Lista de exercícios de MAP2321 __________________________________________________________________________________________________________________
Entregar a lista resolvida em 7 dias
1. Sejam : [0, 1]
e
: [0, 1]
duas curvas diferenciáveis que se cruzam num ponto
z0 num ângulo
0. Seja agora f :
uma função analítica num domínio
que comtém as
duas curvas. Então as curvas diferenciáveis f o
e f o
cruzam-se em f(z0) formando entre si
um ângulo
0.
2. Seja um domínio complexo e z0, z1, dois pontos de
. Um caminho de z0 a z1 é uma
curva
: [0, 1]
tal que
(0) = z0 e
(1) = z1. Dizemos que dois caminhos,
e
entre z0 e
z1 são homotópicos se existe uma aplicação contínua H : [0, 1] × [0, 1]
tal que
H(0,t) =
(t) e H(1,t) =
(t) e H(a,t) é um caminho de z0 a z1 para todo a
[0, 1].
Mostre que esta é uma relação de equivalência. Considere agora
=
\{-2, 2} e
os pontos z0 = -i e z1 = i. Esboce o máximo caminhos possíveis que não sejam
homotópicos entre estes pontos, ou seja, um representante de cada classe de equivalência
acima.
3. Ache uma parametrização para uma curva simples e fechada em
cuja imagem é um
quadrado com comprimento do lado 2 e centro em 0. Considere a função complexa
Qual o maior domínio onde a função f é analítica. Calcule a integral:
4. Ache a integral das seguintes funções sobre a circunferência unitária parametrizada no sentido anti-horário.
5. Dizer quais são todos os resultados possíveis da integral
onde C é uma curva simples fechada parametrizada no sentido anti-horário.