio. Coragem!
[1] Sobre finito e infinito. [2] Sobre os átomos. [3] Nenhum. [5] EM.
[1] Sobre os pontos e as linhas. [2] Nem uma. [3] Aula foi boa , mais foi falada muito rápida ficou um pouco abstrata. [5] EM. RESP.: De fato, mas não foi somente a fala; tudo deveria ter sido muito mais vagaroso, mas infelizmente o tempo era curto.
[1-3] {Vazios}[5] EM
[1] Que o ponto contém todas as formas. [2] A teoria dos infinitos universos. [3 [Vazio]. [5] EM.
[1] O infinito pode ser compreendido como conceito matemático, embora não seja algo físico. Praticamente tudo que vi nessa palestra é novo. Mas esse detalhe é realmente intrigante. [2] Em todas as demonstrações de divisão do plano, considerando-o infinito, a ideia de que um infinito encontra-se com outro é muito interessante. Poderia-se dizer que quando dois infinitos se encontram fecham um ciclo? [3] Esse tema deveria ser mais explorado nas aulas de matemática, pois ele nos aponta mais que uma visão da geometria, da matemática... tocando em questões filosóficas profundas, belas e intrigantes. Para nós que não teremos mais essas oportunidades em sala de aula, ver palestras assim é privilégio. Certamente vou ler o livro. [5] OU. [6] Artes visuais. RESP.: Todos os conceitos matemáticos não são físicos. Até mesmo o conceito de um número como o 2. Esse conceito é o que há de comum entre todas as representações simbólicas do 2, como II, ii, dois, two etc. Esse conceito puro do 2 não tem representação simbólica, mas é com ele que trabalhamos, pois tanto faz qual a representação que se usa, o resultado é o mesmo, por exemplo dois mais três é igual a cinco. Se um conceito puro não tem representação simbólica não pode estar no nosso cérebro! Está no que mencionei como o mundo platônico das ideias. Não sei o que você quer dizer com "ciclo". Num plano infinito, os infinitos estão nesse plano. Caminhando-se imaginativamente numa reta do plano numa certa direção, chegando-se ao infinito volta-se pelo outro lado. Se isso é o que você chamou de ciclo, que seja...
[1] Não entendi nada. [2] Muitas. [3] [Vazio.] [5] EF. RESP.: Essa palestra é dirigida a alunos do ensino médio, principalmente dos 2° e 3° anos. Mas acho que, com boa vontade, até mesmo alunos do ensino fundamental, talvez dos 8° e 9° anos, podem aproveitar algo – veja a avaliação N° 36.
[1] Que qualquer imagem ou forma são infinitos pontos e que pontos não podem ser divididos. [2] Por que vou precisar saber disso? [5] EM. RESP.: Você já tinha ouvido falar em infinito, não é? Pois se prestou atenção, e estudar a apresentação ou o livro, vai ter uma ideia do que é o infinito na metamática, e que para se lidar com ele não é possível usar o pensamento baseado no mundo físico. É muito importante estudar e exercitar matemática pois ela ajuda a pensar claramente e requer concentração mental. Isso é importantíssimo para a vida em geral. Mas foi interessante sua pergunta: "Para que serve?" De fato, no ensino médio tudo deveria ser dado com aplicações práticas. Os jovens hoje não querem ficar apenas em pensamentos. Nas próximas palestras desse assunto vou começar com essa questão, obrigado!

6. 1/3/21, palestra presencial na Lapinha, Lapa, PR, acrescentando os aspectos de espiritualidade.

[1] O infinito é extremamente brincalhão com a intuição. [2] Aonde todas as dúvidas sobre o infinito nos levarão. [3] Lamento ter chegado tão tarde para tentar entender esse tema que tanto me interessa. RESP.: Veja a apresentação em ppt.
[1] É impossível representar um ponto, não conseguimos dimensionar, infinitamente pequeno. O ponto é subjetivo, está no mundo espiritual. A matemática nos ajuda ajuda a ter contato com o mundo espiritual. [3] Mudar o pensamento para "enxergar" o infinito". Somos ilimitantes! RESP.: O conceito de ponto gométrico, infinitamente pequeno, sem dimensões, não é subjetivo, pois todas as pessoas captam o mesmo conceito. Sim, a matemática pode nos ajudar a treinar a "observar", com nosso pensamento, o mundo espiritual, pois fora a contagem de objetos, ela não tem nada de físico.
[1] Pensar no infinito é espiritualidade.
[1] Que o ponto não pode ser dividido.

5. 16/10/20, palestra remota pelo Zoom para interessados, professores, pais e alunos de várias unidades do Colégio Porto Seguro. Info: Prof. Osmar Mantovani omantojuntovani arr portoseguro dot org pt br, dentro do projeto Embaixadores da Matemática do IME; Na avaliação remota, graus de satisfação 1: muito insatisfeito a 5: muito satisfeito. Com a palestra: 92,3% de 5 e 7,7% de 4. Com a transmissão remota: 69,2% de 5 e 38,8% de 4. Alunas/os do colégio: 8; professoras/os: 4; outro 1: Houve um pico de 66 participantes.

[1] o infinito matemático é na verdade algo que não se pode compreender com uma perspectiva física. [2] Onde acaba o universo. [3] Admiração enorme pelo professor valdemar. RESP.: Tentei mostrar que os limites do universo físico não fazem sentido físico, ou melhor, não podem ser compreendidos fisicamente. Assim como, admitindo-se a teoria do Big Bang, não é possível compreender fisicamente como a matéria e a energia original apareceram.
[Sem respostas]
[Professor/a] [Sem respostas]
[1] achei tudo importante, sendo que quase tudo foi novo. [2] alguns conceitos estavam meio confusos. [3] achei excelente! RESP.: Infelizmente houve necessidade de correr um pouco, devido ao tempo; alguns assuntos deveriam ter sido dados com mais vagar, como a diagonalização de Cantor. Os assuntos poderiam ser abordados melhor em várias aulas.
[1] Infinito é completamente compreensivel matematicamente porém fisicamente não pode ser entendido como algo além do abstrato. Além disso, infinitos que podem parecer "diferentes" são iguais. [2] Não ficaram dúvidas além daquilo que foge à compreensão humana. RESP.: Acho importante reconhecer-se que podemos compreender o infinito na matemática, isto é, suas propriedades e como trabalhar com ele.
[Professor] [1] As diversas formas de mostrar que um infinito não é maior que outro infinito. [2] Que os números reais tem um infinito "maior" que os demais conjuntos numéricos. [3] O nível da palestra é muito elevado para alunos de ensino médio. RESP.: O conjunto dos números reais é "maior" do que o conjunto dos naturais. Há outros "maiores" do que conjunto dos reais. Em minha opinião, esses assuntos deveriam ser abordados no ensino médio, pois mostram aspectos importantes da matemática; com mais tempo, certamente as/os alunas/os poderão compreender tudo.
[1] Que há muita coisa presente na vida real, mas é que não é possível visualizar fisicamente e nem tocá-la. [2] Como é possível definir algo relacionado a algo que não se sabe exatamente como é, sem fazer experimentos e, consequentemente, sem observar a reação de tal corpo que não se sabe exatamente como é? [3] O conceito de infinito na física explodiu a minha mente. Muita coisa nova, principalmente na área da física, que eu não sabia que acabou me deixando perdido e confuso, mas não que a explicação tenha sido ruim. Foi muita coisa nova em um tempo curto, isso que me deixou confuso. Mas me deixou mais interessado ainda pela física!!!! RESP.: Sim, começando pelo seu pensamento! Você vivencia seu pensamento com ele próprio e não com os seus sentidos físicos. Os experimentos matemáticos são feitos com o pensamento. Um aspecto importante é você compreender que a física não explica e jamais explicará todo o mundo físico.
[Engenheiro/a] [1] conceituação revisitada do infinito. [2] nada digno de nota. [3] boa palestra.
[1] Não pensar apenas no espaço físico. [2] Nenhuma dúvida sobre a palestra, mas muitas novas dúvidas sobre o universo. [3] Muito interessante a palestra e o tema escolhido. Uma nova forma de pensar sobre coisas que eu acreditava que sabia. RESP.: Sim, eu insisti muito que devemos aprender a pensar sem que o pensamento esteja ligado ao mundo físico. Você não percebe, mas faz isso constantemente. Por exemplo, quando usa sua memória ou pensa em uma sensação como a alegria, ou um sentimento como gostar de alguma coisa. Você não consegue fazer outra pessoa ter uma sensação ou um sentimento que você tem, pois eles são subjetivos e absolutamente individuais. Quando você vê algo, imediatamente associa a imagem interior, a representação mental, ao conceito desse algo, como no caso de reconhecer que uma planta pertence a uma certa espécie ou reconhecer que um objeto é porta, como exemplifiquei na palestra.
[Professor/a] [1] Como o infinito pode dar um nó no cérebro! [2] O infinito. RESP.: Eu diria "na mente", que para mim é mais do que o cérebro. Qual seria a dúvida que ficou em relação ao infinito na matemática e na física? (Escreva-me, se quiser esclarecer isso.)
[1] Sobre os conceitos de infinito e planos. [3] Amei! Palestrante muito simpático e com muitas informações novas! RESP.: Sim, os conteúdos não são em geral abordados no ensino médio, mas acho que deviam, no 3º ano, para mostrar certos aspectos importantes da matemática. Acho que com mais vagar tudo poderia ser bem compreendido pelos alunos.
[Sem respostas]
[Professor(?)] [1] A divisão do plano por duas retas paralelas distintas, por exemplo. Acho que nunca pensei sobre isso. [2] Não tenho tanta facilidade com física. A parte final foi mais difícil para mim. [3] A linha de raciocínio sobre o encontro das paralelas (incluindo as figuras com pontos de fuga!) é realmente interessante! RESP.: Sobre a física, um dos grandes problemas é que ela é ensinada como se fosse uma coleção de fórmulas matemáticas, em lugar de ser inicialmente introduzida, em cada área, de um ponto de vista fenomenológico, qualitativo. Foi o que fiz fiz no capítulo 22 "Por que um avião voa" de meu novo livro "A matemática pode ser interessante... e linda!" Ver detalhes sobre o livro em
www.blucher.com.br/livro/detalhes/a-matematica-pode-ser-interessante-e-linda-1645

4. 8/7/20 palestra remota pelo google meet com transmissão pelo yutube, para professores, alunos de licenciatura, e interessados, promovida pelo Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (CAEM) do Instituto de Matemática e Estatística (IME) da USP, dentro do projeto Embaixadores da Matemática do IME; info: profa. Ana Paula Jahn anap junto jahn no gmail. Na avaliação remota, graus de satisfação 1: muito insatisfeito a 4: muito satisfeito. Com a palestra: 91,2% de 4 e 8,8% de 3. Com a transmissão remota: 85,3% de 4 e 14,7% de 3. Alunas/os de curso superior: 13; professoras/es de ensino básico: 9; professoras/es de ensino superior 3; formado em curso superior: 7; aluna/o de ensino médio: 1; outra atuação: 1. Houve um pico de 182 participantes.

[1] (Sem respostas além das de múltipla escolha.) RESP.: O pintor cujo nome eu tinha esquecido, que fez a demonstração pública da perspectiva foi o famoso arquiteto e pintor Brunelleschi, em alguma data entre 1412 e 1425, mostrando a praça e a catedral de Santa Maria del Fiore em Florença pintadas no verso de um quadro, e montando atrás dele um anteparo que deixava ver a praça e depois tapava parte dela. Girando o anteparo, aparecia um espelho que refletia o quadro, que completava a parte tapada pelo anteparo. Como o quadro tinha sido pintado em perspectiva, o espelho completava a praça direitinho, para surpresa de todo o público, que não estava acostumado a quadros em perspectiva.
[1] Tudo foi de estrema importância. [2] Não, tudo foi bem explicado. [3] Muito boa, tudo foi bem explicado.
[1] A representação projetiva do infinito. [3] Ótimo, apenas ficou confuso quando aos links que precisaríamos acessar. Seria interessante deixar os links na descrição do vídeo. RESP.: Os links estão em minha home page e também no formulário de avaliação que você preencheu, além de estarem nesta página com a síntese das avaliações
[1] Muito interessante a análise de perspectiva. [3] Ocorreu tudo bem.
[1] Perspectiva. [2] Nenhuma. [3] Professor excelente.
[1] Todo conteúdo abordado foi de extrema relevância. [3] Excelente!
[1] Gostei muito da parte da mesma cardinalidade de conjuntos diferentes. [2] A parte que a reta cortava o plano, mas acho que entendi. RESP.: Mostrei que, exlcuindo-se os pontos de uma reta, ela não dividia o plano em duas partes; se ela é horizontal, a parte "de cima" vai para o infinito e continua "em baixo", isto é, é a mesma parte.
[1] Mais sobre o infinito na geometria e como trabalhar isso com meus alunos, perspectiva para trabalhar o conceito das retas paralelas no infinito e poder relembrar geometria projetiva (que faz tempo que não dou aula). [2] Conseguir entender melhor a divisão do plano pela reta. [3] A palestra foi maravilhosa; por ser on-line, permitiu que eu pudesse participar pois, se fosse presencial, não poderia. RESP.: Vou propor que minhas futuras palestras presenciais no IME sejam simultaneamente transmitidas pela internet.
[1] É incrível como um ponto ou uma reta, podem ser tão complexos. A apresentação é realmente interessante. [2] O infinito na Física. RESP.: Talvez eu devesse ter chamado de "o infinito no mundo físico", mas eu quis fazer, no título, uma contraposição à matemática.
[1] Quando se trata de infinito não se pode usar o raciocínio com base nas percepções sensoriais. [2] Se não faz sentido falar em matéria no nível atômico (microcosmo) também não faz sentido no macrocosmo? A matéria então é uma ilusão dos sentidos ? [3] A palestra do Professor Setzer foi excelente para despertar reflexões sobre a finitude do mundo sensível. RESP.: No fundo, qualquer elemento geométrico ideal não existe fisicamente. No caso do infinito, isso fica patente, mas acho importante que se tenha consciência que jamais vimos um ponto geométrico, um segmento de reta, uma circunferência etc.. O que vemos são representações dos conceitos, que não existem fisicamente e são objetivos e universais. Acho importante explicar isso para os alunos, chamando a atenção para o fato de que nosso pensamento é capaz de captar realidades que, na minha opinião, não são físicas. Sim, na minha concepção tanto no micro quanto no macrocosmo a matéria como a vivenciamos desaparece. A própria física reconhece isso, ao estabelecer que há correspondência entre energia e matéria. Mas eu vou mais longe: na minha hipótese de trabalho, tanto a matéria quanto a energia são condensações de algo que não é físico – por isso não conseguimos compreender o micro ou macrocosmo com umpensamento baseado em nossas vivências físicas sensoriais. Porém, a matemática mostra que podemos pensar não sensorialmente. Não, a matéria não é uma ilusão dos sentidos (os antigos hindus achavam que era, e a chamavam de "maia"), mas é fundamental ter consciência de que existe uma realidade subjacente a qualquer objeto, que é a sua essência, seu conceito (os antigos hindus davam mais realidade a essa essência, que eles percebiam, do que ao seu aspecto material, daí a "maia"). O mundo sensível não é finito, ele tem infinitas nuances; por exemplo, uma árvore já mostra isso; idem para uma orquídea em flor.
[1] Noções de infinito. Fiquei maravilhado. [2] Quando imagino o infinito em minha cabeça e eles se encontram, uma figura que eu imagino é uma esfera. Mas isso é loucura!! Pois o infinito não tem fim. Então, não se encontram. Mas o senhor falou que se encontram. Estou confuso. Rsrs. [3] Muito bem executada. Parabéns! RESP.: Em primeiro lugar, suas imaginações passam-se na sua mente, e não na sua cabeça; se o cérebro excretasse os pensamentos não poderíamos concentrá-los segundo nossa vontade. Em segundo lugar, vamos pegar a reta, para simplificar. Realmente não conseguimos imaginar, como nosso pensamento comum, que as extremidades de uma reta horizontal prolongada para a direita e para a esquerda acabam se encontrando. É preciso fazer um esforço mental para captar esse conceito. Experimente fazer um exercício de concentração mental, imaginando as duas maneiras que eu usei para demonstrar que o infinito é o mesmo: a rotação da reta em torno de um ponto e os percursos nas circunferências de raio cada vez maior. Aliás, essa técnica de percorrer figuras geométricas foi muito usada em demonstrações na antiguidade. Sim, você pode usar uma esfera, mas aí, em lugar de uma reta, use um plano e esferas que o tangenciam num mesmo ponto, com os raios aumentando gradativamente.
[1] A aplicação de raciocínio mental aliada à matemática e a ideia de infinito aliado aos conceitos da física, pois como matemática só penso mentalmente. [2] Gostaria que o professor divulgasse o canal para os congressos religiosos da matemática, pois me interessei em conhecer mais. [3] A palestra foi ótima, me interessei do inicio ao fim. Gostaria de ter outra. RESP.: A física teórica também tornou-se algo puramente mental. Não conheço congressos religiosos sobre matemática. O que eu citei foi que já dei essa palestra para grupos de estudo espiritualistas, quando salientei muito mais o fato de que na matemática usamos um pensamento cujo conteúdo não é físico, isto é, é espiritual. Quanto a eu dar outra palestra, é só organizar um bom grupo, em qualquer ambiente e me convidar. Veja as palestras que tenho dado ultimamente em
www.ime.usp.br/~vwsetzer/pals/pals-cursos.html
[1] Como abordar assuntos com alunos do ensino fundamental de forma diferente. [2] Sobre incomensurabilidade. [3] Adorei a palestra, achei os exemplos bem didáticos e mostra outras formas de abordarmos esses temas com alunos do ensino fundamental, além de mostrar como a matemática é mágica e cativante. O Professor Valdemar transborda essa paixão pela matemática e nos entusiasma. Sou formada em Lic. Matematica (UEPG), em Lic. Interdisciplinar em Ciências Naturais (UTFPR), mestranda do PPGECT - UTFPR e professora do ensino fundamental e médio. RESP.: Atenção: em minha opinião os conceitos que abordei não devem ser expostos no ensino fundamental, são abstratos demais para essa idade. É muito prejudicial aos jovens serem forçados a pensar abstratamente, o que infelizmente é o padrão do ensino. Por exemplo, veja como se define o que é uma ilha (mais ou menos aos 8 anos de idade?), "um pedaço de terra cercado de água por todos os lados." Essa é uma ilha absolutamente morta, abstrata, sem vida, sem árvores e bichos, sem ondas batendo nas praias em em pedras etc. Sobre a incomensurabilidade, usei como exemplo a diagonal de um quadrado. Por exemplo, seja um quadrado com lado de 10 cm; a diagonal terá o tamanho da raiz quadrada de 200 cm. É impossível achar uma unidade de medida dos lados, como por exemplo o milímetro, isto é, cada lado tendo 100 mm, dando um número inteiro de milímetros para a diagonal, pois a raiz quadrada de 200 é um número irracional; é impossível medi-la com um número finito de milímetros (ou qualquer unidade que dê um número inteiro dela para os lados).
[1] As ideias de infinitos geométricos. [2] A relação de cardinalidade do quadrado com a reta. [3] Foi excelente. RESP.: Na realidade, foi a relação do número infinito de pontos de um quadrado (cardinalidade infinita) com o número infinito de pontos de um segmento de reta. Eu mostrei que se pode construir uma correspondência biunívoca entre um ponto qualquer de um quadrado de lado 1, com algum ponto do segmento de tamanho 1, e vice-versa. Pode-se associar cada ponto do quadrado com as coordenadas, digamos, (a,b), sendo a nas abcissas e b nas ordenadas. Aí se constrói um ponto do segmento, com a distância à origem igual a um número formado pelos algarismos de ordem ímpar usando os algarismos extraídos consecutivamente de a, alternando com os de ordem par extraídos de b. E vice-versa para associar cada ponto do segmento com um ponto do quadrado. A existência da correspondência biunívoca mostra que a cardinalidade do conjunto de pontos do quadrado é a mesma que a do conjunto de pontos do segmento, isto é, o número infinito de pontos do quadrado é o mesmo que o do segmento. Veja a apresentação em ppt para compreender melhor o que acabei de escrever.
[1] A questão do infinito em relação às retas e planos e como se dá a separação. [2] Como apresentar essas questões na escola e em qual momento seria o melhor para isso. [3] Podem pensar em usar o Zoom para essa transmissão porque é possível ter perguntas em tempo real. RESP.: ATENÇÃO: Quando eu disse que esses conteúdos deveriam ser abordados no ensino médio (talvez no 3° ano, pois exigem maturidade), eu esqueci de dizer que isso deveria ser feito em várias aulas, e não numa só como tive que fazer. Seria interessante dar mais exemplos e dialogar com os alunos. Quanto ao Zoom, é a plataforma com a qual tenho mais experiência de dar palestras, e a acho muito melhor do que o google meet. Infelizmente o IME não tem o Zoom contratado, e sem contrato o limite é de 100 pessoas e de 40 minutos por sessão. No entanto, se a palestra é retransmitida pelo youtube, acaba havendo a separação entre o palestrante e os participantes, o que não acho ideal; isso ocorreria da mesma forma com o Zoom. Infelizemente não me ocorreu usar um segundo micro, ou um tablet ou um celular, para ter ao lado o que estava sendo transmitido pelo youtube.
[1] Da questão da perspectiva de que a reta não divide o plano em duas partes. [2] Como definimos o ponto de fuga de uma perspectiva. RESP.: Tome duas retas paralelas, por exemplo as guias de uma rua bem comprida, encontrando-se em um ponto, como você as vê. Esse ponto, que deveria estar na altura de seus olhos em relação às figuras representadas, será o ponto de fuga de todas as outras paralelas às duas primeiras. Vou salientar isso nas próximas palestras, obrigado!
[1] Noção de infinito na matemática, principalmente. [2] Nenhuma grande dúvida. [3] Excelente palestra! Ótima didática do professor e transmissão fluindo muito bem! RESP.: Que bom que tudo correu bem! Foi a primeira vez que dei uma palestra com conteúdo matemático por vídeo conferência. É bom saber que consigo fazer isso de maneira a interessar os participantes (como é o caso de minhas palestras presenciais).
[1] Sobre "mostrações" de enumerabilidade, que podem ser apresentadas na educação básica. [2] Sobre enumerabilidade em geral. RESP.: Acho que os conceitos de enumerabilidade e de inumerabilidade podem ser apresentados aos alunos de maneira bem simples. Por exemplo, o fato de se poder contar quantos eles são na classe (faça um deles contar). Em seguida, mencione, por exemplo, o número de salas da escola. Depois, coloque alguns conjuntos no quadro negro e peça para os alunos contarem os elementos de cada um. Em seguida, coloque os primeiros números naturais, e mostre que podem ser contados idefinidamente. Daí, mecione algo da natureza que não se pode contar, como por exemplo as moléculas de água em um lago. Finalmente, trace um segmento de reta e peça para um dos alunos vir à frente e contar quantos pontos há no segmento. Aí passe para os reais. Veja aqui um exemplo de didática: sempre começar com algo que diz respeito aos próprios alunos. Assim eles podem identificar-se com o assunto, que deixa de ser puramente abstrato!
[1] Foi muito interessante repensar os conceitos básicos da geometria, afinal não é todo dia que olhamos para um ponto e nos perguntamos se ele é um ponto geométrico! Também foi legal abrir a mente para as retas paralelas que se encontram no infinito, o conceito de ponto de fuga e a sua presença nas artes. Gostei de rever os conceitos de análise real, como a enumerabilidade. [2] Sem dúvidas. [3] A palestra foi incrível, o professor é excelente, eu assistiria uma palestra sua que durasse até 5 ou 6 horas! A transmissão foi muito boa, uma plataforma acessível, conexão estável, parabéns aos envolvidos pelo trabalho bem elaborado. RESP.: Ótimo eu ter passado a mensagem de que devemos encarar figuras geométricas como representando conceitos que não vemos. Quanto à falta de dúvidas, que péssima palestra (he he he)! Uma aula ou palestra sempre deveria deixar dúvidas no ar... Mas às vezes as pessoas não conseguem exprimir suas dúvidas.
[1] Ampliou minha ideia de infinito! [2] A matemática é desafiante para mim, mas consegui captar a mensagem no plano geral.[3] Foi excelente a transmissão, fiquei maravilhada com o palestrante, sua sabedoria, sua clareza, sua disposição e talento para ensinar essa matéria tão complexa! Minha formação acadêmica é psicologia, mas gosto de ampliar, estudando antroposofia, cosmologia, o ser humano em sua totalidade e avançar no infinito. RESP.: Obrigado pela avaliação, especialmente interessante por vir de uma pessoa da área de humanas. Gostaria de chamar a atenção para a importância de se praticar a matemática, pois ela treina um pensamento claro, sintético e coerente, que é necessário poder exercitar além do pensar intuitivo não formal (eles se completam!).
[1] Cardinalidade entre conjuntos fiquei encantada . [2] Sobre o tempo gostaria de maiores informações, tenho também que me aprofundar. [3] Aprendizado de alto grau, uma tarde onde tive o prazer de ter explicações claras e fundamentadas de cada tema. Um mestre com louvor . Sou professora de Matemática do Ensino Médio na escola E.E.Dr.Aureliano Leite - em Osasco-SP. RESP.: Vários filósofos abordaram a questão do tempo, como Kant, Bergson e mais recentemente Heidegger. É importante não confundir a medida do tempo, a cronometria, como o tempo em si. Um excelente artigo sobre o tempo é o
https://en.wikipedia.org/wiki/Time
Chamei a atenção para o fato de que observamos o espaço, mas o tempo em si não pode ser observado, deve ser vivenciado; nesse sentido, para nós ele é real, contrariamente ao que dizem certos filósofos . É importante salientar que o tempo na física não é o nosso tempo; por exemplo, a menos do crescimento da entropia, nas equações da física a "flecha do tempo" pode ser revertida. Já que você é professora de ensino médio, não quer me convidar para dar palestras para seus alunos? A única palestra que dei em Osasco foi para alunos da FITO em 2003. Veja meu endereço de e-mail no topo de minha home page.
[1] (Sem respostas além das de múltipla escolha..)
[1] Uma reta não divide o plano em nenhuma parte. [3] Acredito que a palestra conseguiu cumprir sua função mesmo de maneira remota, muito boa e com bastante conteúdo pertinente.
[1] Comparar cardinalidade dos elementos e o encontro dos infinitos. [2] Ainda não compreendi muito porque a quantidade de pontos no quadrado são iguais à quantidade de pontos em uma reta. RESP.: Veja a resposta à avaliação 13 acima.
[1] Aprimorei meus conhecimentos sobre cardinalidade entre conjuntos. [2] Quais são as geometrias em que as retas paralelas se cruzam no infinito. RESP.: Certamente na geometria euclidiana. Mas se você tomar uma não euclidiana, como a esférica, isso é algo óbvio. Pegue dois meridianos da Terra saindo do equador. Eles são paralelos no equador, e se encontram nos polos. Aliás, os ângulos do triângulo esférico assim formado somam mais do que 180°! E se os meridiando forem opostos, o triângulo terá 360°.
[1] Os diferentes conceitos do infinito. [2] Qual será a próxima palestra do Mestre. [3] Excelente palestra e uso da transmissão remota. RESP.: Tenho apenas uma palestra agendada, uma 2ª parte de outra que já dei, sobre filosofia.. Estou aguardando convites! Para seguir minhas palestras programadas, veja em
www.ime.usp.br/~vwsetzer/pals/pals-cursos.html
[1] Conceitos de infinito na geometria, em conjuntos de números e na física. [2] Parte de infinito. [3] Excelente.
[1] Sobre os vários conceitos do infinito e a incapacidade de nossos sentidos físicos para percebê-lo. [3] Excelente palestra, muito esclarecedora. RESP.: Depende. Veja o caso das nuvens: para o nosso sistema óptico, elas estão no infinito. Os eixos de nossos dois olhos ficam paralelos quando observamos as nuvens, devido à grande distância em que elas estão, isto é, nosso sistema estereoscópico não distingue as diferentes distâncias formadas pelos contornos das nuvens, é como se todas estivessem no infinito. Idem para a adaptação do cristalino quando se percorre as nuvens. Você poderia perguntar: mas como percebemos os volumes delas? Isso é devido a efeitos de luz e sombra! Observe bem as nuvens, e admire as formas de volume que elas assumem devido aos efeitos de luz e sombra. Ou as diferentes cores no nascer e pôr do Sol. Um exercício mental muito bom é olhar para as nuvens, fechar os olhos e tentar formar a imagem delas, a representação mental, pela lembrança – inclusive notando como nossa memória é muito mais imprecisa do que a percepção visual direta.
[1] Novas abordagens para discutir a ideia de infinito. [3] Bem planejada e executada. RESP.: Aproveite meus enfoques, expanda-os, aperfeiçoe-os e leve as ideias de infinito para seus alunos! Como você é professor/a de ensino superior, se for de matemática certamente trabalha com a noção de infinito no cálculo diferencial e integral e nos limites. Mas aí o infinito reduz-se a um mero símbolo com sua própria álgebra, como por exemplo infinito+1=infinito.
[1] Bom, como eu sou estudante de matemática, eu considerei mais importante, os conceitos de infinito na física, mas aprendi muitas coisas que não sabia nos conceitos matemáticos, como por exemplo: o conceito de cardinalidade entre os conjuntos (as demonstrações). [2] Não ficou dúvida, foi tudo compreensível. [3] Palestra muito boa, com certeza eu consegui expandir meus conhecimentos, otímo professor, e a transmissão estava perfeita. RESP.: Mais correto teria sido eu dizer "o infinito no mundo físico".
[1] Acho que pude ampliar um pouco mais minha percepção ou capacidade de abstração de certos conceitos. Busco entender a natureza mais profunda do universo, e acho que a matemática pode ser uma linguagem importante nesse sentido. [2] Não sei expressar uma dúvida específica. Quando ultrapassou a primeira parte, sobre perspectiva e com referências do universo da arte, e entrou em explanações e terminologias um pouco mais elaboradas (para meu entendimento particular), me perdi em alguns momentos. Ainda assim, acredito que consegui acompanhar, em geral. [3] Ótima palestra! Aprecio também o esforço em tornar o tema acessível para leigos, como é meu caso, como designer. RESP.: A matemática tem aplicações práticas, mas também serve para se admirar a natureza, ao mostrar que ela segue certas regularidades que podem ser expressas matematicamente. Abordo isso no meu livro, que está para sair, "A matemática pode ser interessante... e linda!" Veja a capa em
www.ime.usp.br/~vwsetzer/Fibo-capa-definitiva.pdf
(Aumente a imagem para ler o sumário e o texto da 4ª capa.) Ótimo que você busca entender natureza mais profunda. Em minha concepção de mundo, para isso é necessário sair do âmbito puramente físico, material. Jamais vai se entender profundamente uma árvore examinando apenas seus aspecitos físicos. É como se se quisesse examiná-la usando apenas sua sombra... Note que ciência não sabe o que é vida; as plantas são a manifestação mais pura da vida. Goethe, que foi um grande cientista, afirmou que as plantas se esgotam na sua forma, o que não se passa com os animais, muito menos com o ser humano (que eu não classifico como animal, senão teria que classificar os animais como plantas móveis).
[1] A diferença conceitual da ideia 'infinito" para a Geometria, e do conceito "infinito" na Física. [2] Sobre o infinito, na Física. [3] Muito instigante o conceito de cardinalidade. E a elegante demonstração de Cantor da cardinalidade dos racionais. RESP.: Atenção, o que apresentei sobre o infinito no mundo físico são ideias minhas (fora a historinha do Giordano Bruno). A diagonalização do Cantor mostrou que é possível fazer uma ordenação, isto é, uma enumeração, dos números racionais. A cardinalidade deles é obviamente infinita.
[1] Uma nova visão (controversa) de infinito: +infinito = -infinito = infinito. [3] Acho fundamental a produção de videoaulas. Entendo que elas não substituem 100% as aulas presenciais, mas pelo menos é mais uma fonte. A USP devia incentivar os professores a gravarem as suas aulas e as disponibilizarem na internet. A USP deve aproveitar os seus talentos e disseminar de forma gratuíta o máximo possível de informações, não apenas aos alunos matriculados, mas a toda população, que também paga impostos, paga a USP e os salários dos professores. RESP.: No caso da reta atingindo o mesmo infinito em ambos os sentidos de percurso, eu não associei os seus pontos com números reais. Seria possível marcar uma origem na reta e considerar pontos de um lado da origem com coordenadas positivas e, do lado oposto da origem, com coordenadas negativas. Nesse caso +infinito = -infinito. Seria impossível gravar todas as aulas da USP no sistema presencial, pois cada uma necessitaria de um operador da câmera, e são centenas que se passam simultaneamente. Muitas aulas estão sendo gravadas nesta época de isolamento; a disponibilidade delas depende de cada unidade. Mas pelo menos palestras presenciais deveriam ser transmitidas; o IME já faz isso.
[1] Relembrei a necessidade de trazer a matemática para o dia a dia, ampliar a visão, de deixá-la próxima da nossa realidade. [2] Apenas que gostaria de assistir a mais palestras! [3] Transmissão foi perfeita, sem falhas e o conteúdo fluiu como em uma palestra presencial, mas com o conforto de estar em casa. Sou Engenheira Civil e terapeuta complementar. Atuo em ambas as áreas. RESP.: Acho que essa palestra deve interessar particularmente às/aos engenheiras/os, pois em geral os assuntos não são abordados nas aulas de matemática, e todas/os elas/os têm afinidade com ela. Para você, como engenheira civil, a parte de perspectiva certamente não trouxe nada de novo, a não ser a maneira como abordei o tema. Mmmm, quem sabe vou oferecer ao Instituto de Engenharia...

3. 9/3/20 palestra para um grupo de estudos inter-religiosos, São Paulo; info: Newton Zimerman newton ponto zimerman no uol#pt@com#@br. Nesta palestra, o título acima foi precedido por "Matemática e espiritualidade".

[1] A matemática e a luz não são físicas. [2] Visualizar a geometria. [3] Aula encantadora! Nos faz pensar, viajar e sonhar. RESP.: A geometria é a parte da matemática que pode ser visualizada! Além disso, pode ter estética, que falta à álgebra.
[1] A medição dos spins. Relação do físico e do espiritual. [3] Achei a parte da física muito interessante. RESP.: Por detrás de qualquer coisa há um conceito, que não é físico. Lembre-se do que falei: o spin das partículas atômicas não tem limite clássico, portanto não pode ser compreendido.
[1] Consegui ter uma visão dos números que eu nem lembrava. Compreender a questão dos infinitos. [2] A questão das novas descobertas da física. As que desconstroem os conceitos e teorias já propagados. [3] Adorei, embora estivesse bem cansada para aproveitar mais. RESP.: Quanto mais a física e a astrofísica avançam, mais paradoxos aparecem em suas teorias.
[1] Achei interessante a relação entre a matemática e a espiritualidade. [3] Se usa o pensamento para chegar ao mundo espiritual. Pensamento é espiritual. RESP.: O fato de conseguirmos captar conceitos, que não são físicos, mostra que nosso pensamento deve ter algo da mesma natureza deles (cf. a citação de Spinoza que eu fiz), isto é, algo não físico. Uma outra evidência é o fato de termos a capacidade de concentrar o pensamento em algum tema por alguns instantes. Essa liberdade no pensamento não pode advir da matéria, pois ela segue inexoravelmente as leis físicas.
[1] A visão dos números infinitos é uma visão espiritualista, pois as dimensões em 3D pela nossa vivência é diferente da de 2D espiritual. [2] Como as linhas em um triângulo também são infinitas e elas voltam, então não deveriam se encontrar? [3] A minha vivência carnal, faz com que meu pensamento conflita com essa razão. RESP.: A visão mais baixa do mundo espiritual é em forma de imagens em 2D. Os sonhos são uma evidência disso, pois em geral são imagens. Quanto às retas onde estão os lados de um triângulo, sim, se percorridas elas passam pelo infinito e "voltam", cada uma das 3 se encontrando de novo nos lados do triângulo. Quanto à sua vivência física, sim, quando se adentra o mundo espiritual com o pensamento, por exemplo na matemática (que não tem nada de físico, a menos de contagens), é necessário deixar de pensar fisicamente, isto é, com pensamentos baseados em nossas vivências com os sentidos físicos.
[1] Os conceitos mais profundos da matemática, física e geometria são contra-intuitivos, só existem enquanto conceitos não materiais. [2] Compreensão vs. existência. [3] Algumas conclusões poderiam ser mais abertas, por exemplo, a conclusão da inexistência da matéria; existe essa hipótese como a simples incompreensão. RESP.: Você quer dizer que algo que não compreendemos poderá ser compreendido posteriormente, com o avanço do conhecimento. Sim, mas está mais do que na hora de reconhecer que, usando o paradigma científico atual )à la Popper), jamais saberemos e compreenderemos certos fenômenos. Eu citei que, em minha opinião, dessa maneira jamais compreenderemos o átomo, bem como a origem e os limites do universo
[1] Provocou uma percepção de como meu entendimento é limitado. [2] Há uma diferença entre físico e infinito. Impossível saber o que não sei? [3] Gostaria de ira além para ver como tudo isto contribui para minha vida. RESP.: Não há limites ao conhecimento, se ele não se restringir ao conhecimento físico.
[1] Aprendi que as ciências exatas nos dão base até certo ponto, mas não esgotam as possibilidades, havendo espaço para as teorias espirituais. [2] Ter a clareza das correlações das várias espécies de números para melhor compreender as correlações entre esses números e o infinito. [3] Adorei aprender sobre a influência do mundo espiritual sobre o mundo da matéria, em especial no mundo das exatas.
[1] O mais importante foi ver a beleza e a dimensão que se pode alcançar com a matemática. [2] As dúvidas só surgiram a partir do momento que eu já não conseguia acompanhar. [3] Gostei muito da palestra... Acho que deve ser dada durante o dia... À noite houve um momento no qual eu já não acompanhava.
[1] Que os infinitos podem ter [??] provas[??]. [2] Ainda falta muito para aprender. [3] Preciso quebrar a resistência com os números. RESP.: Infelizmente, algumas palavras estavam ilegíveis. Leia meu próximo livro sendo editado pela Ed. Edgard Blücher, A matemática pode ser interessante ... e linda - quem sabe a sua resistência vai diminuir... E já estou escrevendo o próximo, um livro sobre o infinito, baseado na palestra (mas ainda não sei se vou incluir questões de espiritualidade, para não assutar uns e outros).

2 .4/3/20 palestra no Espaço Cultural Rudolf Steiner da Sociedade Antroposófica no Brasil, R. da Fraternidade 156, Alto da Boa Vista, Santo Amaro, São Paulo; info: Derblai Sebben drderblai_at-arro.ba gmail.com. Nesta palestra, o título acima foi precedido por "Matemática e espiritualidade".

[1] A matemática ajuda a compreender a completa diferença entre o mundo físico e o mundo espiritual. [2] Talvez não a maior dúvida, mas a maior curiosidade: como foi o "despertar" do uso/conhecimento matemático relacionado ao mundo espiritual. [3] Aula incrível pela didática e conhecimentos multidisciplinares. RESP.: Na antiguidade, a matemática era associada com o mundo espiritual. Segundo Rudolf Steiner, no volume GA 105, diz que a matemática era algo vivo; para Pitágoras, era algo sagrado, continha uma sabedoria religiosa. Acrescento que a materialização do ser humano fez com que ele perdesse essa noção, mas podemos reconquistá-la, reconhecendo que com a matemática pode-se entrar em contato com realidades espirituais, que não têm nada de físico.
[1] Essencialmente, sinto que aprendi como provar e apresentar de maneira clara e lógica a existência de elementos que fogem do aspecto físico (intuitivo) e devem ser interpretados e analisados de um ponto de vista espiritual (contra-intuitivo). Achei interessante que o mais importante para uma correta interpretação, nos é exigida a disposição de se pensar de maneira diferente da habitual e aceitarmos um olhar que transcende o aspecto sensorial do nosso eu físico. [2] Me perdi na parte da comparação entre o infinito dos números naturais e inteiros ser diferente do infinito dos números reais. [3] Gostei bastante da palestra, que mostrou de maneira tão didática que estamos repletos e cercados de circunstâncias em que nos deparamos com o aspecto espiritual em nosso próprio cotidiano e, muitas vezes, nem percebemos. Gostei da explicação dos diferentes infinitos e a divisão do plano pelas retas. RESP.: Não é possível achar uma correspondência biunívoca entre os reais e os naturais ou os inteiros, pois há infinitos reais que não são inteiros. portanto, os infinitos são diferentes. Como os inteiros estão contidos nos reais, o infinito desses últimos deve ser maior.
[1] O que achai mais importante é o fato de que a matemática é uma ferramenta para se entender melhor a respeito do mundo espiritual. [2] Há muitas evidências a respeito da existência do mundo espiritual. Mas como é exatamente a vida no mundo espiritual. [3] Achei fascinante todo esse conteúdo, muitas coisas que devemos aprender e ainda desconhecemos. Quero aprofundar todos esses conteúdos. RESP.: Para as características do mundo espiritual, leia as obras de Steiner, começando com as obras básicas (A ciência oculta – o titulo deveria ser A ciência do oculto – e Teosofia, mas antes leia o Noções básicas de antroposofia, de Rudlf Lanz, que está disponível na Internet, e meu artigo
Uma introdução antroposófica à constituição humana
De qualquer modo, não se deve associar o que pode ser observado no mundo físico com o mundo espiritual.
[1] Que minha visão é puramente materialista. [2] Só sei que nada sei. [3] Fantástico. RESP.: Você sabe que existe, sabe o que os seus sentidos revelam, e confia neles; se não fosse assim, seria pelo menos esquizoide.
[1] Que cada reta não divide o plano e que a matemática, considerando a espiritualidade não é visível com a nossa parte sensorial. [2] Muitas, é um conceito diferente do que aprendi até então.
[1] A matemática nos ajuda a superar o pensamento suprassensível. [2] Afinal, quantos infinitos? [3] Compartilhe conosco a lista de conferências em R. Steiner menciona a matemática. RESP.: Nos conjuntos de números mostrei dois: o dos naturais e inteiros, e o dos reais. Mas há outros, por exemplo os dos números complexos, com uma parte denominada de imaginária, que é 'maior" do que o conjunto dos reais, pois qualquer real é também complexo, mas há uma infinidade de números complexos, com a parte imaginária, que não são reais. Quanto às palestras do Steiner em que ele menciona a matemática, veja a resposta seguinte.
[1] A matemática é do âmbito inspirativo. [2] Quais as 19 palestras de R. Steiner em que ele fala sobre matemática. RESP.: Eram 19 ciclos. GAs 52 palestras de 16/3/04, 30/3/04, 27/11/03; 59 10/3/10; 84 20/4/23; 99; 101 15/9/07; 102 1/6/08; 105; 129; 131; 136; 150 5/5/13; 151; 167; 181 1/4/18; 201 14/5/20; 266b 15/3/11; 293 23/8/19; 323 9/1/21; 324 16/3/21; 324a 22/10/08, 22/4/09, 24/3/05, 7/11/05, 2/9/06, 28/6/08, 22/4/09, 13/2/13 (quem sabe algum dia eu complete as datas faltantes)
[1] Aprendi que a medida que exercitamos a consciência, nosso repertório nos permite compreender o mundo físico em reflexão ao mundo espiritual. [2] Carmicamente, como percorreremos o caminho rumo à ampla consciência? Há uma consciência infinita? Seria o "Eu"? [3] Participar de uma palestra do Prof. V.W.Setzer é sempre enriquecedor ao espírito. Gratidão ao mestre! Continue convidando-se para dar palestras à comunidade. Estaremos sempre juntos! RESP.: O carma nos coloca em situações em que podemos progredir. Mas, atenção, progredir significa desenvolver a liberdade e, a partir dela, o amor altruísta.
[1] Essência espiritual da matemática. Racionalidade da espiritualidade. [2] Infinito, lemniscata, conexões, conceitos... [3] Sugiro aprofundar mais no conceito de espiritualidade para ajudar a criar mais conexões com as demonstrações matemáticas. Muito obrigado! RESP.: Infelizmente, havia limitações de tempo.
[1] Provar o conceito de infinito através do movimento. Pensar fora da caixa, extrassensorialmente. [2] Como é um átomo? Como o Universo está em expansão acelerada? [3] Maravilhoso! Muito bem estruturado! Parabéns, professor. Muito grata. RESP.: Sim, precisamos desenvolver o pensar independente do mundo físico. Ninguém sabe como é um átomo. Os modelos matemáticos são incompreensíveis. Por exemplo, todas as partículas atômicas têm um spin. Mas ele não é uma rotação usual, pois tudo se passa como se a partícula girasse em todas as direções ao mesmo tempo, o que é impossível de ser imaginado fisicamente. Ao se medir uma dessas rotações, na interpretação de Kopenhagen há um 'colapsamento' e o resultado é uma rotação em uma só direção. O spin das fórmulas da física quântica não tem limite clássico, por isso é incompreensível. Não se sabe por que o universo está em expansão acelerada (supõe-se uma energia repulsiva desconhecida, a 'energia escura').
[1] Aprendi que não sabemos nada da verdade absoluta, mas fiquei mais apaixonada pela Matemática e Física. Quanto aos temas abordados, consegui melhorar a compreensão sobre os infinitos. [2] Como é possível chegar mais perto da verdade, embora acredite que seja impossível por ter dimensão infinita. Outra dúvida: como poderia me dedicar a essa pesquisa espiritual. [3] Sua palestra foi sentida na alma e externada emocionalmente (não estou puxando saco, sou realmente apaixonada por Matemática e Física). RESP.: Você é uma verdade! As verdades matemáticas são puramente objetivas, universais. Estude a antroposofia.
[1] Sobre a evolução da consciência e o desenvolvimento da física etc. [2] Por que os dois infinitos são diferentes e não um só infinito que engloba tudo. [3] Gostei muito da palestra, me fez ter mais carinho e interesse na matemática. Na geometria, por exemplo, cada reta vai para um infinito diferente de outras retas que não sejam paralelas a ela. Nos conjuntos de números, mostrei que o numero infinito de números naturais é diferente do número infinito de números reais.
[1] Só sabemos que nada sabemos. [2] "Necessitamos buscar perguntas novas a partir de respostas antigas, ao invés de apenas respostas novas para perguntas antigas." [3] Parabéns pela palestra! Aguardando o livro... RESP.: Você sabe que você existe... E confia em seus sentidos, que lhe transmitem várias coisas que existem. Sim, tentei mostrar coisas que vocês provavelmente não conheciam.
[1] Sobre as quebras de paradigmas tão necessárias para "entender" o mundo ou a infinitude deste nosso mundo. [2] Como trazer mais pessoas para esta visão (essa que pressupõe a quebra de paradigmas). [3] Adorei sua didática e vivacidade. Virei fã. Quem sabe um dia consigo participar de algum curso contigo e ter mais oportunidade de aprender. PS.: Meu negócio chama-se Geometria do Ser. RESP.: A primeira coisa é cada pessoa decidir ser espiritualista, isto é, reconhecer que há algo mais no universo e no ser humano do que matéria, energia e processos físicos.
[1] Duas retas paralelas se encontram! E o sensorial nos dá visão completamente diferente. [2] Infinitas! Rs. Plantou semente de querer saber mais. [3] Obrigada! Sabedoria transmitida com amor.
[1] Que existe um mundo espiritual, que vai além do físico e isso pode ser provado pela matemática. [2] O mundo físico está contido no espiritual? Eles se encontram? [3] Adorei! Parabéns! Leve, profundo interessante e cheio de conteúdo. RESP.: Acho que pela matemática pode-se reconhecer que há conceitos, que podemos captar, que são universais, objetivos, não são físicos e que nosso pensamento tem algo em comum com eles.
[1] Perceber que ainda há coisas a serem exploradas e entendidas tanto no universo quanto em nossas vidas. [2] Se os números imaginários também poderiam ser vistos como algo espiritual e meditativo. [3] Ótima palestra, super-envolvente, por te fazer pensar, e ótima didática. RESP.: Não falei dos números complexos, pois certamente muitas pessoas teriam dificuldades com a raiz quadrada de -1. Mas eles constituem um infinito 'maior" do que o dos reais.
[1] O conceito de infinito é um portal de acesso para uma espiritualidade não mística. [2] Clareou minha compreensão sobre as categorias dos números. [3] Obrigado!
[1] Movimentação dos elétrons com perda de energia. Teoria de Bohr. [2] Duas retas perpendiculares não dividem o plano, porém duas retas diagonais dividem em duas partes. O que o ângulo tem de especial. RESP.: Usei uma perpendicular simplesmente para mostrar que uma reta não divide um plano em duas partes. Usei as duas retas em diagonais, cruzando-se, para mostrar que elas dividem o plano em apenas duas partes. Poderia ter usado duas retas ortogonais para isso.
[1] O mundo espiritual <u>não pode</u> ser compreendido sensorialmente. Na Matemática e na Física podemos chegar a essa fronteira. Logo, nos preparam para lidar com o mundo do espírito. [2] Não fiquei com dúvidas. Tenho vivenciado muito disso como meus alunos. [3] Parabéns. Estou ansioso para ler seu livro.
[1] Que 2 paralelas encontram-se no infinito. [2] Não entendi como há 2 infinitos. Ou até mais do que 2. [3] Obrigada! Interessada pelo livro lindo! RESP.: Na geometria, cada retas que não são paralelas passam por um infinito diferente. Na teoria dos números, os número infinito de reais é diferente (e "menor") do que o número infinito de naturais. Não pode haver uma correspondência biunívoca entre eles pois os reais não são numeráveis, como os naturais.
[1] Os conceitos sobre infinito e sua relação com a espiritualidade. [2] Não ficou claro para mim o que está chamando de espiritualidade. Entendo que chegamos a um conceito distante do mundo físico, mas não ficou claro a relação com o espírito. [3] Excelentes provocações e reflexões. RESP.: Uma pessoa é espiritualista se admite, idealmente por hipótese de trabalho, que existem fenômenos no ser humano, animais, plantas e no universo, que não são redutíveis a fenômenos físicos. Isto é, que tudo isso não é somente composto de matéria e energia física. Denomino de "Hipótese Existencial Fundamental" a decisão que cada um tem que fazer, se adota a hipótese materialista de que só há matéria e energia física no universo, ou adota a hipótese espiritualista. A vida coerente deveria orientar-se pela escolha de uma ou outra hipótese. Na palestra, tentei mostrar que podemos trabalhar com conceitos matemáticos que não têm nada a ver com o mundo físico. Como fazemos isso com nosso pensamento, isso significa que ele tem algo em comum com o mundo platônico, não físico, das ideias.
[1] O infinito é provado pela continuidade utilizando a geometria e a mecânica. [3] [É interessante saber que se pode provar que as perspectivas são infinitas. RESP.: Talvez você quis escrever algo diferente de "perspectivas", já que eu falei da perspectiva linear.
[1] Que a nossa intuição é baseada nos nossos sentidos (representação de realidade), e não na realidade. [2] Alguns raciocínios mais específicos como o dos números racionais e naturais. Já não conseguia mais raciocinar. RESP.: Cuidado, quando eu usei a palavra "intuição" eu quis me referir à intuição baseada nas nossas experiências sensoriais. Na verdade, a intuição é ter uma ideia, e é um fenômeno anti-científico, pois de onde ela vem?
[1] Que a matemática é muito interessante e desconhecida. [2] A dúvida sempre está presente em tudo. [3] Gostaria de ouvi-lo mais vezes, os números me encantam. Grata. RESP.: Você não duvida de sua existência. Não duvida que, ao olhar para a entrada da sala onde está, está vendo uma porta. Se tivesse essas e muitas outras dúvidas, seria pelo menos esquizoide. É interessante notar que, às vezes, sua consciência lhe dá certeza absoluta de alguma ideia.
[1] A matemática e geometria como instrumento de meditação. [2] Muitas informações em pouco tempo. [3] Excelente exposição. Parabéns!!! RESP.: Infelizmente, o tempo era curto. Talvez eu devesse transformar essa palestra em um curso de umas 4 horas. Mas é mais fácil organizar uma palestra do que um curso.
[1] O mundo espiritual é objetivo. [2] O espírito é infinito? (Acho que sim!) O exato é poético! O poético é exato? RESP.: No mundo espiritual não há espaço, de modo que se poderia considerar que o espírito é infinito. O exato não é poético, mas pode-se fazer poesia sobre ele... A poesia não pode ser exata, senão vira matemática.
[1] Como quando criamos e usamos matemática para "figurar" o nosso espiritual de infinitas formas, e não trazê-la apenas para a situação física, 3D, mas que ela pode ser de grande utilidade para representação espiritual.
[1] Aprendi que o espírito está em tudo e por trás de nossos sentidos está uma força divina. [2] Nossa capacidade limitada de compreensão. RESP.: Cuidado, eu não falei da divindade.
[1] Sob a perspectiva do infinito, não se acha correspondência perceptível a nossos sentidos terrenos (inferiores). A linguagem do infinito é outra que só a matemática e a poesia podem, talvez aproximarem-se da sua tradução.
[1] Uma linha reta não divide o espaço. [2] O espírito não é compreensível nem perceptível. A alma da consciência é um instrumento de percepção dele? [3] Muito legal! Parabéns. RESP.: O espírito não é compreensível fisicamente!
[1] Uma forma de ver o mundo espiritual através da matemática. [2] O mistério, continua sendo o êxtase.
[1] A importância de separar os domínios sensorial do espiritual, a fim de obter maior compreensão da realidade. [2] Provar que os números reais não possuem correspondência biunívoca com os naturais. [3] Me ajudou a compreender melhor o livro ("O mistério do Aleph") do Amir Aczel. RESP.: Entre dois naturais, sempre há um número finito de outros naturais. Entre dois reais, há um número infinito de reais. Além disso, os reais não são numeráveis. Não conheço o livro do Aczel, vou procurar.
[1] Que a física quântica e atômica é na verdade uma forma de noética metafísica. [2] Como tal fé se estrutura como epistemologia fenomênica, da ontologia da metodologia científica. [3] Como Steiner passou da fenomenologia ecológica de Goethe para esta tal cosmologia diádica. RESP.: Depende a que forma de noética você se refere. Ela pode ser materialista, e aí a metafísica vira mera abstração. Não usei absolutamente nada de fé na minha palestra. Não tratei de epistemologia fenomênica, pois foi tudo matemática. E não tratei de ontologias; a matemática é puramente sintática. Significados que podemos dar a ela são associações com nossas vivência físicas, que não têm nada a ver com ela. Só tratei da metodologia científica quando discorri sobre o infinito na física.
[1] Aprendi que o infinito, creio que disto posso inferir que o universo também, são curvos! (estou errado?). Entendi que dividir o infinito por 2 por exemplo resulta em infinito. Aprendi que o ponto é infinitesimal e irrepresentável no papel sozinho. [2] Minha maior dúvida é se o homem algum dia vai expulsar para o infinito a idéia de deus, ou seja chegar no conhecimento do infinito, visto que a ciência empurra deus cada vez para mais longe. O método científico não é isto? Sempre empurrando os limites do saber... Será que a inteligência artificial nos dominará nos fazendo artificialmente burros? Ou será que a dominaremos nos fazendo artificialmente deuses? [3] Gosto do livre pensar, diferentemente de Steiner, talvez eu possa me permitir ser um diletante. RESP.: Talvez você esteja se referindo à minha demonstração de que uma reta vai para o mesmo infinito dos dois lados, quando empreguei uma circunferência aumentando de raio até que ele seja infinito. Note que isso não tem nada com o universo, trata-se do puro conceito de reta. Há uma teoria de que o universo é curvo; isso não resolve o problema de se saber o que há do outro lado da curva. Sim, dividindo o infinito numérico por 2 continua-se com o infinito. Sim, qualquer representação gráfica de um ponto não é um ponto ideal, que só existe no mundo conceitual. Infelizmente a ciência corrente é puramente materialista, não reconhece a existência de algo transcendente aos fenômenos puramente físicos. Mas as evidências em contrário são muito grandes. A ciência não empurra Deus para longe, simplesmente não admite a existência de nenhum ser divino, isto é, sem corpo físico. Sim, o método científico está sempre empurrando os limites do saber, mas de maneira unilateral, somente do ponto de vista físico. Com isso, coloca limites em si próprio - até na matemática. Existem problemas matemáticos bem definidos que não se sabem se têm solução, são os "problemas indecidíveis". Não, não é a "Inteligência" Artificial que poderá nos dominar, mas seu uso indevido por seres humanos. Sim, o seu mau uso poderá deixar as pessoas burras. Mas a TV já faz isso... Steiner foi um ardoroso defensor do livre pensar, veja seu livro A Filosofia da Liberdade. Qualquer opinião em contrário é fruto de um desconhecimento de quem ele foi e de sua obra.

1. 27/11/18 20h30, para participantes do Ramo Rudolf Steiner da Sociedade Antroposófica no Brasil e interessados, na biblioteca da Escola Waldorf Rudolf Steiner, R. Job Lane 900, Sto. Amaro, São Paulo, SP; info: Sonia Setzer sosetzer_arrb.gmail.com33.

[1] Minibiografia de Cantor e os desafios para a aceitação de sua teoria pelos matemáticos da época. [2] Diagonalização, no início da explicação, logo depois foi esclarecida. [3] Ótima relação entre a atividade matemática como um exercício de meditação espiritual. RESP.: De fato Georg Cantor, que introduziu a teoria dos conjuntos, os números transfinitos e a correspondência um-para-um (bijeção) entre conjuntos, foi desprezado por vários matemáticos famosos (mas não todos!),. Ele tinha uma cátedra na Universidade de Halle e queria assumir uma na Universidade de Berlin, que tinha mais prestígio, mas nunca conseguiu isso pois professores de lá achavam que suas teorias eram contra-intuitivas (o que realmente são!) e mesmo chocantes. No entanto, hoje elas fazem parte de qualquer conhecimento matemático superior. A diagonalização, que vimos na palestra, foi uma ferramenta mental desenvolvida por Cantor para mostrar, usando a bijeção de um conjunto para um outro, que o número infinito dos números racionais é igual ao número infinito dos números naturais.
[1] A espiritualidade do “mundo” infinito. [2] Se tudo se transforma em um ponto, como posso ter dois planos separados por retas? [3] Necessário trabalhar mais a pergunta 2 e racionalizar a mesma. As provas de infinito e ponto não me trouxeram tranquilidade. RESP.: Cuidado, tratamos apenas do infinito na geometria e nos conjuntos de números; não tive tempo de abordar o infinito na física. Qualquer objeto que se represente mentalmente pode ser reduzido mentalmente em escala até se converter em um ponto; como eu disse no começo, um ponto ideal pode ser encarado como a representação mental de qualquer objeto (uma circunferência, uma esfera, um cubo, uma cadeira e assim por diante) com escala reduzida ao infinitamente pequeno. Um plano ideal pode ser dividido em duas partes se se traçar nele duas retas convergentes, como mostrei. Experimente fazer a meditação de reduzir uma figura geométrica a um ponto, e os dois exercícios que usei para mostrar que uma reta “vai” para o infinito de um lado e “volta” do mesmo infinito do outro lado. Quem sabe familiarizando-se com essas ideias você poderá encará-las com tranquilidade.
[1] Aprendi que meu conhecimento é (infinitamente) limitado!!! [3] O que foi apresentado é excelente para a interiorização (meditação). Obrigado! A apresentação demostra domínio do conhecimento da matemática. RESP.: O conhecimento é limitado se baseado exclusivamente no mundo físico. No mundo das ideias ele não tem limites!
[1] A possibilidade que a matemática nos permite pensar no irracional (espiritual) de forma “objetiva”. [2] Como aplicar isso na prática? [3] Gratidão pelo compartilhamento! RESP.: Cuidado com a palavra “irracional”: ela é usada na matemática para indicar números que não podem ser reduzidos à razão de dois inteiros. A matemática é toda objetiva, pois quem tem domínio sobre ela entende perfeitamente o que ela é, independente, por exemplo, se gosta dela ou não, o que envolveria subjetividade (cada pessoa tem sentimentos absolutamente individuais).
[1] Que a matemática me dá a universalidade. [3] A todo momento da palestra me vinha à memória o fato de Rudolf Steiner ter iniciado sua vida acadêmica pelas ciências exatas. Não será o primeiro caminho iniciático dele? RESP.: Sim, os conceitos matemáticos são universais, não dependem de quem os está observando com o pensamento. Rudolf Steiner disse várias vezes que a ciência física é essencial para se desenvolver um pensar objetivo e exprimi-lo conceitualmente, para a compreensão objetiva e não para os sentimentos, que são subjetivos, já que o mundo físico, se observado sadiamente, é objetivo. Além disso, as leis que regem o mundo físico são ideias, elas não estão nos objetos. Nós as reconhecemos pois com o pensar observamos o mundo platônico das ideias.
[1] Sobre os pontos, retas, dos dois lados infinitos... [2] Tudo é novidade, nunca foi meu forte a matemática. [3] Valeu a curiosidade. RESP.: Qualquer pessoa pode compreender a matemática elementar. Pegue um livro-texto de matemática escolar e siga tudo, você verá que poderá desenvolver um raciocínio matemático.
[1] Aprendi o conceito de infinito. [2] O conceito de diagonalidade. [3] Interessante perceber que a maior parte do tempo fazemos contas e não ficamos no conceito. RESP.: A construção da tabela dos números racionais, e o percurso sistemático deles na tabela, associando-se cada um com um número racional ordinal (que indica uma ordem de disposição desses números) foi uma construção genial do Cantor e de extrema simplicidade. Sim, o uso mais comum da matemática é o de fazer contas. Os conceitos de infinitamente grande e pequeno na matemática transcendem as contas; trata de algo qualitativo objetivamente!
[1] Que os infinitos se encontram tanto nos círculos progressivos como na reta. [2] Várias dúvidas. Falta-me conhecimento matemático. [3] Deu vontade de estudar matemática. RESP.: Tentei mostrar que os conceitos matemáticos que abordei podem ser compreendidos sem conhecimento matemático prévio.
[1] Que os infinitos são iguais. [3] Pode-se chegar a conclusões com simplicidade. RESP.: Mostrei que em alguns casos o o número de elementos de um conjunto e o de outro que é um subconjunto do primeiro é o mesmo infinito, como é caso dos números naturais e dos números pares, o que é supreendente pois claramente o segundo é um subconjunto próprio do primeiro. Mas também mostrei que o número infinito de números naturais é menor do que o número infinito dos números reais (os que englobam os números racionais e os irracionais).
[1] A importância de tentarmos compreender a realidade do pensamento matemático, embora surpreendente. [3] Foi um bom exercício. RESP.: Para mim, o mais importante no assunto é compreender que conceitos matemáticos objetivos transcendem as representações mentais baseadas no mundo físico.
[1] O conceito de infinito não é exatamente o que pensamos, sempre levamos relação com o mundo físico. [2] Não é bem uma dúvida, mas uma curiosidade para seguir na pesquisa do assunto. [3] Citando o músico Renato Russo “Realmente o infinito é um dos deuses mais lindos.” RESP.: De fato, o infinito na matemática não é um conceito baseado no mundo físico, portanto está no mundo divino.
[1] A palestra é muito interessante porque demonstra como exercitar o pensar a partir de realidades objetivas que não se fundamentam na realidade física. Nos indica que podemos desenvolver o mesmo caminho com conteúdos espirituais, ou seja, que não se podem reconhecer pelo sentidos.
[1] Não conhecia os transfinitos. Que um infinito pode ser maior do que outro infinito... E que há infinitos infinitos! [2] Como mostrar que há infinitos números transfinitos? [3] Gostaria de assistir à palestra sobre ф. RESP.: Fique de olho nas minhas palestras programadas, em
www.ime.usp.br/~vwsetzer/pals/pals-cursos.html
A palestra que trata em detalhe da razão áurea é a "A sequência e a espiral de Fibonacci, a razão e a espiral áureas e suas ocorrências na natureza". Ver o resumo, as avaliações de participantes, e a apresentação com as ilustrações. Venha assistir a próxima!

OS SURPREENDENTES CONCEITOS DE INFINITO NA GEOMETRIA, EM CONJUNTOS DE NÚMEROS E NO MUNDO FÍSICO

OS SURPREENDENTES CONCEITOS DE INFINITO
NA GEOMETRIA, EM CONJUNTOS DE NÚMEROS
E NO MUNDO FÍSICO