Ementa: Fibrados vetoriais, conexões e curvatura; Grupos de Lie, álgebras de Lie, a aplicação exponencial, subgrupos fechados, ações de grupos de Lie e ações infinitesimais de álgebras de Lie, ações livres e próprias; Fibrados principais, fibrados associados, fibrado dos referenciais, conexões em fibrados principais, fibrados de jatos, redução do grupo de estrutura de fibrados principais e sua relação com a geometria dos fibrados associados; G-estruturas, exemplos de G-estruturas, conexões compatíveis com uma G-estrutura, torção e curvatura de uma conexão compatível, torção intrínseca, aplicações para integrabilidade de G-estruturas, prolongamento de G-estruturas.
1) Sternberg, S, Lectures on Differential Geometry, AMS Chelsa Publishing, Second Edition 1983
2) Notas de Aulas do prof. Marius Crainic disponíveis em aqui
3) Kobayashi, S., Transformation Groups in Differential Geometry, Springer, 1972
4) Kobayashi, S e Nomizu, K. Foundations of Differential Geometry vol. 1 e 2, Wiley Classics Library, 1963
5) Sharpe, R. W. Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer, 1997
A avaliação será feita através de um trabalho escrito e a revisão do trabalho de uma/um colega de sala. A revisão deve trazer sugestões, correções e comentários. Após a revisão de colega, a pessoa que escreveu o trabalho deve re-escrever o trabalho incorporando as sugestões e correções, ou justificando o motivo de não incorporar as mesmas. A data de entregas será combinada em aula com a turma. Todos os trabalhos serão disponibilizados aqui. Caso o tempo permita também haverá apresentação de seminários.
Algumas sugestões de tópicos para trabalhos são as seguintes (fique a vontade para dar outra sugestão!):
1) Classes Características via Conexões
2) Teoria de obstrução e existência de seções de um fibrado
3) Classificação homotópica de fibrados principais e BG
4) Teoria de Chern-Weil
5) Chern-Weil e teoria de homotopia abstrata
6) Holonomia e o Teorema de Ambros-Singer
7) G-estruturas de ordem superior
8) Geometrias de Cartan
9) O fibrado de referenciais de um orbifold e métricas em orbifolds
10) Geometria Kahler e decomposição do tensor de curvaturta em componentes irredutíveis
11) O problema de integrabilidade para G-estruturas de tipo finito
12) O método de equivalência de Cartan
13) Subvariedades via referenciais móveis
14) Sistemas diferenciais exteriores e existência de imersões isométricas
15) A equação de Yang-Mills
16) Espaço de moduli de conexões planas
17) Fibrados de Jatos, Geometria de EDPs e integrabilidade formal
18) O Teorema de Cartan-Kahler
19) Tableaux e cohomologia de spencer (anulamento da cohomologia em dimensões altas)
20) Classificação de álgebras de Lie de holonomia (Berger)
21) Grupoides e Algebroides de Lie
22) O método de equivalência do Blaom