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    Exemplos     (1)   (2)   (3)   (4)   (5)   (6)   (7)

     

    (1) [Otimização; Conjectura; Demonstração]

    Existe alguma boa razão para que um favo de abelhas seja formado por formas hexagonais?

    favo.gif

    Conjectura:

    1.
    Com hexágonos regulares é possível "ladrilhar" o plano
    2.
    Dentre as figuras que "ladrilham" o plano, o hexágono é o "melhor" Dentre os polígonos regulares de mesmo perímetro é o que maximiza a área; ou Dentre os polígonos regulares de mesma área é o que minimiza o perímetro;

    (2) ["Convergência" e intuição: primeiro e último falham]
      Problema de convergência de funções no primeiro e no últimos: o problema é essencialmente o mesmo, "andar na horizontal e na vertical, não importando quantos sejam os degraus, se a altura é a e o comprimento é b, sempre andará a+b (e não (a+b)1/2)".


    img43

    (3) [Provar relações; Intuição]
      Mostrar (ou encontrar) as expressões das seguintes séries

    img45 img46
    I:  Série com problema de contagem II:  Série a partir de um problema visualmente atrativo (fractal) ou através de um interessante Falso-Paradoxo (Aquiles e a Tartaruga)   (siga o "link" para ver os exemplos motivadores)

    • Introdução de Séries a partir de problemas concretos e interessantes

    • Testes: no computador

    • Caso I:  Demonstrações -> trabalhar com áreas

    • Como processo de contagem

      img47
      img48

    • Relações entre as duas séries: img49

    • Caso II:  Demonstrações -> construção ou indução
      img50

    • Como problema de divisão de uma barra de chocolate

      img51             img52

    • Demonstração: construção ou indução img53

    (4) [Partilha "justa"]
      3 pessoas decidem se embriagar (com igual quantidade de álcool), porém apenas 2 delas dispõe de bebidas, A tem 5 litros e B tem 3 litros (de bebidas alcólicas). C dispõe de R$ 8,00 e os três concordam que este dinheiro pagaria pelas bebidas de C. Para ser justo, quanto C deveria pagar para A e para B?

     

     

     

    (5) [Problema de existência]
      Qual a relação entre as incógnitas x- e a, na figura abaixo?


    img54

     

     

     

    (6) [Problema de existência; Aplicação de Sistemas Lineares]
      Sabemos provar que   img57a   e   img57a =n2,   mas como encontrar a expressão ("fórmula fechada") para uma série genérica, digamos   img57c   ?

    Se a série tem como "fórmula fechada" um polinômio (como é o caso de toda série com termo ik), então é possível usar interpolação para obter esta fórmula. Uma maneira de fazer isto é via sistemas lineares (siga o "link" para ver como isto é feito).

     

     

     

    (7) [Indução; Recorrência; Problema das Torres de Hanói]
      Existem 3 torres (A, B e C), sendo que na torre A foram colocados 64 discos concêntricos. Deve-se mover todos os discos de A para C (usando também a torre B), porém nunca colocando um disco maior sobre um menor.   Supondo-se que cada movimento de disco gaste exatamente um segundo, quanto tempo levaria para se terminar esta tarefa?

    hanoi.gif

    Existe uma lenda associada a este problema, resumidamente: o mundo vai acabar quando esta tarefa for terminada.
    Experimente uma versão interativa do jogo clicando aqui.

    Resposta: 264 segundos >> 256 bilhões de anos.