Jean-Guillaume Eon

Instituto de Química, Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)

Programa

O curso visa apresentar as ferramentas de teoria de grafos que foram desenvolvidas para estudar questões de topologia em cristalografia estrutural. O conceito-chave é o de rede cristalográfica, definida como um grafo 3-conectado localmente finito cujo grupo de automorfismos é isomórfico a um grupo de espaço em dimensão n. As redes cristalográficas são melhor descritas por, ou derivadas de, seus grafos quocientes valorados, ou grafos de voltagem. Embora os dois objetos sejam equivalentes, as relações entre a rede infinita e seu quociente finito não são imediatas. Vários exemplos serão examinados para ilustrar como simetria e invariantes topológicos das redes periódicas podem ser extraídos da estrutura de seus grafos quocientes.

O grupo de simetria da rede pode ser determinado a partir do subgrupo do grupo de automorfismos do quociente que respeita o núcleo do espaço de ciclos, i.e. para o qual ciclos ou combinações de ciclos de voltagem nula são mapeados em combinações de voltagem nula. A simetria de realizações tridimensionais da rede (mergulhos) é geralmente inferior à simetria da rede. Isso leva a atribuir uma simetria ideal a uma estrutura cristalina. Uma ênfase particular é dada a estes automorfismos do quociente que trocam ciclos com ciclos de igual voltagem; neste caso o quociente aparece como parcial. Esta situação indica a presença, ou permite a descrição de distorções periódicas na rede que não afetam suas propriedades topológicas. Um método geral para obtenção de mergulhos baricêntricos (aristótipos) será descrito. Invariantes gráficos ou numéricos da rede serão revistos assim como suas relações com o grafo quociente. Ilustrações simples serão escolhidas entre redes bidimensionais. Anéis e anéis fortes são invariantes topológicos conhecidos; novos invariantes característicos de grafos infinitos serão introduzidos. Uma linha é definida como um subgrafo conectado acíclico regular de grau 2. Uma linha geodésica é uma linha tal que o único caminho na linha entre dois de seus vértices é um caminho geodésico na rede. Linhas e linhas geodésicas são extensões naturais de ciclos e anéis em redes periódicas. Linhas geodésicas fortes e fibras geodésicas serão também definidas. Todos estes invariantes projetam sobre motivos cíclicos específicos do grafo quociente que serão analisados com detalhe. Em particular, a densidade topológica, um invariante numérico da rede pode ser obtido diretamente a partir da estrutura cíclica do grafo quociente espelhada nas fibras geodésicas da rede periódica.