Respondendo aos e-mails do
Rafael Stern, do Daniel Dantas e do Gabriel Bahia, eu vejo duas abordagens
distintas para esse problema e, embora sejam (ou ao menos pareçam ser)
conflitantes, não consigo encontarr argumentos a favor ou contra qualquer que
seja:
a) Se o enunciado dissesse
explicitamente que "choose at random" significa escolher com probabilidades
iguais, então o paradoxo circular de Dantas-Bahia seria uma prova de que o
problema não tem resposta.
PORÉM:
b) Se considerarmos que qualquer
vetor (pA, pB, pC, pD) com soma 1 pode ser utilizado para escolher a resposta ao
acaso, então podemos fazer:
P(acertar a resposta) = P(acertar | escolhi
A)P(resposta certa é A) + P(acertar | escolhi B)P(resposta certa é B) +
P(acertar | escolhi C)P(resposta certa é C) + P(acertar | escolhi D)P(resposta
certa é D) =
= 0,25 pA + 0,50 pB + 0,60 pC + 0,25
pD.
Nesse caso, chamando a soma 0,25
pA + 0,50 pB + 0,60 pC + 0,25 pD de S:
I) Se tivermos um vetor ((0,1 ,
0,3 , 0,5 , 0,1), por exemplo), tal que S = 0,5, então a resposta correta será
B.
II) Se tivermos um vetor ((0 , 0
, 1 , 0), por exemplo), tal que S = 0,6, então a resposta correta será
C.
(aliás, (0, 0, 1, 0) é o único vetor que satisfaz S = 0,6))
III) Se tivermos um vetor ((0,25
, 0,25 , 0,25 , 0,25), por exemplo), tal que S é diferente de 0,25, de 0,5 e de
0,6 (no exemplo, S = 0,4), então não haverá resposta correta.
IV) Finalmente, se tivermos um vetor ((0,5 , 0 , 0 ,
0,5), por exemplo), tal que S = 0,25, então tanto A quanto D serão respostas
corretas.
E o (aparente) conflito fica instalado pelo item III
acima, onde a suposição de igualdade de probabilidades de escolha não
conduz ao paradoxo da primeira abordagem!
Com relação á observação do Rodolfo Lourenzutti, o
enunciado diz claramente "If you choose
an answer for this question", ou seja, está
explicitamente dito a qual questão o enunciado se refere: a si própria! E o
entrelaçamento entre pergunta e resposta não só não deixa a questão sem nexo
como freqüentemente proporciona questões muito perspicazes e criativas. Uma das
minhas preferidas (extraída de um vestibular do final dos anos 80 e que eu
sempre posto em fóruns sobre puzzles), que certamente não trará dificuldade
alguma aos listeiros é:
Sendo X e Y dois números
inteiros e dado que somente uma das alternativas abaixo é verdadeira,
identifique-a:
a) X maior que Y
b) X menor que Y
c) X igual a Y
d) X diferente de Y
e) n.d.a.
Manifestem-se sobre as minhas abordagens ao paradoxo da
primeira pergunta e divirtam-se com essa segunda questão "bobinha",
Marcelo
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, November 08, 2011 5:42
PM
Subject: Re: [ABE-L]: Logica e
probabilidade
"If you choose an answer for this question at random, what is the chance
you will be correct?"
A pergunta não faz o menor sentido, mesmo sem olhar a resposta.
O problema aqui é: que questão?
A questão não é fornecida.
A tentativa de entrelaçar a resposta com a pergunta ficou sem nexo.
Eu discordo do Gabriel então. Não acho um paradoxo.
Acho apenas mal elaborada.
Em 8 de novembro de 2011 14:29, Gabriel Bahia Caldas
<caldas_g@hotmail.com>
escreveu:
Daniel,
seu raciocínio está certo, mas você tem que ir mais adiante. Se a resposta é
50%, e só tem uma alternativa que dá essa resposta, então a probabilidade de
você escolhe-la aleatoriamente com chances iguais para os itens volta a ser
de 25%.
Por
isso, assumindo chances iguais para os itens, para mim o problema é um
paradoxo e portanto não tem solução.
Agora
se não assumir chances iguais entre os itens, vale a pena pensar mais um
pouco no problema. Gabriel Bahia Caldas Bacharel em Estatística - Universidade
Federal da Bahia Mestrando em Estatística - Universidade Federal de Minas
Gerais
From: daniel.dantas@hotmail.comCC: abe-l@ime.usp.brDate:
Tue, 8 Nov 2011 13:51:28 -0200 Subject: RE: [ABE-L]: Logica e
probabilidade
Desculpem minha inocência, mas o meu modo de raciocinar
foi o seguinte: Probabilidade de acertar aleatóriamente uma
questão sendo que temos 2 respostas certas (a e d) e 2 erradas (b
e c) é de 50%, não?
From: dsfontes@gmail.comDate: Tue, 8 Nov 2011 11:19:31
-0300 To: mlarruda@ime.usp.brCC: abe-l@ime.usp.brSubject: Re: [ABE-L]: Logica e
probabilidade Tem esse blog que também discute
isso: http://www.wmbriggs.com/blog/?s=best+statistics+question+ever
Em 8 de novembro de 2011 11:06, Marcelo L. Arruda <mlarruda@ime.usp.br> escreveu:
Gostei da pergunta, li por alto
as respostas e vi que (aparentemente) todas traduzem "choose an answer as
random" como P(escolher a) = P(escolher b) = P(escolher c) =
P(escolher d) = 1/4.
Só que "escolher ao acaso" não
necessariamente significa equiprobabilidade das alternativas. Nada me
impede, por exemplo, de usar um dado comum e escolher "a" se sair 1 ou 2,
"b" se sair 3 ou 4, "c" se sair 5 ou "d" se sair 6. Logo, devemos pensar
que qualquer vetor (pa, pb, pc, pd = 1 - (pa + pb + pc)), 0 <
pi < 1 pode ser válido e, conseqüentemente, que dependendo do vetor que
escolheremos, qualquer resposta pode ser a correta.
Alguém tem alguma outra análise do
problema?
Marcelo
----- Original Message -----
Sent: Monday, November 07, 2011
7:12 PM
Subject: [ABE-L]: Logica e
probabilidade
Caros Redistas: Depois de
provoca-los com alguns assuntos serios relacionando Estatistica
Logica e Epistemologia, vai ai uma prococacao menos seria.
Quem me responde a questao no link seguinte...
Um abraco,
---Julio (Stern)
-- Rodolfo Lourenzutti Mestrando em Estatística pela
UFMG. Bacharel em Estatística pela
UFES.
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