Descrição: A Geometria Simplética tem origem na formulação geométrica da mecânica clássica e é uma área de intensa pesquisa, mostrando conexões com outras áreas da Matemática e Física, incluindo: geometria complexa, geometria algébrica, sistemas dinâmicos, quantização, teorias de calibre, topologia em dimensão 3 e 4, teoria de representações, teoria de Lie, análise microlocal, entre outras. Veja ainda o quadro acima, onde são mencionadas algumas áreas e assuntos que se relacionam com a Geometria Simplética.
O objetivo principal deste curso consite em introduzir os conceitos básicos da Geometria Simplética, incluindo suas conexões com outras áreas da Matemática e Física, tais como: mecânica clássica, geometria complexa, teoria de representações, teorias de calibre, sistemas dinâmicos, entre outras. Além de apresentar os resultados clássicos da Geometria Simplética, o curso busca estudar generalizações da noção de variedade simplética e do conceito de simetria, incluindo: variedades de Poisson, grupos de Lie Poisson, moment maps para ações de grupos de Lie Poisson, grupoides simpléticos, entre outros.
Aulas: Quartas das 10:00 às 12:00 na sala 266 e Sextas das 10:00 às 12:00 na sala 267.
Horárío de atendimento: Toda quinta-feira das 15:00 às 17:00 estarei na minha sala para tirar dúvidas sobre a matéria, listas de exercício ou qualquer assunto relacionado com o curso. Também podem mandar dúvidas por email. Não precisam se restringir ao horário de atendimento para tirar dúvidas, podem me procurar no IME durante a semana e trocar ideias o corredor ou na sala de café. Não fiquem com as dúvidas, perguntem, conversem com outros colegas, etc.
Avaliação: A avaliação consiste em 1 prova escrita, 1 prova oral, listas de exercícios e um projeto final. As listas serão publicadas nesta página e deverão ser entregues em aula na data indicada. O projeto consiste num trabalho escrito (no formato de artigo/survey) de no máximo 15 páginas, o qual deverá ser apresentado como seminário. O assunto do projeto deve ser escolhido pelo aluno e aprovado pelo docente. Tal assunto deve estar relacionado com a disciplina. O projeto escrito deve ser entregue 1 semana antes da apresentação do seminário. O tema principal do projeto final deve ser escolhido até dia 06 de maio, permitindo que estudante tenha aproximadamente 1 mês para a elaboração do mesmo.
DATAS DAS AVALIAÇÕES:
Prova escrita: Sexta-feira 29 de abril.
Prova oral: Sexta-feira 10 de junho
Seminários: a ser informado
Programa: Os tópicos que iremos cobrir no semestre são os seguintes:
Parte I: Álgebra Linear Simplética
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-Espaços vetoriais simpléticos; subespaços isotrópicos, coisotrópicos, simpléticos e lagrangianos.
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-Redução simplética linear.
Parte II: Variedades Simpléticas
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-Estruturas simpléticas em variedades; definição, exemplos, difeomorfismos simpléticos.
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-Campos Hamiltonianos, álgebras de Poisson.
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-Estrutura local; Teorema de Darboux, subvariedades, vizinhanças de subvariedades.
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-Conexão com Geometria complexa: estruturas complexas; variedades Kahler e hiper-Kahler.
Parte III: Introdução à Mecânica Hamiltoniana
- Funcionais de ação e equações de Euler-Lagrange
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-Transformada de Legendre
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-Equações de Euler-Lagrange vs Equações de Hamilton
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-Sistemas Integráveis: coordenadas ação-ângulo; Teorema de Arnold-Liouville
Parte IV: Aplicações Momento e Redução Simplética
- Revisão de ações de grupos de Lie em variedades
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-Ações simpléticas, moment maps, Teorema de Noether.
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-Redução de Marsden-Weinstein, aplicações (espaço de moduli de conexões planas, espaço de moduli de subvariedades Lagrangianas especiais). Teorema de convexidade de Atiyah-Guillemin-Sternberg; Teorema de Duistermaat-Heckman
Parte V: Geometria de Poisson
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-Variedades de Poisson, exemplos, morfismos de Poisson.
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-Teorema splitting de Weinstein. Folheação simplética de uma variedade de Poisson.
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-Realizações simpléticas, pares duais, equivalência de Morita de variedades de Poisson.
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-Grupoides simpléticos; Integração de variedades de Poisson
Parte VI: Grupos de Lie-Poisson
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-Grupos de Lie-Poisson, exemplos.
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-Correspondência de Drinfeld.
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-Ações de grupos de Lie-Poisson
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-Aplicações momento para ações de grupos de Lie Poisson.
Parte VII: Tópicos Adicionais
Dependendo do tempo e do interesse dos estudantes, podemos cobrir um ou mais dentre os seguintes assuntos: dinâmica Hamiltoniana (pontos fixos e conjectura de Arnold); capacidades simpléticas e non-squeezing, curvas J-holomorfas, fibrações simpléticas, variedades tóricas, quantização geométrica, espaços quase-Hamiltonianos, Estruturas de Dirac, Geometria Complexa Generalizada, entre outros.
Referências: Existem várias referências que cobrem uma boa parte dos assuntos que estudaremos neste curso. A lista abaixo contém alguns textos que são recomendados para esta disciplina. A referência 1. consiste numa introdução à Geometria Simplética e serve como bom material de estudo para as partes I-IV. Já o texto 2. é mais avançado, oferece uma boa introdução à Geometria Simplética, mas tem foco em aspectos topológicos e aplicações em topologia em dimensão baixa. A referência 3. trata da Geometria de Poisson, sua relação com grupoides e algebroides de Lie, discutindo também alguns resultados mais recentes.
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1. Cannas da Silva, A.: Lectures on symplectic geometry , Lectures Notes in Mathematics 1764, Springer-Verlag.
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2. McDuff, D., Salamon, D.: Introduction to Symplectic Topology , Oxford Math. Monographs, Oxford Univ. Press, 1995
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3. Dufour, J.P., Zung, N.T.: Poisson structures and their normal forms, Progress in Mathematics, Birkhauser 242, 2005
Listas: