Este curso aborda, grosso modo, diversas generalizações do conceito de integral para funções de duas e três variáveis reais a valores reais sobre regiões do plano e do espaço, respectivamente, e também sobre curvas e superfícies. Os conceitos expostos no curso de Cálculo III são imprescindíveis para a formalização matemática de diversas teorias físicas, como a Estática e Cinemática dos Corpos Sólidos, a Mecânica dos Fluidos e o Eletromagnetismo Estuda-se, também, campos vetoriais em \(\mathbb{R}^2\) e em \(\mathbb{R}^3\), definindo operadores como o gradiente, o divergente e o rotacional destes.
Em 2022, o curso será ministrado presencialmente. As notas de aula do professor serão disponibilizadas no formato PDF nesta página, organizadas em agendas que compreendem, aproximadamente, o conteúdo de uma semana de aula.
A fim de ilustrar uma das coisas que estudamos neste curso, apresentamos o conceito de integral dupla de uma função, \(f: R \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), em que \(R = [a,b] \times [c,d]\) ,o que traduz, em certos contextos, o problema de calcular o volume delimitado pelo gráfico de \(f\) e os planos coordenados, como no gif abaixo. A ideia é particionar o domínio e aproximar, progressivamente, a região cujo volume desejamos calcular por uma coleção de paralelepípedos retos. Novamente, satisfeitas certas condições, ao tomar mais e mais retângulos nos aproximamos de um valor limite, que será o valor da integral dupla.
Sendo este um curso presencial, é necessário observar os protocolos para um retorno seguro a estas atividades. Para obter informações sobre estes protocolos, acesse https://retornoseguro.usp.br. As diretrizes pelas quais se pautam o retorno às aulas presenciais podem ser encontradas aqui.
As aulas serão ministradas na sala C-105, do Biênio.
| Dia | Horários da Turma 9 |
|---|---|
| Segunda-feira | 07h30 às 9h10 ✔ |
| Quarta-feira | 07h30 às 9h10 ✔ |
| Dia | Horários da Turma 10 |
|---|---|
| Segunda-feira | 9h20 às 11h00 ✔ |
| Quarta-feira | 9h20 às 11h00 ✔ |
O curso contará com o auxílio de três monitores, o Henrique, o Luis e o Matheus, que disponibilizam o intervalo entre as 12h e 13h para atendimento:
Foram realizadas duas provas online, a \(P_1\) (aplicada em 03 de maio), cuja nota a equipe convencionou desconsiderar devido a casos de burla, e a \(P_2\) (aplicada em 07 de junho), cuja nota será considerada para composição da média final. A terceira prova, \(P_3\) (a ser aplicada em julho, em data a ser oportunamente marcada) será presencial e terá duração de 3 (três) horas e peso 3 (três) na composição da média final. A prova substitutiva (\(SUB\), a ser aplicada em data oportuna), também presencial, será fechada (ou seja, somente alunos que perderam a \(P_2\) ou a \(P_3\) poderão fazê-la), em formato teste.
A média final da avaliação 1, \(M_1\) será calculada pela fórmula: $$M_1 = \frac{P_2 + 3 P_3}{4}$$
Assim, se \(P_k = \min \{P_2, P_3\}\), a nota do aluno após a substitutiva será: $$M_{\text{Sub}} = \frac{\sum_{i \neq k}P_i + P_{\text{Sub}}}{3}$$
contanto que \(P_{\text{Sub}} > P_k\). Caso contrário, \(M_{\text{Sub}} = M_1\).
Apenas os alunos que tiverem média do semestre estritamente menor do que 5,0 e maior ou igual a 3,0 poderão fazer a prova de recuperação (REC), a ser aplicada em 26 de julho. Neste caso, a média da segunda avaliação será calculada pela fórmula: \(M_2 = \frac{M_{\text{Sub}} + REC}{2}\).
Para efeito de cálculo das médias, as notas da \(P_1, P_2, P_{\text{Sub}}\) e \(REC\) são consideradas com todas as casas decimais. Não serão feitos arredondamentos, senão aqueles que já são automaticamente feitos pelo sistema Jupiter quando do cadastro das notas, ou seja, 4.95 ou mais sobe para 5 e 2.95 ou mais sobe para 3.
Teorema do Valor Médio para integrais. Soma dos \(n\) primeiros quadrados. Integrais múltiplas: a integral dupla e sua interpretação como volume. Integral dupla sobre regiões retangulares. Somas de Riemann. Teorema de Fubini. Integrais duplas sobre regiões mais gerais que retângulos. Aplicações da integral dupla: cálculo de áreas. Valor médio de uma função em uma região Jordan-mensurável. Massa e centro de massa. Aplicação de integral dupla: centro de massa de uma região não homogênea do plano. Aplicação de integral dupla: momento de inércia de uma lâmina delgada.
Tranformações de \(\mathbb{R}^2\) em \(\mathbb{R}^2\). Interpretação geométrica do jacobiano de uma transformação. Mudança de Variável na Integral Dupla. Casos especiais de mudança de variável: mudança linear e mudança elíptica de coordenadas. Coordenadas Polares. Mudança de variável cartesiana para polar. Mudança de ordem na integração múltipla. Integrais duplas sobre regiões planas ilimitadas.
Somas de Riemann para funções de três variáveis reais a valores reais. Tranformações de \(\mathbb{R}^3\) em \(\mathbb{R}^3\). O Teorema de Fubini para integrais triplas. Interpretação geométrica do jacobiano de uma transformação. Mudança de Variável na Integral Tripla. Caso especial de mudança de variável: mudança linear, mudança para coordenadas cilíndricas. Mudança para coordenadas esféricas
Campos vetoriais. Exemplos. Esboço de campos vetoriais.Curvas parametrizadas em \(\mathbb{R}^3\) e em \(\mathbb{R}^3\). Curvas fechadas. Curvas simples. Curvas de Jordan. Integral de linha de uma função escalar ao longo de uma curva parametrizada. Comprimento de curvas. Curvas \(\mathcal{C}^1\) por partes. Integral de linha de campos vetoriais. Propriedades da integral de linha. Campos conservativos. Teorema de Green.
As versões tangencial e normal do Teorema de Green. Densidade de fluxo de um campo vetorial em um ponto: o divergente. Aplicação à Dinâmica dos Fluidos: Critério de Bendixson. Superfícies. Superfícies parametrizadas, curvas coordenadas, plano tangente. Superfícies de revolução. Gráficos de funçõs enquanto superfícies. Área de uma superfície parametrizada. Integrais de superfície: de funções escalares e de campos vetoriais. Orientabilidade. Exemplo de superfície não orientável: a faixa de Moebius. Orientação induzida no bordo de uma superfície. Teorema de Stokes. Exemplos. Teorema de Gauss
Coordenadas polares: esboço de curvas em coordenadas polares, gráficos polares, representação de desigualdades dadas em coordenadas polares, esboço do gráfico de funções dadas em coordenadas polares
Revisão sobre integrais simples.
Integrais duplas e triplas. Teorema de Fubini. Mudança de variável. Coordenadas polares. Volumes, centro de massa, momento de inércia de regiões planas.
Integrais de linha. Comprimento de curvas. Teorema de Green.
Superfícies parametrizadas. Áreas de superfícies parametrizadas. Integrais de superfície. Teorema de Stokes.
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