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\newcommand{\quest}{\stepcounter{questao}{\bf \arabic{questao}.\ }}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
  \large \bf \sf Segunda Lista de Lógica Fuzzy - B
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
  \bf Cursos de Verão IME-USP - 2002
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\quest Represente num gráfico os seguintes subconjuntos fuzzy definidos no universo $U=[0,3]$.
\begin{equation}
  \label{eq:01}
  A(x) = \left\{ 
      \begin{array}[h]{lcl}
x & \text{ se } & 0\leq x\leq 1 \\
2-x& \text{ se } & 1\leq x\leq 2 \\
0 & \text{ se } & 2\leq x\leq 3
      \end{array}\right.
\end{equation}

\begin{equation}
  \label{eq:02}
  B(x) = \left\{ 
      \begin{array}[h]{lcl}
0 & \text{ se } & 0\leq x\leq 1 \\
x-1& \text{ se } & 1\leq x\leq 2 \\
3-x & \text{ se } & 2\leq x\leq 3
      \end{array}\right.
\end{equation}

\begin{equation}
  \label{eq:03}
  C(x)=0.75
\end{equation}

Agora dê as fórmulas e represente graficamente os seguintes conjuntos fuzzy:

\begin{equation}
  A \vee B, \hspace{1cm} A \wedge B
\end{equation}

\begin{equation}
  (A \vee B)^{\prime}, \hspace{1cm} A^\prime  \wedge B^\prime
\end{equation}

\begin{equation}
  (A \vee C) \wedge B^\prime \vee (C \vee B)^\prime
\end{equation}


\vspace{0.3cm}

\quest Seja $L_{1/2}=\{ 0, 1/2, 1\}$ com as duas operaçôes $\vee$ e $\wedge$
definidas como $a\vee b= \max (a,b)$ e $a\wedge b= \min (a,b)$.
Complete a tabela dos operadores:

\begin{tabular}[h]{c||c|c|c}
$\vee$ & $0$ & $1/2$ & $1$ \\ \hline \hline
$0$ &  &  &   \\ \hline
$1/2$ &  &  &  \\ \hline
$1$ & & & 
\end{tabular} \hspace{1cm} \begin{tabular}[h]{c||c|c|c}
$\wedge$ & $0$ &$1/2$ & $1$ \\ \hline \hline
$0$ &  &  &   \\ \hline
$1/2$ &  &  &  \\ \hline
$1$ & & & 
\end{tabular} 

Verifique que este conjunto é um reticulado.

Discuta um pouco a diferença dos conjuntos fuzzy com valores em $[0,1]$ e em
$L_{1/2}$.

\vspace{0.3cm}

\quest Considere a função $f:[0,2] \to [1,5]$ dada por $f(x)=1+x^2$.
Seja $A:[0,2] \to [0,1]$ o subconjunto fuzzy dado por
\begin{equation}
  \label{eq:04}
  A(x) = \left\{ 
      \begin{array}[h]{lcl}
x & \text{ se } & 0\leq x\leq 1 \\
2-x& \text{ se } & 1\leq x\leq 2 
      \end{array}\right.
\end{equation}
Usando o princípio da extensão ache $\hat{f}(A):[1,5] \to [0,1]$.

\vspace{0.3cm}

\quest Sejam $A$ e $B$ conjuntos fuzzy e $\alpha \in [0,1]$, então
vale \[ [(A\vee B)]^{\alpha} = [A]^\alpha \cup [B]^{\alpha}\] e 
\[  [A\wedge B]^{\alpha} = [A]^{\alpha} \cap [B]^{\alpha}\]

\vspace{0.3cm}

\quest Seja o conjunto universo dado por $U=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \leq 2\}=$ círculo de raio 2. Verifique que a função definida em U $A(x,y)=\frac{x^2}{x^2+y^2}$ define um conjunto fuzzy em $U$, e ache os $\alpha$-níveis:
$[A]^{1/2}$ e $[A]^{1}$.
 
\end{document}

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%%% TeX-master: t
%%% End: 

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%%% TeX-master: t
%%% End: 
