Zero de Funções: Método de Newton

O método de Newton é um dos métodos iterativos mais gerais para resolver $f(x) = 0$. Começa-se a iteração com uma estimativa inicial $x_0$ da solução $x^*$. Dada uma estimativa $x_i$, o método de Newton aproxima $f(x)$ pela reta tangente ao ponto $f(x_i)$. O zero da reta tangente (isto é, o ponto onde esta reta intersecta o eixo das abscissas) é tomado como nova estimativa de $x^*$. Veja na Figura 1 uma ilustração desse método. Para derivar as fórmulas usadas pelo método, vamos expandir $f(x)$ por uma série de Taylor ao redor do ponto $x_i$:

$$f(x) = f(x_i) + f'(x_i)(x-x_i) + \cdots.$$

A linha tangente é dada pelos dois primeiros termos da série

$$y = f(x_i) + f'(x_i)(x - x_i).$$

Igualando $y$ a zero temos:

$$x_{i+1} = x_i - f(x_i) / f'(x_i).$$ (3)

Para a nossa função $f(x)$ definida por (2), temos que a sua derivada $f'(x)$ é:

$$f'(x)=\frac{p}{x^2}(1+x-\frac{1}{(1+x)^{n-1}})-\frac{p}{x}(1+\frac{n-1}{(1+x)^n}).$$ (4)

Oservamos que para calcular cada nova estimativa só precisamos da estimativa imediatamente anterior. Ou seja, são suficientes duas variáveis para fazer isso (não precisa ir armazenando todas as estimativas $x_0$, $x_1$, $x_2, \ldots$). Um algoritmo possível é o seguinte (note que basicamente só temos $x_0$ e $x_1$):

1. Comece com $i=0$ e um valor inicial $x_{0}$;
2. Calcule $x_{i+1}$ usando (3), (2) e (4).
3. Se $\vert x_{i+1}-x_i\vert \leq \mbox{tol}_1$ então pare.
4. Se $\vert f(x_{i+i})\vert \leq \mbox{tol}_2$ então pare.
5. Faça $x_{i} = x_{i+1}$ e retorne ao passo 2.

Para a implementação do programa, você pode assumir que as tolerâncias $\mbox{tol}_1$ e $\mbox{tol}_2$ sejam $\mbox{tol}_1 = \mbox{tol}_2 = 0.0001$, e como valor inicial adote $x_{0} = 0.10~(= 10\%)$.

Figura: Ilustração do Método de Newton.