Breve histórico

O conceito de Anel de Grupo é relativamente antigo. Aparece implicitamente no mesmo artigo de A. Cayley [ 8] que é considerado o primero trabalho na teoria abstrata de grupos [8] e foi introduzido explicitamente por T. Molien em 1897, mas veio a adquirir grande importância, por causa de suas aplicações à teoria de representações de grupos, a partir dos trabalhos de E. Noether, R. Brauer e I. Schur (veja, por exemplo, [5], [ 6 ] e [49]).

Em 1940 G. Higman [34] publicou o primeiro trabalho diretamente relacionado com o chamado problema do isomorfismo que, em toda sua generalidade, permanece aberto até hoje. A partir da década de sessenta o assunto passou a despertar grande interesse dos pesquisadores, particularmente depois da inclusão de questões sobre anéis de grupo na famosa lista de problemas em teoria de anéis de I. Kaplansky [37], [ 38]. Os anéis de grupo passaram então a ser pesquisados também como objetos de interesse da Teoria de Anéis. A área recebeu considerável estímulo da publicação de um primeiro artigo nessa direção de I.G. Connell [ 13] e da inclusão de capítulos sobre anéis de grupo nos livros de teoria de anéis de J. Lambeck [ 41] e P. Ribemboim [60]. A publicação de dois grandes textos sobre o assunto, em forma quase simultánea (veja [62] e [ 52 ]) com muito pouco material em comum, torna claro o quanto o assunto tinha se desenvolvido já a meados de década de setenta.

A relevância do assunto

A teoria dos anéis de grupo é um local de encontro de múltiples teorias algébricas. Por seu papel central no desenvolvimento da teoria de representações de grupos, fica claro o quanto esta última está relacionada com ela. Também são obvias as conexões diretas do assunto tanto com a teoria dos grupos quanto com a teoria de anéis, uma vez que todos os resultados em anéis de grupo estão intimamente conectados com fatos provenientes de ambas teorias. Como os anéis de grupo sobre os inteiros constituem um dos focos de particular atenção para os pesquisadores da área, a teoria algébrica de números também desempenha um papel fundamental no desenvolvimento do assunto. Finalmente, cabe observar que eles têm também um papel importante em outros ramos da matemática, como a álgebra homológica, a topologia algébrica e a K-teoria e que, nestes últimos anos, os anéis de grupo vêm sendo aplicados na teoria dos códigos corretores de erros, que são amplamente usados em transmissões digitais, permitindo a criação de novos códigos, ao mesmo tempo eficientes e confiáveis.

Para se ter uma idéia da importância dos anéis de grupo na pesquisa em álgebra, basta observar que alguns dos grandes algebristas da nossa época trabalharam em algum momento na área e deixaram nela contribuições fundamentais. Entre eles, podemos citar: S.A. Amitsur, H. Bass, E. Formanek, N.D. Gupta, I.N. Herstein, G. Higman, A.V. Jategaonkar, I. Kaplansky, W. May, K.W. Roggenkamp, W. Rudin e H.J. Zassenhaus. A estes nomes deve-se adicionar os de D.S. Passman e S.K. Sehgal que fizeram uma enorme contribuição para a área e são hoje os pesquisadores melhor conhecidos entre os especialistas do assunto. Também na ex União Soviética houve grande interesse pela área e pesquisadores de renome se interessaram por ela, como S.D. Berman, A.A. Bovdi, A.E. Zalesskii e A.V. Mikhalev.

Hoje em dia, as pesquisas na área são muito intensas. Uma consulta ao Mathematical Reviews, por exemplo, mostra que praticamente todos os meses são publicados diversos artigos nessas direções. Além disso, ela ocupa lugar importante nas diversas reuniões internacionais de teoria de grupos e de teoria de anéis. No ano passado, por exemplo, os anéis de grupo tiveram especial destaque nas reuniões sobre ``Group rings and representation theory'' em fevereiro, em Kananaskis, Canadá e quase a metade das palestras da conferência sobre ``Methods in representation theory'', realizada em maio de 1998 em Trento, Itália, foram dedicadas ao assunto. Algo semelhante aconteceu este ano, na reunião sobre ``Group rings and Hopf algebras'' realizada em abril em St. John's, Canadá. Também podemos mencionar a tradicional conferência sobre ``Groups and Group Rings'' organizada anualmente ne Europa Oriental (principalmente em Polônia) desde 1993.

No Instituto de Matemática da USP já foram organizados dois workshops internacionas sobre ``Group rings and related topics'', um em julho de 1995 e outro em fevereiro de 1998.

Alguns dos problemas principais na área

Sejam um anel com unidade e um grupo qualquer. Definimos como o conjunto de todas as combinações lineares formais do tipo

$\begin{displaymath}\alpha = \sum _{g \in G} a(g) g,\end{displaymath}$

onde $a(g) \in R$ e

exceto para um número finito de coeficientes.

Note que a definição implica que dois elementos $\alpha = \sum_{g \in G} a(g)g, \beta =\sum_{g \in G} b(g)g \in RG$ são iguais se e somente se $a(g) = b(g) , \forall g \in G$ .

Define-se a soma de elementos de por:

$\begin{displaymath}( \sum_{g \in G} a(g)g ) + ( \sum_{g \in G} b(g)g ) = \sum_{g \in G} ( a(g) + b(g) )g.\end{displaymath}$

Também, dados dois elementos $\alpha = \sum_{g \in G} a(g)g, \beta =\sum_{g \in G} b(g)g \in RG$ podemos definir seu produto por:

$\begin{displaymath}\alpha \beta = \sum_{g,h \in G} a(g)b(h) gh .\end{displaymath}$

É fácil verificar que, com as operações acima, é um anel, que é chamado do anel de grupo de sobre .

Tembém podemos definir um produto de elementos de por elementos de da seguinte forma:

$\begin{displaymath}\lambda ( \sum_{g \in G}a(g)g ) = \sum_{g \in G} (\lambda a(g))g.\end{displaymath}$

Novamente é fácil verificar que é um -modulo. Mais ainda, se é comutativo, segue que é uma álgebra sobre . Por causa disso, também é freqüente chamar de álgebra de grupo de sobre , neste caso.

A aplicação $\varepsilon :RG \rightarrow R$ dada por $\varepsilon (\sum_{g \in G}a(g)g ) = \sum_{g \in G}a(g)$ é um homomorfismo de anéis chamado de função de aumento de e desempenha um papel central na teoria.

Fundamentalmente por causa da conexão com a teoria das representações, é muito natural se perguntar até que ponto o conhecimento da estrutura e propriedades de um dado anel de grupo pode determinar a estrutura do grupo inicial. Mais formalmente, podemos nos colocar a seguinte pergunta:

Dados dois grupos e e um anel , será que a existência de um isomorfismo $RG\cong RH$ implica que $G\cong H$ ?

É facil demonstrar, por exemplo, que grupos abelianos finitos da mesma ordem, mesmo não sendo isomorfos, tem álgebras de grupo isomorfas sobre o corpo dos números complexos. Porém, em 1950 S. Perlis e C. Walker [ 53 ] provaram que grupos abelianos finitos estão de fato determinados pelo seu anel de grupo sobre o corpo dos números racionais. Pouco depois, em 1956, W.E. Deskins [ 15] demonstrou que p-grupos abelianos finitos estavam determinados pelos seus anéis de grupo sobre quaisquer corpos de característica . Houve também alguns resultados parciais sobre grupos não comutativos devidos a D.B. Coleman [ 11] e D.S. Passman [ 50] e [51 ].

Isto parecia sugerir que, para famílias específicas de grupos poder-se-ia determinar algum corpo adequado onde a resposta a questão tivesse sempre uma resposta positiva. Porém, em 1972, E. Dade [ 14 ] publicou um exemplo de dois grupos (que têm uma estrutura razoavelmente simples, já que são grupos metabelianos) não isomorfos, mas que têm anéis de grupo isomorfos sobre qualquer corpo !

Isto levou a centralizar as atenções sobre os anéis de grupo sobre os inteiros, formulando-se a seguinte conjectura para grupos finitos quaisquer:

(ISO) ${\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G \cong {\rm Z}\!\!\!{\rm Z}H \Longrightarrow G \cong H.$

Uma razão fundamental para voltar as atenções para esta questão é que pode-se demonstrar facilmente que se para dois grupos e tem-se que ${\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G\cong {\rm Z}\!\!\!{\rm Z}H$ , então também tem-se que $RG\cong RH$ para todo outro anel , com unidade. Resulta assim que esta hipótese é a mais forte que se pode formular, neste contexto.

Em apoio a esta conjectura sabia-se que em 1940, Graham Higman [ 34 ] tinha demonstrado que ela é verdadeira no caso dos grupos abelianos finitos e também no caso dos 2-grupos que são Hamiltonianos (isto é, quando todo subgrupo é normal). Até agora a conjectura, em toda sua generalidade, não está completamente resolvida, mas ela já foi demonstrada numa série de casos particulares.

Lembramos que um isomorfismo $\varphi :{\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G \rightarrow {\rm Z}\!\!\!{\rm Z}H$ diz-se um isomorfismo normalizado se, para todo elemento $\alpha \in {\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G$ tem-se que $\varphi (\alpha )=\varepsilon (\varphi (\alpha ))$ (ou, equivalentemente, se para todo elemento $g\in G$ tem-se que $\varepsilon (\varphi (g)) = 1$ ).

É fácil mostrar que se existe algum isomorfismo $\varphi :{\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G \rightarrow {\rm Z}\!\!\!{\rm Z}H$ então também existe um isomorfismo normalizado entre estes anéis.

Seja então $\varphi :{\rm Z}\!\!\!{\rm Z}H \rightarrow {\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G$ um isomorfismo normalizado. Note que se $\varphi (g) \in H$ , para todo elemento $g\in G$ , então o próprio $\varphi$ dá, por restrição, um isomorfismo entre os grupos e . Aliás, esta foi justamente a técnica empregada por Higman para demonstrar seus resultados que mencionamos na seção anterior. A grande dificuldade consiste precisamente em que, em geral, não temos maiores informações sobre os elementos da forma $\varphi (h)$ , $h\in H$ . Podemos, porém, afirmar algumas coisas. Note que, como $\vert H\vert=n$ , temos que para todo $h\in H$ e, como $\varphi$ é um morfismo, segue que também $\varphi (h)^n=1$ . Isto significa que $\varphi (h)$ , $h\in H$ , é sempre um elemento inversível, de ordem finita em ${\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G$ .

Seja um grupo finito. Definimos então:

$\begin{displaymath}{\cal U}({\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G) = \{\alpha \in {\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G \;\vert\; \alpha \mbox{ \'e invers\'\i vel} \},\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}{\cal U}_1({\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G) = \{ \alpha \in {\cal U}({\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G) \;\vert\; \varepsilon (\alpha )=1 \}.\end{displaymath}$

O primeiro conjunto é chamado de grupo das unidades de ${\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G$ e o segundo, que é um subgrupo normal do primeiro, de grupo das unidades normalizadas de ${\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G$ .

É natural se perguntar então que informações podemos obter sobre o grupo das unidades normalizadas de ${\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G$ uma vez que um conhecimento adequado deste grupo poderia nos levar a soluções do problema do isomorfismo.

No início da década de setenta, H.J. Zassenhaus formulou diversas conjecturas sobre as unidades e os isomorfismos normalizados de um anel de grupo. Nós as listamos a seguir, junto com o nome com que elas são conhecidas na atualidade.

(Aut) Seja $\theta :{\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G\rightarrow {\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G$ um automorfismo normalizado. Então existem uma unidade $\alpha \in {\bf Q}G$ e um automorfismo $\sigma \in Aut(G)$ tais que $\theta (g) = \alpha^{-1}\sigma (g) \alpha,\; \forall g\in G$ .
(ZC1) Seja $u\in {\cal U}({\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G)$ um elemento de ordem finita. Então existe uma unidade $\alpha \in {\bf Q}G$ tal que $\alpha^{-1}u\alpha \in G$ (neste caso, dizemos que é racionalmente conjugado a um elemento de ).
(ZC2) Seja ${\cal H}$ um subgrupo finito de ${\cal U}_1({\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G)$ tal que $\vert{\cal H}\vert = \vert G\vert$ . Então existe uma unidade $\alpha \in {\bf Q}G$ tal que $\alpha^{-1}{\cal H}\alpha = G$ .
(ZC3) Seja ${\cal H}$ um subgrupo finito de ${\cal U}_1({\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G)$ . Então existe uma unidade $\alpha \in {\bf Q}G$ tal que $\alpha^{-1}{\cal H}\alpha \subset G$ .

Como existem contraexemplos para (ZC2) é natural procurar versões mais fracas desta conjectura. A seguinte versão foi introduzida em [16 ].

(p-ZC) Seja ${\cal H}$ um -subgrupo finito de ${\cal U}_1({\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G)$ . Então existe uma unidade $\alpha \in {\bf Q}G$ tal que $\alpha^{-1}{\cal H}\alpha \subset G$ .

Esta conjectura afirma, em particular, que todo -subgrupo de Sylow de ${\cal U}_1({\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G)$ é racionalmente conjugado a um -subgrupo de , o que significaria que vale um resultado do estilo do Teorema de Sylow para ${\cal U}_1({\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G)$ .

Podem-se mencionar ainda outras questões importantes neste contexto. Uma pergunta natural é determinar como se localiza um dado grupo dentro do grupo de unidades de ${\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G$ ; mais precisamente, determinar o normalizador de em ${\cal U}({\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G)$ . Obviamente, o centro ${\cal Z}({\cal U}({\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G))$ e o próprio normalizam . A chamada conjectura do normalizador afirma que eles determinariam todo o normalizador. Mais precisamente:

$\begin{displaymath}{\cal N}_{{\cal U}({\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G))}(G) = G.{\cal Z}({\cal U}({\rm Z}\!\!\!{\rm Z}G)).\end{displaymath}$

A pesquisa, desde a década de setenta, tem mostrado que o grupo das unidades de um anel de grupo, tem uma estrutura muito complicada. Isto se deve, entre outras coisas, ao fato de que, em muitos casos, êle contém um subgrupo livre de pôsto 2. Uma questão ainda em aberto é decidir completamente a questão da existência de subgrupos livres e determinar geradores concretos para estes subgrupos.

Existem diversas generalizações do conceito de anel de grupo, algumas das quais já foram amplamente estudadas num passado recente, como os anéis ``skew'' de grupo, os produtos cruzados, os anéis de semigrupo, as extensões centralizantes, os anéis de Frobenius e quase-Frobenius e as álgebras de Hopf.

Uma generalização interessante é o conceito de anel de loop que é o equivalente não associativo dos anéis de grupo. Este conceito foi introduzido por H. Bruck em 1944 [ 7 ] como uma forma de se construir exemplos de anéis não associativos e o assunto ganhou força quando E.G. Goodaire iniciou, em 1983 [ 28 ] o estudo de uma classe que satisfaz identidades importantes: as leis alternativas. A pesquisa em anéis de loops alternativos e também uma área ativa, na atualidade; a referência básica na área é [ 29].

Também gostariamos de mencionar que recentemente, motivado por
questões relativas a C -álgebras, R. Exel [ 18] e J.C. Quigg e I. Raeburn [ 59 ] introduziram independentemente representações parciais de grupo e, naturalmente relacionados com estas, os anéis de grupo parciais, que apresentam propriedades interessantes, particularmente no que diz respeito ao problema do isomorfismo. Em particular, ele observou que o grupo abeliano de ordem 4 é determinado a menos de isomorfismos pela sua álgebra de grupo parcial sobre os complexos.

Finalmente, deve-se observar que, no caso mais simples, de um anel de grupo de um grupo finito sobre um corpo cuja característica não divide a ordem do grupo dado, é bem sabido que a álgebra de grupo é isomorfa a uma soma direta de anéis de matrizes com coeficientes em anéis com divisão. Por causa disso, a resolução de muitos problemas na área começa pelo estudo do problema em apreço, no contexto dos anéis com divisão.

Por exemplo, a questão da existência de subgrupos livres no grupo das unidades de um anel de grupo motivou uma conjectura análoga para anéis com divisão, devida a A.Lichtman [ 43].

(G) O grupo multiplicativo de um anel com divisão não comutativo contém um subgrupo livre de pôsto 2.

Existe uma conjectura semelhante, devida a L. Makar-Limanov [ 47].

(A) Um anel com divisão, finitamente gerado, de dimensão infinita sobre seu centro , contém uma -álgebra livre de pôsto 2.

Ambas as conjecturas podem se combinar, de forma mais ambiciosa, na seguinte:

(AG) Um anel com divisão, finitamente gerado, de dimensão infinita sobre seu centro , contém a -álgebra de grupo de um grupo livre de pôsto 2.

Estado atual dos conhecimentos

Inicialmente, vamos considerar a conjectura do isomorfismo. Há pouco mais de um ano foi anunciada a existência de um contraexemplo para esta conjectura, devido a Hertweck (veja [ 39 ]) mas ela não foi ainda publicada. Mesmo que este anuncio seja confirmado, fica ainda, como problema relevante, a questão de decidir para que famílias de grupos a conjectura é verdadeira. Ela já foi provada nos seguintes casos.

Os grupos metabelianos finitos [ 65].
Grupos simétricos e grupos alternados.
Grupos finitos que são grupos de unidades de algum anel, por exemplo, os grupos do tipo , onde indica um corpo finito [ 61].
Grupos nilpotentes finitos [ 66].

As conjecturas de Zassenhaus foram objeto de atenção a partir da própria época de sua formulação e a pesquisa nessa direção tem sido intensa.

Damos, a seguir, uma lista dos grupos para os quais vale (ZC1) .

(I. Hughes e K.R. Pearson [ 35]).
(C. Polcino Milies [ 54 ]).
Grupos metacíclicos da forma $G=<x> \begin{picture}(10,10) \put(0,0){$\times$} \put(7.5,0){\line(0,1){5}} \end{picture} <y>$ onde $o(x)=p,\;o(y)=q$ com $p,\;q$ primos diferentes (A.K, Bhandari e I.S. Luthar [ 2]).
Grupos metacíclicos da forma $G=<x> \begin{picture}(10,10) \put(0,0){$\times$} \put(7.5,0){\line(0,1){5}} \end{picture} <y>$ onde (C. Polcino Milies, J. Ritter e S.K. Sehgal [ 57].)
(N.A. Fernandes [19 ]).
(I.S. Luthar e I.B.S. Passi [ 44]).
(I.S. Luthar e P. Trama [ 45]).
Grupos da forma $G=<x> \begin{picture}(10,10) \put(0,0){$\times$} \put(7.5,0){\line(0,1){5}} \end{picture} H$ onde é um grupo abeliano tal que $mdc(o(x),\vert H\vert)=1$ (I.S. Luthar e P. Trama [ 46]).

Já a validade da conjectura (ZC3) foi estabelecida para os seguintes grupos.

Grupos nilpotentes (A. Weiss [ 66]).
Grupos metacíclicos da forma $G=<x> \begin{picture}(10,10) \put(0,0){$\times$} \put(7.5,0){\line(0,1){5}} \end{picture} <y>$ onde (A. Valenti [64 ]).
e o grupo conhecido como binary octahedral (M. Dokuchaev e S.O. Juriaans [16]).
, e (M. Dokuchaev, S.O. Juriaans e C. Polcino Milies [ 17]).

Por outro lado, até a presente data, a conjectura (p-ZC) foi estabelecida para as seguintes famílias de grupos.

Grupos nilpotentes-por-nilpotentes.
Grupos solúveis tais que todo p-subgrupo de Sylow é abeliano ou quatérnio generalizado.
Grupos solúveis cujas ordens não são divisíveis pela quarta potência de um primo.
Grupos de Frobenius em geral para e grupos de Frobenius que não têm imagem homomorfa a , no caso .

Os primeiros três resultados foram estabelecidos por M. Dokuchaev e S.O. Juriaans [16 ] e o último por M. Dokuchaev, S.O. Juriaans e C. Polcino Milies [ 17].

Em relação à conjectura do normalizador, ela foi provada em 1964 por D.B. Coleman [ 12 ] para p-grupos finitos. Depois, S. Jackowski e Z. Marciniak mostraram, em 1987, que ela vale para grupos cujo 2-subgrupo de Sylow é normal (e, em particular, para grupos de ordem ímpar) [ 23 ]. Muito recentemente houve um novo progresso; Y. Li, M.M. Parmenter e S.K. Sehgal mostraram que ela vale também para grupos tais que a intersecçào dos seus subgrupos não normais é não trivial [42 ].

A existência de subgrupos livres no grupo das unidades de um anel de grupo finito, foi estabelecida por B. Hartley e P.F. Pickel [ 33] sobre os inteiros e por J.Z. Gonçalves sobre corpos em [ 21] e [ 22]. Recentemente, Z. Marciniak e S.K. Sehgal [ 48], J.Z. Gonçalves e D.S. Passman [ 25] e J.Z. Gonçalves, A. Mandel e M. Shirvani [ 24] mostraram como gerar grupos livres, a partir de unidades razoavelmente bem conhecidas, [48 ].

No que diz respeito aos anéis de loop alternativos, muitos resultados importantes foram obtidos na última década, como a descrição dos RA loops, i.e., dos loops cujas álgebras de loops sobre qualquer anel de caracterstica diferente de 2 é alternativa (O. Chein e E.G. Goodaire [9], a validade do problema do isomorfismo sobre os inteiros e a conjectura (Aut) (E.G. Goodaire e C. Polcino Milies [ 30], a validade das conjecturas de Zassenhaus (E.G. Goodaire e C. Polcino Milies [31 ], [ 32]), a classificação dos AR loops finitos indecomponíveis (E. Jespers, G. Leal e C. Polcino Milies [ 36 ]), etc.

Recentemente, foi publicado um livro [ 29] que contém uma exposição sistemática do estado atual dos conhecimentos na área.

Em relação à conjectura mais ambiciosa sobre anéis com divisão, a conjectura (AG), resultados positivos recentes de L.M.V. Figueiredo, J.Z. Gonçalves e M. Shirvani [ 20] e de J.Z. Gonçalves e M. Shirvani [ 26] e [27] permitem abrigar esperanças quanto a sua validade.

O Projeto de Pesquisa

O grupo de professores do IMEUSP que trabalha nesta área vem realizando pesquisas em conjunto, entre si e com colaboradores do exterior, há muito tempo e pretende continuar este trabalho em diversas direções.

Pretende-se continuar a pesquisa sobre a estrutura do grupo das unidades de um anel de grupo sobre os inteiros e, em particular, a validade da conjectura de Zassenhaus bem como suas possíveis generalizações a grupos de unidades de ordens. No momento, membros do grupo estão estudando estes problemas no contexto dos grupos de Frobenius.
Um elemento num anel diz-se um FC-elemento se a sua classe de conjugação no grupo das unidade de é finita. Existem vários resultados sobre a existência e propriedades destes elementos, no contexto dos anéis de grupo ([ 10], [55 ], [56]) e também para anéis de grupo ``twisted'' ([ 4 ]). Está em andamento uma pesquisa que pretende estender alguns destes resultados ao contexto bem mais geral de álgebras de dimensão finita, via considerar o grupo das unidades com um grupo algébrico com a topologia de Zariski. Esta direção de trabalho permitirá uma utilização de métodos da geometria algébrica num novo contexto.
Em relação aos anéis de loop alternativos, membros do grupo mantém contato com o Prof. E.G. Goodaire, da Memorial University of Newfoundland, que visita regularmente o IMEUSP. Nesta direção, pretende-se aprofundar as pesquisas sobre a estrutura do loop de unidades do anel de loop, que é um loop de Moufang. Encontram-se práticamente concluídas pequisas sobre a solubilidade deste loop e sobre a existência de complementos normais para um RA loop no loop de unidades. Ambos trabalhos estão sendo preparados para publicação. O próximo passo será estudar condições para que o loop de unidades seja de expoente finito sobre seu centro.
Na direção dos anéis de grupo parciais, o problema que deverá ser atacado no futuro próximo é o de elucidar o problema do isomorfismo no contexto que, no estado atual da pesquisa, parece mais natural: anéis de grupo parciais de grupos abelianios, sobre domínios em geral.
Também espera-se levar adiante o estudo das conjecturas sobre grupos de unidades de anéis com divisão. O próximo passo seria estudar anéis com divisão cujo grupo de unidades é gerado sobre seu centro por um grupo metabeliano, o que constitui um grande desafio.
Recentemente, tem havido um grande interesse pelo estudo dos grupos de unidades de anéis de grupo modulares (veja, a esse repeito, o ``survey'' de A.A. Bovdi [ 3 ]). Vários membros do grupo estão pesquisando problemas nesta direção, relacionadas com a estrutura do subgrupo das unidades simétricas, com um possível equivalente da conjectura de Zassenhaus neste contexto e com as possíveis ordens de classes de conjugação.
Finalmente, pretendemos introduzir gradativamente nas nossas considerações outras generalizações de anéis de grupo como os anéis de Frobenius e quase-Frobenius e as álgebras de Hopf.

Bibliografia

1: S.D. Berman, On the equation in an integral group ring, Ukrain. Math. Zh. , 7 (1955), 253-261.
2: A.K. Bhandari e I.S. Luthar, Torsion units of integral group rings of metacyclic groups, J. Number Theory, 17 (1983), 170-183.
3: A.A. Bovdi, The group of units of a group algebra of characteristic p, Publ. Math (Debrecen), 52, 1-2 (1998), 193-244.
4: V. Bovdi, Twisted Group Rings whose Units form an FC group, Can. J. Math, 47, 2 (1995), 274-289.
5: R. Brauer, Über Systeme Hypercomplexer Zahlen, Math. Z., 30 (1929), 79 - 107.
6: R. Brauer e E. Noether, Über minimale Zerfällungskörper irreduzibler Darstellungen, Sitz. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, (1927), 221 - 228.
7: R.H. Bruck, Some Results in the Theory of Linear Non-Associative Algebras, Trans. Amer. Math. Soc., 56(1944), 141 - 199.
8: A. Cayley, On the Theory of Groups as Depending on the Symbolic Equation $\theta^n =1$ , Phil. Mag., 7(1854), 40 - 47.
9: O. Chein e E. G. Goodaire, Loops whose Loop Rings are Alternative, Comm. in Algebra, 14 (1986), 293-310.
10: S. P. Coelho e C. Polcino Milies, Finite Conjugacy in Group Rings, Comm. in Algebra, 19, 3 (1991), 981-995.
11: D.B. Coleman, Finite groups with isomorphic group algebras, Trans. Amer. Math. Soc., 105 (1962), 1-8.
12: D.B. Coleman, On the modular group ring of a p-group, Proc. Amer. Math. Soc., 15 , 4 (1964), 511-514.
13: I.G. Connell, On the Group Ring, Can. J. of Math., 15 (1963), 650 - 685.
14: E.C. Dade, Deux groups finis ayant la même algebre de group sur tout corps, Math. Z., 119 (1971), 345-348.
15: W.E. Deskins, Finite abelian groups with isomorphic group algebras, Duke Math. J. 23 (1956), 35-40.
16: M.A. Dokuchaev e S.O. Juriaans, Finite Subgroups in Integral Group Rings, Canad. J. Math., 48, (6) (1996), 1170-1179.
17: M.A. Dokuchaev, S.O. Juriaans e C. Polcino Milies, Integral Group Rings of Frobenius groups and the Conjectures of H.J. Zassenhaus, Comm. in Algebra, 25, 7 (1997), 3211-2325.
18: R. Exel, Partial actions of groups and actions of inverse semigroups, (preprint).
19: N. Fernandes, Torsion Units in the integral group ring of , Bol. Soc. Bras. Mat., 18, 1(1987), 1-10.
20: L.M.V. Figueiredo, J.Z. Gonçalves e M. Shirvani, On free group algebras on certain division rings, J. of Algebra, 185 (1996), 298-313.
21: J.Z. Gonçalves, Free subgroups of units in group rings, Canad. Math. Bull., 27 (1984), 365-370.
22: J.Z. Gonçalves, Free subgroups in subnormal subgroups and the residual nilpotence of the group of units of group rings, Canad. Math. Bull., 27 (1984), 365-370.
23: J.Z. Gonçalves e A. Mandel, Are there free groups in division rings?, Israel J. Math., 53(1986), 69-80.
24: J.Z. Gonçalves, A. Mandel e M. Shirvani, Free products of units in algebras I, J. of Algebra, 214, 1 (1999), 307-316.
25: J.Z. Gonçalves e D.S. Passman, Construction of free subgroups in the group of units of modular group algebras, Comm. in Algebra , 24, 13 (1996), 4211-4215.
26: J.Z. Gonçalves e M. Shirvani, On free group algebras in division rings with uncountable center, Proc. A.M.S., 124, 3 (1996), 685-687.
27: J.Z. Gonçalves e M. Shirvani, Free group algebras in the field of fractions of differential polynomial rings and enveloping algebras, J. of Algebra, 204 (1998), 372-385.
28: E.G. Goodaire, Alternative Loop Rings, Publ. Math. Debrecen, 30 (1983), 31-38.
29: E.G. Goodaire, E. Jespers e C. Polcino Milies, Alternative Loop Rings , North Holland Math. Studies 184, Elsevier, Amsterdam, 1996.
30: E. G. Goodaire e C. Polcino Milies, Isomorphisms of Integral Alternative Loop Rings, Rend. Circ. Mat. Palermo, XXXVII (1988), 126-135.
31: E.G. Goodaire e C. Polcino Milies, Torsion Units in Alternative Loop Rings, Proc. Amer. Math. Soc., 107 (1989), 7-15.
32: E.G. Goodaire e C. Polcino Milies, Finite subloops of Units in an Alternative Loop Ring, Proc. Amer. Math. Soc., 124, 4 (1996), 995-1002.
33: B. Harley e P.F. Pickel, Free subgroups in the unit groups of integral group rings, Canad. J. of Math, 32, 6, 1342-1352, 1980.
34: G. Higman, The units of group rings, Proc. London Math. Soc, 2, 46 (1940), 231-248.
35: I. Hughes e K.R. Pearson, The group of units of the integral group ring ${\rm Z}\!\!\!{\rm Z}S_3$ , Canad. Math, Bull., 15 (1972), 529-534.
36: E. Jespers, G. Leal e C. Polcino Milies, Classifying indecomposable RA loops, J. of Algebra, 176 (1995), 5057-5076.
37: I. Kaplansky, Problems in the Theory of Rings, Nas - NRC Publ. 502, Washington, 1957, pp. 1 - 3.
38: I. Kaplansky, ``Problems in the Theory of Rings'' revisited, Amer. Math. Mothly, 77 (1970), 445 - 454.
39: W. Kimmerle, On the Normalizer Problem, in Algebra: some recent advances , ed. by I.B.S. Passi, Hindustan Book Agency, New Dehli, 1999, pp. 89-98.
40: L. Klinger, Construction of a counterexample to a conjecture of Zassenhaus, Commun. Algebra19 (1993), 2303-2330.
41: J. Lambeck, Lectures on Rings and Modules, Blaisdell, Toronto, 1966.
42: Li Y., Parmenter, M.M. e Sehgal, S.K., On the normalizer property for integral group rings,Comm. in Algebra, a aparecer.
43: A.I. Lichtman, On subgroups of the multiplicative group of skew fields, Proc. A.M.S., 63 (1977), 15-16.
44: I.S. Luthar e I.B.S. Passi, Zassenhaus conjecture for , Proc. Indian Acad. Sci99 (1) (1989), 1-5.
45: I.S. Luthar e P. Trama, Zassenhaus conjecture for , (preprint).
46: I.S. Luthar e P. Trama, Zassenhaus conjecture for certain integral group rings, J. Indian Math. Soc., 55 (1990), 199-212.
47: L. Makar-Limanov, On free subobjects of skew fields, in Methods in Ring Theory, D. Reidel, Boston, 1984, pp. 281-285.
48: Z. Marciniak e S.K. Sehgal, Constructing free subgroups of integral group rings units, Proc. Amer. Math. Soc., a aparecer.
49: E. Noether Hypercomplexe Grössen und Darstellungtheorie, Math. Z., 30 (1929), 641 - 692.
50: D.S. Passman, The group algebras of groups of order over a modular field, Michigan Math. J., 12 (1965), 405-415.
51: D.S. Passman, Isomorphic groups and group rings, Pacific J. Math. , 14 (1965), 561-583.
52: D.S. Passman, The algebraic Structure of Group Rings, Wiley, Interscience, New York, 1977.
53: S. Perlis e G.L. Walker, Abelian Group Algebras of Finite Order, Trans. Amer. Math. Soc. 68 (1950), 420-426.
54: C. Polcino Milies, The Group of Units of the Integral Group Ring $ZD_{4}$ , Bol. Soc. Brasileira de Mat., 4, 2, (1973) 85 - 92.
55: C. Polcino Milies, Group Rings whose Units form an FC Group, Archiv der Math., 30 (1978), 380-384.
56: C. Polcino Milies e S.K. Sehgal, FC elements in group rings, Comm. in Algebra, 9 (1981), 1285-1293.
57: C. Polcino Milies, J. Ritter e S.K. Sehgal, A Conjecture of Zassenhaus on Torsion Units of Integral Group Rings II, Proc. A.M.S., 97 , 3(1986) 201 - 206.
58: C. Polcino Milies e S.K.Sehgal, Torsion Units of Integral Group Rings of Metacyclic Groups, J. of Number Theory, 19, 1(1984) 103 - 114.
59: J.C. Quigg and I. Raeburn, Characterization of crossed products by partial actions, J. Operator Theory, 37 (1997), 311-340.
60: P. Ribemboim, Rings and Modules, Interscience, New York, 1969.
61: R. Sandling, Group rings of circle and unit groups, Math. Z. , 140 (1974), 195-202.
62: S.K. Sehgal, Topics in Group Rings, Marcel Dekker, New York, 19978.
63: S.K. Sehgal,Units in Integral Group Rings, Longman's, New York, 1996.
64: A. Valenti, Torsion Units in Integral Group Rings, Proc. Amer. Math. Soc. 120 (1) (1994), 1-4.
65: A. Whitcomb, The group ring problem. Ph.D. Thesis, University of Chicago, 1968.
66: A. Weiss, Rigidity of p-adic torsion, Ann. Math.127 (1988), 317-332.