Descrição: A Geometria Generalizada é uma linha de investigação da Geometria Diferencial, a qual se conecta com diversas áreas da Matemática e Física. Os principais exemplos de estruturas generalizadas são as estruturas de Dirac (T. Courant, A. Weinstein em 1990) e as estruturas complexas generalizadas (M. Gualtieri, N. Hitchin 2004). Exemplos de estruturas de Dirac incluem: estruturas simpléticas, estruturas de Poisson, folheações regulares e níveis de mapas momento, tornando a geometria de Dirac o formalismo adequado para o estudo de mecânica com simetrias e vínculos. Já as estruturas complexas generalizadas unificam estruturas simpléticas e estruturas complexas, o que permite usar geometria complexa generalizada para entender problemas de dualidade em Física Teórica, e.g. mirror symmetry. Este curso tem como objetivo geral colocar os estudantes em contato com pesquisa, oferecendo uma perspectiva geral sobre geometria generalizada e aplicações.

Quando e onde: Segunda das 14:00 às 16:00, Quarta das 14:00 às 16:00. A sala será informada em breve.

Atendimento a alunos: Toda Quarta-feira às 16:30 na sala 118-A.

Avaliação: Participação em aula, apresentações ao longo do curso, um projeto final sobre um assunto de interesse do aluno e relacionado com o curso, o qual deve ser entregue escrito e apresentado como seminário. Sugestões de assuntos para o projeto final serão entregues no início do curso.

Datas Importantes: As apresentações dos projetos finais serão realizadas nos dias 29 de novembro e 04 de dezembro. O prazo para entrega do projeto escrito é 22 de novembro. O assunto para o projeto final deve ser escolhido no máximo até 20 de outubro.

Ementa: A ementa do curso pode ser encontrada aqui

Resumo das aulas: Aqui colocaremos a descrição de cada aula.

Aula 1 (07 de agosto). Variedades simpléticas, definição, exemplos principais. Campos Hamiltonianos e colchete de Poisson. Simplectomorfismos.

Aula 2 (09 de agosto). Ações suaves em variedades, ações infinitesimais, exemplos. Espaço de órbitas de uma ação suave. Ações simpléticas.

Aula 3 (14 de agosto). Ações Hamiltonianas, mapas momento. Redução de Marsden-Weinstein, exemplos.

Aula 4 (16 de agosto). Estruturas de Poisson, exemplos principais. Bivetores de Poisson.

Aula 5 (21 de agosto). Estruturas de Poisson regulares, folhas simpléticas. Estruturas de Dirac (definição e exemplos)

Seminário Rafael (23 de agosto). Simetrias de estruturas de Dirac, levantamentos de difeomorfismos, B-fields. B-fields de estruturas de Poisson.

Aula 7 (11 de setembro). Algebroides de Lie, exemplos principais. Estruturas de Dirac vistas como algebroides de Lie. Algebroide de Lie de uma estrutura de Poisson. IM-2-formas em algebroides de Lie. Relação entre IM-2-formas e estruturas de Dirac.

Aula 8 (13 de setembro). Estrutura de Cartan-Dirac em um grupo de Lie. Morfismos de Dirac (f-Dirac, b-Dirac).

Aula 9 (18 de setembro). Pullback e pushforward de estruturas de Dirac, exemplos. Folhas presimpléticas. Ações Hamiltonianas infinitesimais: ações de algebroides de Lie, ações induzidas por morfismos de Poisson.

Aula 10 (20 de setembro). Morfismos de Poisson vistos como mapas momento infinitesimais, realizações simpléticas, ações induzidas por morfismos de Dirac

Seminário Raúl (25 de setembro). Grupoides de Lie, exemplos e conceitos básicos.

Seminário Raúl (27 de setembro). Algebroide de Lie de um grupoide de Lie, exemplos.

Aula 13 (02 de outubro). Integração de variedades de Poisson, exemplo de uma variedade de Poisson não integrável. Grupoides simpléticos, exemplos.