Variedades Diferenciáveis

 

Descrição: Essencialmente, uma variedade diferenciável é um espaço topológico onde é possível calcular derivadas de funções reais. Esta disciplina consiste num estudo geométrico e topológico de variedades diferenciáveis. Também faremos uso de ferramentas algébricas para entender a topologia de uma variedade diferenciável e veremos como, em determinadas situações, a topologia impede a existência de certas estruturas geométricas. Não é assumido nenhum conhecimento prévio sobre variedades diferenciáveis, porém, um bom conhecimento de topologia é recomendável.


Aulas: Terças e Quintas 15:30-17:30 no Anfiteatro B do Centro Politécnico


Avaliação: Listas de exercícios (L), uma prova (P) e projeto final (PF). A nota final será calculada assim:


Nota Final= 0,5 x L + 0,25 x P + 0,25 x PF


Projetos Finais:


  1. -Fernando de Ávila: Teorema de estabilidade de Reeb local

  2. -Fernando Studzinski: Conexões e curvatura em fibrados principais

  3. -Dion Ross: Complexos diferenciais associados a EDP’s




Ementa: Os tópicos que estudaremos neste curso são:


Parte 1: Variedades Diferenciáveis


  1. 1. Definição de variedade diferenciável e exemplos.

  2. 2. Aplicações diferenciáveis

  3. 3. Variedades com bordo, cobordismo

  4. 4. Fibrado tangente e campos de vetores

  5. 5. Distribuições e Teorema de Frobenius: conceito de folheação regular

  6. 6. Transversalidade; Teorema de Withney e Interseção


Parte 2: Formas Diferenciais


  1. 1. Tensores

  2. 2. Fibrado exterior de uma variedade diferenciável

  3. 3. Definição de formas diferenciais; exemplos e representação local

  4. 4. Derivada exterior

  5. 5. Integração

  6. 6. Teorema de Stokes

  7. 7. Lema de Poincaré

  8. 8. Grupos de cohomologia de De Rham

  9. 9. Sequência de Mayer Vietoris; cálculo explícito de grupos de cohomologia

  10. 10. Dualidade de Poincaré

  11. 11. Fórmula de Künneth


Parte 3: Aplicações


Dependendo do interesse dos alunos, algumas aplicações possíveis incluem:


  1. 1. Noções básicas de grupos de Lie; exemplos, cohomologia de grupos de Lie.

  2. 2. Fibrados vetoriais e conexões; classes características

  3. 3. Teoria de Morse

  4. 4. Operador estrela de Hodge

  5. 5. e mais...



Referências: A literatura sobre o assunto é extensa. Sugerimos os seguintes textos:


  1. • R. Bott, L. Tu, Differential forms in algebraic topology, Springer Verlag

  2. • H. Cartan, Differential forms, Dover

  3. • J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer Verlag

  4. • M. Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, Publish or Perish INC, Edição 3


Listas:


  1. • Lista1  (Para ser entregue dia 28 de março em aula)

  2. • Lista2  (Para ser entregue dia 03 de maio)

  3. • Lista 3 (Para ser entregue dia 14 de junho)

  4. • Lista4: A lista 4 consiste em entregar o exercício proposto em aula sobre obstruções cohomológicas para uma variedade ser “null cobordant”.