Análise II

 

Descrição: O objetivo deste curso é introduzir formalmente o conceito de função integrável no sentido de Riemann. Não se trata de um curso elementar sobre técnicas de integração, pois o enfoque que daremos é teórico e matematicamente rigoroso. Para aprofundar no estudo de funções de uma variável real faremos uso do conhecimento adquirido em Análise I. Por exemplo, estudaremos duas noções de convergência de sequências de funções: convergência pontual e uniforme. É importante entender o Espaço das funções contínuas e, para isso utilizaremos estas noções de convergência. Esta disciplina fornece ferramentas importantes para estudarmos problemas relacionados com: equações diferenciais, análise complexa, análise de Fourier, entre outros.



Aulas: Terças e Quintas das 15:30 às 17:00, na sala PC17 do Centro Politécnico.



Atendimento a alunos: Terças das 14:30 às 15:30 no Departamento de Matemática.



Avaliação: Três provas P1, P2 e P3, cada uma com peso de 1/4 da nota final. Haverá listas de exercícios contribuindo com 1/4 da nota final. Não haverá prova substitutiva.


Datas:


Prova 1: Terça 17 de abril


Prova 2: Terça 22 de maio


Prova 3: Quinta 21 de junho


Prova Final: Terça 03 de julho


               

Ementa: Cobriremos os seguintes assuntos:


Parte 1 (Integração)


  1. 1. Somas de Riemann. Integral superior e Integral inferior.

  2. 2. Integral de Riemann. Funções Riemann integráveis.

  3. 3. Propriedades da integral; Teorema do valor médio.

  4. 4. Teorema de mudança de variáveis.

  5. 5. Derivada vs Integral: O Teorema Fundamental do Cálculo.

  6. 6. Integrais impróprias.


Parte 2 (Convergência em espaços de funções)


  1. 1. Seqüências de funções.

  2. 2. Convergência pontual e convergência uniforme.

  3. 3. Séries de funções: Teorema de Weierstrass, Funções analíticas.

  4. 4. Convergência uniforme e continuidade.

  5. 5. Convergência uniforme e diferenciabilidade.

  6. 6. Convergência uniforme e integrabilidade.

  7. 7. Famílias equicontínuas: Teorema de Arzelà-Ascoli e aplicações.

  8. 8. Teorema de Stone-Weierstrass.


Dependendo do tempo disponível, podemos estudar tópicos adicionais diretamente conectados com o conteúdo desta disciplina, por exemplo, os conceitos básicos relacionados com a Teoria de Séries de Fourier.


Referências: Algumas referências são:


  1. 1. Lima, E.L., Curso de Análise, Vol 1. Projeto Euclides.

  2. 2. Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, 3a Edição.


Listas:


  1. 1. Lista1.pdf   (Deve ser entregue dia 27 de março em aula)

  2. 2. Lista2.pdf   (Deve ser entregue dia 17 de abril em aula)

  3. 3. Lista3.pdf   (Deve ser entregue dia 22 de maio em aula)