Grupos de pesquisa – Departamento de Matemática Aplicada

1) Equações Diferenciais e Aplicações

Tema central: Estudo de soluções de equações diferenciais ordinárias e parciais e sistemas destas equações – existência, unicidade, propriedades geométricas, condições de fronteira, etc.

Projetos de pesquisa em Equações Diferenciais e Aplicações:

O grupo trabalha com aspectos fundamentais do comportamento qualitativo de sistemas dinâmicos de dimensão infinita, quer sejam gerados por equações diferenciais parciais quer sejam por equações funcionais. Tais sistemas são importantes na modelagem matemática e no estudo de fenômenos naturais relacionados às mais diversas áreas do conhecimento, como a Física, Biologia, Química, Economia, Engenharia e Ecologia.

Membros:

O projeto visa diversos problemas matemáticos fundamentais da dinâmica de sistemas Hamiltonianos e da mecânica geométrica. Entre os tópicos investigados, destaca-se a dinâmica de vórtices pontuais em fluidos, a interação hidrodinâmica de corpos imersos em líquidos e problemas de teoria de controle, todos no contexto da mecânica conservativa. Além disso, são estudados os efeitos de forças dissipativas em mecânica celeste, como aquelas associadas às marés, visando compreender sua influência na evolução dinâmica de sistemas planetários.

Membro:

Estudo de Equações Diferenciais Parciais Lineares e Análise Complexa Multidimensional com principais tópicos: (a) Resolubilidade local, semi-global e global para operadores diferenciais lineares e sistemas involutivos de campos vetoriais complexos; (b) Propriedades de regularidade das soluções: hipoelipticidade $C^\infty$, analítica e Gevrey; (c) Propriedades gerais das soluções aproximadas para sistemas involutivos de campos vetoriais complexos; (d) Teoria de espaços de Hardy para campos vetoriais não elípticos; (e) Extensão dos teoremas de F. e M. Riesz e de Rudin-Carleson para campos vetoriais complexos.
Membros:

Os principais tópicos estudados neste projeto são os campos vetoriais, suaves ou não, equações diferenciais implícitas, e campos vetoriais reversíveis. Do ponto de vista geométrico, nas equações diferenciais são tratadas as curvas especiais em superfícies (linhas de curvatura principal, linhas assintóticas, curvas de Darboux) e outras questões que relacionam dinâmica e geometria. Vinculado a campos vetoriais, trabalhamos ao longo das linhas gerais propostas no programa de Thom-Smale: determinação de cotas de ciclos limite, fenômenos globais (conexões e órbitas periódicas), perturbação singular, comportamento assintótico, dinâmica e bifurcações. Em resumo, busca-se desenvolver estudos utilizando as técnicas da Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais Ordinárias e aplicá-las à Geometria Diferencial e a problemas de diferentes áreas como teoria do controle, física, biologia, engenharia, etc.

Membros:

Ana Cristina de Oliveira Mereu

2) Matemática Aplicada Computacional

Tema central: Esta linha de pesquisa é focada em métodos computacionais para solução de diversos problemas em matemática aplicada, com ênfase no desenvolvimento de métodos numéricos para resolução de equações diferenciais parciais ligadas a aplicações em mecânica dos fluidos e na área de otimização, de algoritmos em otimização não linear com restrições e otimização de forma, além de alguns temas em computação gráfica.

Projetos de pesquisa em Matemática Aplicada Computacional:

O projeto foca no desenvolvimento de métodos numéricos para equações diferenciais parciais (EPDs) e aplicações. Em especial, trata do desenvolvimento de métodos numéricos para equações que modelam escoamentos multifásicos, propagação de ondas, previsão numérica de tempo e clima, e imageamento sísmico. Uma atenção especial é dada a problemas inversos com restrições a EDPs, no contexto das aplicações descritas anteriormente.

Membros:

O projeto foca no problema de otimização não linear com variáveis reais, onde estudamos propriedades analíticas satisfeitas pelas soluções e, em particular, aquelas que podem ser usadas para guiar um processo iterativo que busca resolver o problema. O grupo também trabalha na área de otimização de forma, onde a variável é a geometria, ou forma, de subconjuntos de Rn, em particular, em problemas que envolvem equações diferenciais parciais nas restrições. A otimização é uma área intra-disciplinar que se fundamenta em diferentes áreas da matemática como geometria diferencial, topologia, controle ótimo, análise numérica e álgebra linear aplicada. Esta linha de pesquisa dedica-se tanto ao estudo teórico quanto à implementação computacional e à aplicação em problemas reais que surgem em áreas tais como Física, Química, Estatística, Economia, Engenharias e Matemática Industrial.

Membros:

3) Sistemas Dinâmicos

Tema central: Estudo qualitativo dos sistemas dinâmicos em geral e em especial dos que provêm de equações diferenciais ordinárias e parciais e dos sistemas dinâmicos discretos em baixa dimensão.

Projetos de Sistemas Dinâmicos:

A teoria moderna de sistemas dinâmicos começou com o trabalho de Poincaré no início do século XX e, desde então, cresceu e amadureceu, tornando-se uma área importante e ativa da matemática, com diversas sub-áreas. Os principais temas de pesquisa deste grupo são: Dinâmica em dimensão 2 (dinâmica de homeomorfismos e difeomorfismos do toro, dinâmica topológica em superfícies, transformações de Hénon),Topologia e geometria de 3-variedades e conexões com dinâmica em dimensão 2, Teoria de Teichmüller e suas conexões com dinâmica e geometria em dimensões baixas, Endomorfismos do intervalo, transformações críticas do círculo, renormalização e o espaço de parâmetros, Dinâmica hamiltoniana, bla tire essa parte, o Pedro Salomao esta fora Curvas pseudo-holomorfas e dinâmica simplética, Dinâmica complexa em dimensões 1 e 2.

Membros:

A teoria ergódica se concentra no estudo das medidas invariantes para uma dinâmica ou ação de um grupo. Além de ser uma das principais vertentes da teoria de sistemas dinâmicos, os resultados produzidos servem de ferramenta e interessam a pesquisadores de diversas áreas da Matemática pura e aplicada (como probabilistas, especialistas em mecânica estatística rigorosa, em grupos amenables, em dinâmica simbólica, etc). A ênfase em nosso programa é em otimização ergódica e formalismo termodinâmico, mais especificamente, no estudo de medidas maximizantes, medidas de Gibbs e de equilíbrio, ground states e transição de fase.

Membros:

4) Modelagem Matemática e Aplicações

Tema central: O grupo de modelagem matemática de nosso programa se ocupa de temas em modelagem de sistemas sociais, finanças, modelos epidemiológicos (estocásticos e determinísticos), modelagem de código genético e expressão gênica e de aplicações de estatística bayesiana.

Projetos de Modelagem Matemática e Aplicações:

Estudar a mobilidade humana local e global e seus efeitos sobre o espalhamento de doenças infecto-contagiosas é um dos objetivos principais deste projeto. A dinâmica espacial, deve contemplar a correção dos parâmetros de forma a incluir variações sazonais. Uma análise de risco, de um indivíduo ser contaminado e a determinação de limiares epidemiológicos também são estudados. Modelos diferenciais e estocásticos são a base da modelagem usada neste projeto.

Membros:

O projeto atua em temas de processos estocásticos (incluindo otimização estocástica) e Estatística Bayesiana. Como um dos objetivos do projeto, destacamos os estudos no teste de significância totalmente bayesiano ou FBST-FULL BAYESIAN SIGNIFICANCE TEST, um procedimento estatístico para acessar a verossimilhança de hipóteses precisas. Este procedimento resolve vários problemas de procedimentos semelhantes da estatística frequentista, como p-valores, ou da estatística bayesiana ortodoxa, como fatores de bayes. Temas de otimização estocástica e sistemas esparsos também são explorados.

O objetivo dessa linha de pesquisa é o estudo de modelos matemáticos que possam auxiliar na interpretação de evidência empírica sobre sistemas sociais. O interesse reside em fenômenos relacionados às sociedades humanas, mais especificamente: emergência e manutenção de altruísmo em larga escala; relações entre limitações cognitivas, estrutura social e dinâmica de opiniões; e dinâmicas de opinião com imitação, adaptação, auto-referência e efeitos de reputação. Nesses estudos são importantes técnicas analíticas e de simulação provenientes da mecânica estatística dos sistemas desordenados bem como os frameworks da teoria dos jogos evolucionários e das redes complexas. Resultados rigorosos não são o foco principal, mas são vistos como altamente desejáveis sempre que possíveis. Como ferramenta fundamental, cita-se aprendizagem de máquina no estudo desses sistemas sociais. Em paralelo, são estudados modelos de finanças e suas derivações, também contando com forte uso de inteligência artificial e aprendizagem de máquina.
Membros:

5) Física Matemática

Tema central: O grupo de física matemática de nosso programa se ocupa de aspectos da física teórica, principalmente os ligados à teoria clássica e quântica de campos.

Estudo rigoroso de modelos, de curto e longo alcance, da mecânica estatística, tais como os modelos tipo Ising, no caso clássico, assim como os tipo Hubbard e BCS, no caso quântico. O objetivo principal é produzir teoremas que ajudem na compreensão destes. Busca-se, em geral, resultados sobre o comportamento das correlações, a descrição dos conjuntos dos estados DLR no caso clássico e dos KMS no caso quântico, a existência ou não de transições de fase, a caracterização dos ground states, as propriedades da pressão, entre outros. Entre as ferramentas matemáticas utilizadas estão: probabilidade, teoria dos grafos e combinatória, análise funcional, álgebras-C* e de von Neumann, análise convexa, teoria da medida, teoria ergódica, etc.

Membros:

Desenvolvimento do formalismo geral (lagrangiano e hamiltoniano), Simetrias e leis de conservaçâo, Modelos geométricos (relatividade geral, teorias de calibre, etc).

Membros: