Segundo Exercício-Programa: Las Begas

O dono de um cassino de ``Las Begas'', em ``ABUSA'', pretente fazer uma máquina jogadora de ``Seven & Half'' para jogar contra seus clients, digo, seus clientes. O dono do cassino, Mr. H. R. Whole, deseja que o jogador aposte contra a máquina (que faz as vezes da banca) como descreveremos abaixo.

Das regras do jogo

Daremos primeiramente a descrição do jogo como normalmente é jogado em ABUSA.

• Antes de qualquer sorteio, o apostador aposta $x$ dólas (pronuncia-se dó-las) e a banca ``banca'' a aposta, ou seja, faz uma aposta de mesmo valor. Ao final do jogo, o vencedor leva todo o dinheiro: $2x$ dólas.

• Tanto a banca quanto o apostador são genericamente chamados de jogador.

• Dizemos que a pontuação de um jogador é o total dos valores das cartas que foram sorteadas para este jogador. Vence aquele jogador cuja pontuação for maior. Em caso de empate, vence aquele que fez a pontuação com o menor número de cartas. Caso ainda haja empate a banca embolsa o dinheiro.

• A banca administra o baralho e sorteia, suponha que honestamente, as cartas. Primeiro, tantas cartas quanto o apostador quiser; em seguida, tantas cartas quanto a banca desejar para si.

• A cada novo sorteio, a carta sorteada é virada sobre a mesa de modo que o jogador e a banca a vejam.

• O baralho possui quarenta cartas -- é um baralho comum em que foram retiradas as cartas oito, nove e dez de qualquer dos quatro náipes usuais¹.

• O ás vale $1$, as figuras (rei, dama e valete) valem $\frac{1}{2}$, as demais cartas valem o número correspondente.

• Caso a pontuação de um jogador supere $7\frac{1}{2}$, situação em que se diz que o jogador estourou, o jogador perde automaticamente.

• Após um jogo, o vencedor leva os $2x$ dólas apostados e os jogadores podem reiniciar outro jogo caso o apostador assim o deseje.

Veremos agora um exemplo de quatro jogos:

jogo	jogador	cartas	pontuação	situação final
jogo 1	apostador	ás, 3, dama, rei, 2	$1+3+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+2 = 7$	apostador vence
	banca	4, 2, rei, 5	$4+2+\frac{1}{2}+5=11\frac{1}{2}$
jogo 2	apostador	ás, 3, 6	$1+3+6=10$	banca vence
	banca
jogo 3	apostador	ás, rei, 6	$1+\frac{1}{2}+6=7\frac{1}{2}$	banca vence
	banca	7, valete	$7+\frac{1}{2}$
jogo 4	apostador	7	$7$	apostador vence
	banca	7, ás	$7+1=8$

Das estratégias de cada jogador

Cada jogador possui um objetivo e uma estratégia. O objetivo de cada jogador é vencer. Quanto às estratégias não são muito mais complicadas.

A estratégia do apostador é pedir que a banca sorteie uma nova carta para ele enquanto achar necessário. O apostador sabe que precisa ter a maior pontuação possível, sem no entanto estourar. Assim, adotaremos uma estratégia simples: adotaremos um teto para o apostador. Se sua pontação corrente for menor que o teto, ele pede mais uma carta; caso contrário, ele diz à banca que não quer mais nenhuma carta e, caso o jogador não tenha estourado, ela passa a sortear cartas para si própria.

Quanto à estratégia da banca, é mais simples ainda. Se o apostador não tiver estourado, pois caso contrário a banca já terá ganho, ela vai sorteando cartas para si enquanto a pontuação obtida não lhe garantir a vitória sobre o apostador e houver ainda alguma chance de obter uma pontuação vencedora com um novo sorteio. Ao final, a banca terá feito uma pontuação que lhe garanta a vitória sobre o apostador, ou terá estourado.

Da simulação

O dono do cassino, Mr. Whole, decidiu contratar vocês para construir um programa que simule o jogo de suas máquinas de ``Seven n Half''. Como vimos antes, o apostador joga contra a máquina que por sua vez faz o papel da banca.

Por simplicidade², após sortear uma carta qualquer, o jogador em questão contabiliza os pontos da carta que foi sorteada para si e a carta é devolvida ao baralho. O mesmo é então honestamente embaralhado antes de um novo sorteio de uma carta, caso seja necessário. Assim o sorteio de uma segunda carta é completamente independente da carta sorteada na vez passada, digo, na última vez. Pode inclusive repetir-se a mesma carta.

Primeiro, o programa deve inicializar uma variável de nome passado com o valor real:

passado = 0.<seu número USP> /* exemplo: passado = 0.5262199 */

Depois deve ser feito o seguinte cálculo:

sorteio = ( 9821.0 * fabs( seno(passado) ) + 0.211327 ) (1)

passado = sorteio - floor( sorteio ) (2)

onde fabs(x) é uma função que devolve o módulo de x,

floor(x) é uma função que devolve o maior inteiro não maior que x,

$\parbox{14.5truecm}{\emph{seno}\texttt{(x)} denota o valor calculad... ... \texttt{x} {\bf USANDO} o método descrito ao final deste exercício-programa.}$

As fórmulas em (1) e (2) (nesta ordem) nos fornecem um número no intervalo $[0,1[$. Para obtermos um número inteiro entre 1 e 10 basta fazer a seguinte conta:

carta = floor( passado*10 + 1 ); (3)

Isto fornece-nos uma carta, sendo que $8$, $9$ e $10$ representam respectivamente uma dama, valete e rei. Observe que os náipes não interessam. Sempre que for desejado um sorteio de uma carta, o programa DEVE fazer as operações descritas nos passos (1), (2) e (3).

Observe que durante as repetições da (1) e (2) o valor da variável passado vai sendo alterado e portanto os valores sorteados para as cartas vão se alterando.

Mr. Hole, digo Mr. Whole, deseja saber se a sua máquina de Seven & Half alferirá bons lucros, qualquer que seja a estratégia adotada pelo apostador. Por isto, o dono do casino³ contratou o supra-sumo das turmas supra-citadas para fazer um programa em C que simule os jogos de suas máquinas. Seu programa deve testar as estratégias do apostador e da banca CONFORME descrito anteriormente, para todos os valores possíveis que teto possa assumir. Para cada valor de teto, de $0$ a $7\frac{1}{2}$, o programa deve simular $100$ jogos e computar em quantos jogos o apostador venceu. Chamemos de derrotas o número de vezes que o apostador venceu (portanto o número de vezes que a máquina de Mr. Hole Rule Whole perdeu). Para cada um destes testes com teto, o programa deve imprimir uma linha dizendo qual valor de teto está sendo considerado, quantas vezes o apostador venceu (o valor de derrotas) e em seguida tantos caracteres '*' quanto for o valor de derrotas. Se para teto=4.5 e teto=5 os valores encontrados de derrotas forem respectivamente 20 e 29, deverão ser impressas linhas como as abaixo:

4.5  20 ********************
5.0  29 *****************************

IMPORTANTE: Todo exercício-programa deve seguir as observações contidas nos folhetos distribuídos a parte. Nestes folhetos estão descritas as diretrizes para a forma de entrega do exercício, aspectos importantes na avaliação, etc. Para calcular os valores do seno(x) USE OBRIGATORIAMENTE a seguinte aproximação:

$$\mbox{seno}(x) = \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5... ...x^7}{7!} + \cdots + \frac{ (-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} + \cdots$$

incluindo na soma todos os termos enquanto

$$\frac{\vert x^{2k+1}\vert}{(2k+1)!} \geq 10^{-8}.$$