Técnicas recentes para boa colocação global de equações dispersivas não-lineares com dados iniciais de baixa regularidade
Professor: Mahendra Panthee, Centro de Matemática, Universidade do Minho, Braga, Portugal

Pré-requisitos: Analise Fourier, Espaços de Sobolev e Equações Diferenciais Parciais

Programa Resumido: Um dos objectivos no estudo de problema de Cauchy para equações difereciais parciais (EDP) nãolineares é boa colocação local e global. Existem vários métodos para tratar este problema se o dado inicial tem regularidade suficiente. Neste caso as quantidades conservadas que o fluxo satisfaz fornecem a estimativas a priori para estender solução local para global nos certos espaços de Sobolev. Entretanto, para dado inicial de baixa ragularidade, não existem quantidades conservadas e neste caso estender solução local para global é mais delicado e exige novas técnicas.

Neste mini-curso, vamos apresentar alguns tecnicas recentes para obter solução global para alguns modelos dispersivos com dado inicial de baixa regularidade. O Fourier transform restriction norm method [1, 4] é um metodo muito útil para tartar boa colocação local e o I-method (ou, o método de quantidades quase conservadas) [2, 3, 5] para tratar boa colocação global com tais dados. Neste curso, vamos focar no método-I para obter solução global. O método-I é um metodo que é muito eficaz para construir solução global para equações dispersivas nãolineares quando a quantidade conservada (por exemplo, Energia E(u)) é sub-critica mas é infinita. Nesta situação, a ideia é aplicar um mollifying operator I para a solução (dependendo no large frequency truncation parameter N) para fazer a quantidade E(Iu) finita. Mas, este quantidade não fica conservada e a gente espera mostrar que fique estável no tempo. Finalmente, fazendo N suficientemente grande, podemos obter solução global para dados iniciais com certa regularidade de Sobolev.

Bibliografia:

[1] J. Bourgain, Fourier restriction phenomena for certain lattice subsets and applications to nonlinear evolution equations, Part I, Geometric and Funct. Anal. 3 (1993), 107-156.

[2] J. Colliander, M. Keel, G. Staffilani, H. Takaoka and T. Tao, Global well-posedness for KdV in Sobolev spaces of negative index, Electron. J. Differential Equations 26 (2001), 1-7.

[3] J. Colliander, M. Keel, G. Staffilani, H. Takaoka, T. Tao, Sharp global well-posedness for periodic and non-periodic KdV and mKdV, J. Amer. Math. Soc. 16 (2003) 705-749.

[4] Kenig, Carlos E.; Ponce, Gustavo; Vega, Luis; A bilinear estimate with applications to the KdV equation, J. Amer. Math. Soc. 9 (1996), no. 2, 573--603.

[5] T. Tao, Nonlinear dispersive equations, Local and global analysis, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 106. Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC; by the American Mathematical Society, Providence, RI, 2006. xvi+373 pp. ISBN: 0-8218-4143-2

17/01/2011 das 14:00 às 16:00
19/01/2011 das 14:00 às 16:00
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