Ementa (com algumas inclusões de assuntos):
Grupo fundamental, recobrimentos e o teorema de Seifert-van Kampen; Homologia simplicial; Homologia singular: complexos de cadeias. Construção de funtores de homologia. Invariância homotópica, excisão e seqüência Mayer-Vietoris. Cálculo de homologia; aplicações. Teorema do ponto fixo de Brouwer, grau de uma aplicação. Teorema de Jordan-Brouwer; invariância do domínio. CW-Complexos: definição e propriedades elementares; exemplos. Teoremas da extenção das homotopias e da aproximação celular. Homologia celular e cálculos de homologia dos espaços projetivos. Cohomologia singular (parte aditiva).
Bibliografia:
1)A. Hatcher. Algebraic Topology, Cambridge University Press
2)G. E. Bredon. Geometry and Topology, Springer
3)J. M. Lee. Introduction to Topological Manifolds, Springer
4)Algumas partes da ementa também estão nestas notas de aula que escrevi para outra disciplina.
Você também pode encontrar as notas de aulas que escrevi quando dei esta disciplina em 2015 aqui (clique nas datas das aulas para baixar as notas).
Avaliação:
As notas serão baseadas em duas provas escritas, nota de monitoria/exercícios, e um ou dois projetos (não obrigatórios) que podem ser usados para aumentar a média. As datas das provas serão combinadas com vocês na primeira semana de aula. A nota de monitoria levará em conta a participação na resolução de exercícios durante a monitoria e/ou a entrega de exercícios selecionados. A média final será calculada da seguinte forma: (3M + 3P1 + 4P2)/10 onde M é a nota da monitoria e Pi é a nota da prova i.
Atenção! A pedido de vocês o horário das aulas que ocorrem às segundas mudou para 14h-16h. A sala na segunda será B06. Nas quintas feiras as aulas continuam ocorrendo às 14h na sala 252A.
Monitoria:
A monitoria irá ocorrer toda segunda-feira de 12h30 - 14h na sala B06
Listas de Exercícios: Aqui você encontra as listas de exercícios
Lista 1: Esta lista está bastante grande, mas tem muitas repetições e cobre todo o conteúdo até o Teorema de van Kampen. Ela é um apanhado de exercícios que dei em outros cursos e/ou em anos anteriores nesse curso. Sobre essa parte da matéria, além dessa lista eu só devo acrescentar um ou dois exercícios mais “teóricos” sobre demonstrações que envolvem recobrimentos e o teorema de van Kampen (no espírito de quebrar em pedaços e deixar para vcs fazerem as demonstrações de alguns teoremas importantes conforme conversamos no primeiro dia de aula. Desta lista eu gostaria que vocês entregassem o “exercício teórico” sobre a definição do grupo fundamental (exercício 24) até o dia 30/03. Sugiro que vocês façam juntos na monitoria, mas gostaria que cada um/uma de vocês entregasse sua própria versão redigida independentemente nas suas palavras.
Lista 2: Esta lista é uma “lista temática”. Ela trata da existência de recobrimentos simplesmente conexos (recobrimentos universais) e algumas de suas propriedades.
Lista 3: Aqui vcs encontram um breve roteiro para a demonstração do teorema de Seifert-van Kampen. O coração da demonstração é o exercício 4 da lista. Não consegui quebrar em pedaços pequenos de uma maneira razoável. Sugiro que vcs estudem essa parte da demonstração por aqui, ou pelo livro de sua preferência.
Lista 4
Lista 5: O objetivo desta lista de exercícios é que vcs demonstrem o teorema da aproximação simplicial. Gostaria que vcs resolvessem esta lista de forma cuidadosa durante a monitoria. Quem não puder/quiser ir na monitoria durante esta discussão pode alternativamente entregar a lista resolvida até o dia 29/05.
Lista 6: O objetivo desta lista de exercícios é que vcs demonstrem o teorema Hurewicz em dimensão 1. Gostaria que vcs resolvessem esta lista de forma cuidadosa durante a monitoria. Quem não puder/quiser ir na monitoria durante esta discussão pode alternativamente entregar a lista resolvida até o dia 12/06.
Resumo das Aulas:
13/03: Apresentação das regras do curso; Introdução - O que é topologia algébrica, invariantes topológicos, categroias e functores, o functor $\pi_0$; Ideia intuitiva do grupo fundamental como uma extensão da noção de conexidade por caminhos (ou seja, como $\pi_0$ do espaço de laços.
16/03: Não houve aulas para que vcs pudessem participar da recepção aos novos alunos da pós-graduação do MAT.
20/03: Homotopia entre funções, homotopia relativa, equivalência de homotopia, retrações e retratos por deformação, mapping cilinder; Se X e Y são homotopicamente equivalentes então existe um espaço Z tal que X e Y são ambos retratos por deformação de Z (Z é o mapping cilinder).
23/03: Grupo fundamental, definição e exemplos; propriedades functoriais, inexistência de retrações do disco no círculo, teorema do ponto fixo de Brouwer; dependência no ponto base, homotopias livres vs. homotopias relativas, equivalências de homotopia induzem isomorfismo nos grupos fundamentais
27/03: Recobrimentos: definição e primeiros exemplos; unicidade de levantamento de funções, levantamento de homotopias; Consequências: levantamento de caminhos, ação de \pi_1(B,b) na fibra p^{-1}(b) do recobrimento; A ação é transitiva quando E é 0-conexo e livre se E é 1-conexo; nesse caso tem bijeção entre \pi_1(B,b) e p^{-1}(b). Exemplos.
30/03: Ações propriamente descontínuas e recobrimentos. Se G age de forma própria e descontínua em um espaço 1-conexo E, então o grupo fundamental de E/G é isomorfo a G; exemplos; o grupo fundamental de S^1 e grau; espaços lenticulares. Critério para a existência de levantamento. O teorema de Borsuk-Ulam (versão 1 do curso - se n >1 então funções ímpares de S^n em R^2 admitem zeros).
01/04: Teorema de Seifert - van Kampen: pushout de grupos; enunciado do teorema; casos particulares: (a) G_1 = G_2 = {1} implica G = {1}; aplicação S^n é simplesmente conexo (n>1); (b) N = G_2 = {1} implica G = G_1; Apllicação: remover um ponto de uma variedade de dimensão maior ou igual a 3 não muda o grupo fundamental; (c) G_2 = {1} implica que G é isomorfo ao quociente de G_1 pelo fecho normal i(N); aplicação para espaços obtidos colando uma 2-célula à um espaço A. O grupo fundamental de superfícies em termos do grupo fundamental de um bouquet de S^1.
04/04: Teorema de Seifert - van Kampen: produto livre de grupos, grupos livres, grupos dados por geradores e relações, descrição de \pi_1(X,x) no caso geral.
04/05: Introdução intuitiva a homologia
08/05: Simplexos, complexos simpliciais, complexo de cadeias simpliciais e homologia simplicial
11/05: H_0(K) e conexidade; pseudo variedades sem bordo; H_n(K) e orientabilidade.
15/05: Pseudo variedades com bordo; Complexos de Cadeia; Número de Euler de complexos simpliciais finitos; números de Betti; Aplicações de Cadeia; Homotpias de Cadeia; Sequencias curtas exatas e sequencias longas induzidas em homologia; exemplos
18/05: Compelxo de cadeias singulares de um espaço topológico; homologia de uma união disjunta; homologia de um ponto; invariância de homotopia; homologia relativa; sequencia longa do par; Naturalidade do homomorphismo de conexão; sequencia de Mayer-Vietoris
22/05: Excisão, Mayer-vietoris, bom par, homologia de S^n, homologia de CP^n, Teorema da invariância de domínio.
25/05 - Parte I: Isomorfismo entre homologia simplicial e homologia singular. Parte II: Número de Lefschetz, Teorema do ponto fixo de Lefschetz, Teorema da “Esfera Cabeluda”.
29/05: Dualidade de Jordan-Alexandre e o teorema da curva de Jordan
01/06: Grau de Brouwer, definição, propriedades, corolários; Grau local e cálculo do grau como soma de graus locais.