Descrição: Este curso consiste no estudo de funções de várias variáveis reais, desde um ponto de vista topológico e diferencial. Isto é, propriedades tais como continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade (estudadas nos cursos clássicos de cálculo) agora são apresentadas de forma matematicamente rigorosa, estudando com cuidado a topologia do espaço euclidiano Rn e suas propriedades geométricas que permitem a passagem do cálculo clássico à análise matemática.

Esta disciplina é fundamental na formação de matemáticos (puros e aplicados), pois está diretamente relacionada com outras áreas de matemática e física, incluindo: álgebra, geometria diferencial, mecânica clássica, eletromagnetismo, grupos de Lie, otimização, equações diferenciais parciais, teoria de números, entre outras.

Aulas: Terças e Quintas das 10:30 às 12:00 no Anfiteatro B do Centro Politécnico.

Atenção: Nos dias 06/03 e 08/03 as aulas serão realizadas nas salas PC18 e PC03, respectivamente.

Atendimento a alunos: Sextas das 17:00 às 18:00 no Departamento de Matemática.

Avaliação:  Três provas P1, P2 e P3, cada uma com peso de 1/4 da nota final. Haverá listas de exercícios, contribuindo com 1/4 da nota final. Não haverá prova substitutiva.

Datas:

Prova 1: Quinta 12 de abril

Prova 2: Quinta 24 de maio

Prova 3: Quinta 21 de junho

Ementa: Estudaremos os seguintes tópicos:

Parte 1 (Espaços Métricos)

1. 1. Distâncias, exemplos
   

2. 2. Normas e produtos internos: Rn como espaço métrico
   

3. 3. Conjuntos abertos, fechados, pontos de acumulação
   

4. 4. Funções contínuas e homeomorfismos
   

5. 5. Completude
   

6. 6. Compacidade
   

7. 7. Conexidade
   

Parte 2 (Diferenciabilidade)

1. 1. Aplicações diferenciáveis entre espaços euclidianos
   

2. 2. Derivadas direcionais
   

3. 3. Derivadas de ordem superior e Fórmula de Taylor
   

4. 4. Pontos críticos
   

5. 5. Teorema da Função Inversa, Teorema da Função Implícita
   

6. 6. Aplicações
   

Parte 3 (Integração)

1. 1. Integral de Riemann
   

2. 2. Conjuntos de medida zero
   

3. 3. Integração sucessiva
   

4. 4. Mudança de variáveis
   

5. 5. Aplicações
   

Referências: Algumas referências são:

1. 1. Bartle, R, The Elements of Real Analysis.
   

2. 2. Lima, E.L., Curso de Análise. Vol. 2.
   

3. 3. M. Spivak, Calculus on Manifolds.
   

Listas:

1. 1. Lista1.pdf (Entregar dia 20/03 no horário de aula)
   

2. 2. Lista2.pdf (Entregar dia 12/04 no horário de aula)
   

3. 3. A lista 3 deve ser entregue dia 29 de maio, em horário de aula. Lembre que esta lista consiste em todos os exercícios do livro correspondentes à parte de diferencialibilidade de funções de várias variáveis. Em aula foi entregue uma cópia dos exercícios.