Renormalização, geometria fractal, e o fenômeno de Newhouse
Poincaré descobriu, no final do século XIX, que mesmo perturbações muito pequenas de sistemas dinâmicos muito regulares podem levar a comportamento “caótico” devido a interações complicadas próximo a pontos “homoclínicos”. Nos anos 1960, Steven Smale propôs explicar esse comportamento caótico em termos de uma transformação estável, hoje conhecida como a “ferradura de Smale”. Apesar de ter levado a grande avanço na compreensão de dinâmica caótica, a ferradura é ainda otimista demais para dar conta de todas as possibilidades, como mostrou Sheldon Newhouse: mesmo em dimensão 2 (real), uma bifurcação homoclínica leva a dinâmicas particularmente “selvagens”, como a presença genérica de um número infinito de atratores distintos. Esse “fenômeno de Newhouse” está associado tanto a um mecanismo de “renormalização” — um conceito que veio da física e foi incorporado, com grande sucesso, ao estudo de sistemas dinâmicos — quanto a propriedades geométricas de conjuntos fractais dentro da ferradura. Quando passamos ao domínio complexo e consideramos sistemas dinâmicos em dimensão 2 complexa, esses conjuntos fractais tornam-se muito mais bonitos, mas também de muito mais difícil compreensão.