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Sistemas dinâmicos são sistemas que se movem quando um tempo discreto ou contínuo passa. Pode ser a evolução de uma população de bactérias ou o movimento de um astro no espaço sideral. A nossa ambição é descrever esta evolução ou movimento que compõe um conjunto de órbitas que tecnicamente chamamos de retrato de fase. A descrição quantitativa precisa em geral não é factível e este fato levou Poincaré a criar a teoria qualitativa. Esta teoria fascinante evoluiu bastante e hoje envolve aspectos topológicos, combinatórios, algébricos, analíticos, métricos, geométicos, probabilísticos, estatísticos e pode estar relacionada a situações mais aplicadas como as mencionadas acima.
Existem muitos tipos diferentes de dinâmica unidimensional dependendo do espaço ambiente (espaço de fase) e de como os pontos evoluem. Trata-se de um assunto muito rico e moderno que tem nas suas raízes grandes matemáticos como Poincaré, Fatou e Julia. Esta riqueza atrai constinuamente a atenção de brilhantes pesquisadores.
Dinâmica unidimensional é interessante por si só mas além disto surge em ciências mais aplicadas como física, economia, biologia, meteorologia, etc. Também mencionamos que freqüentemente ela é o coração de dinâmicas em dimensões maiores via transformações de Poincaré ou como no caso dos atatores de Henon e Lorenz. As vezes também os conceitos, técnicas e questões originalmente unidimensionais são fontes de inspiração para outras situações como é caso dos homeomorfismos bidimensionais para os quais definem-se conjuntos de rotação ou procuram-se relações entre órbitas periódicas.
A dinâmica de polinômios na reta real (dimensão real 1) ou no plano complexo (dimensão complexa 1) vem desafiando a mente humana a séculos. A mesma está incluida nos casos em que estamos especialmente interessados, são casos em que o tempo é discreto e a evolução do sistema é regida pela iteração de uma aplicação do intervalo ou do círculo. Assumimos que esta aplicação é contínua e monótona por partes em relação às orientações usuais dos espaços ambiente em questão. No caso do intervalo, para que a dinãmica seja interessante é necessário que a aplicação não seja injetora mas, no círculo mesmo os difeomorfismos já podem possuir dinâmicas bem ricas. A falta de injetividade ou a presença de extremos locais na aplicação cria muitos problemas desafiadores pois nesta situação a ordem do espaço abiente não é preservada e além disto regiões contrativas próximas destes extremos interagem com regiões expansivas longe dos mesmos criando uma competição que resulta em questões de várias naturezas.
Os homeomorfismos do círculo que possuem pontos periódicos geram dinâmicas bem simples. Dentre estes estão aqueles que invertem orientação. Um homeomorfismo do círculo que preserva orientação e não possui pontos periódicos gira todos os pontos em um mesmo sentido e o número de rotação definido por Poincaré no fim do século XIX é uma medida do ângulo de giro. A menos de explosões ou implosões de órbitas dois destes homeomorfismos geram dinâmicas que são idênticas do ponto de vista topológico. Numa linguagem mais precisa estas explosões são intervalos cuja órbita é constituída de intervalos dois a dois disjuntos e são chamados intervalos errantes. Neste contexto a existência ou não destes intervalos é uma questão crucial e depende da classe de diferenciabilidade e da presença de pontos críticos. No caso em que não existem intervalos errantes as órbitas são densas em todo o círculo e então o foco de atenção se volta para questões métricas mais finas como por exemplo: existência de conjuntos errantes de medida positiva, relações entre propriedades aritiméticas do número de rotação e comportamentos dinâmicos, interação de vários homeomofismos simultaneamente, etc.
No caso dos endomorfismos contínuos do intervalo a presença de extremos locais (ou pontos críticos no caso diferenciável) torna a dinâmica correspondente mais complexa, a ordem do intervalo não é mais preservada dando orígem a órbitas com comportamemtos muito distintos o que não acontece no caso de homeomorfismos. Alguns comparam as dificuldades que o aumento do número de extremos locais traz para a dinâmica de um endomorfismo do intervalo às dificuldades que o aumento de dimensão do espaço ambiente traz para a dinâmica de homeomorfismos.
Principalmente os sistemas dinâmicos unidimensionais são muito bem adequados a projetos de iniciação científica pois possibilitam que os seus executores cheguem rapidamente a relevantes questões matemáticas. Em geral não exigem pré-requisitos tecnicamente complicados ou muito abstratos e propiciam situações mais aplicadas ou mais teóricas que permitem um primeiro contato com pesquisa científica e uma boa formaçao. A isto soma-se o fato de que a área de sistemas dinâmicos no Brasil é bastante desenvolvida, prestigiada e conta com excelentes grupos de pesquisa os quais mantêm intenso intercâmbio científico nacional e internacional.
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