Geometrias Euclidiana e

Não-Euclidiana

 
 

Pares de retas com um ponto em comum que são paralelas a uma terceira!

A soma dos ângulos interiores do triângulo é menor que 180 graus!

Descrição: A Geometria Euclidiana consiste num sistema de axiomas “bastante” naturais. O mais importante deste axiomas é o postulado das paralelas: Dada uma reta L e um ponto fora desta reta, existe uma única reta R passando por este ponto e que não intersecta a reta L. Na primeira parte deste curso estudaremos a Geometria Euclidiana Afim usando conceitos modernos de matemática (Teoria de grupos, Álgebra linear) que permitem entender as simetrias nesta geometria. Posteriormente, veremos vários exemplos de geometrias onde o postulado das paralelas não vale (veja as figuras acima), isto é, geometrias não-Euclidianas. Os modelos de geometrias não-Euclidianas que abordaremos nesta disciplina são: Geometria projetiva, Geometria esférica e Geometria Hiperbólica.


Porquê estudar Geometria Não-Euclidiana?


Porque é fonte de exemplos matematicamente bonitos! Além disso, a Geometria Não-Euclidiana Hiperbólica teve um impacto enorme na matemática atual, tendo aplicações em: variáveis complexas, funções automorfas, topologia em dimensão 3 (Conjectura de Geometrização de Thurston), Relatividade, e muito mais...


Pré-requisitos: Conhecimento de Teoria de Grupos e Álgebra Linear.


Aulas: Segundas e Quartas 17:30-19:30 no Anfiteatro A do Centro Politéctnico.


ATENÇÃO: Na semana 23-27 de Maio, as aulas serão ministradas pelo Prof. Edson Ribeiro.



Avaliação: Três provas cujas datas são:


Prova 1: 04/05/2011

Prova 2: 06/06/2011

Prova 3: 20/06/2011

Segunda Chamada: 22/06/2011

Exame Final: 06/07/2011



A nota final será a média aritmética das três provas. Não haverá prova substitutiva.


Ementa: Os tópicos que estudaremos incluem:



  1. 1. Geometria Afim: Espaço Afim, Transformações afins, Exemplos. Isometrias, órbitas e grupos de isotropia.

  2. 2. Geometria Esférica: A esfera de dimensão 2, triângulos esféricos, Fórmula de Girard, Poliedros regulares e suas simetrias, Fórmula de Euler.

  3. 3. Geometria Projetiva: Espaço Projetivo, Topologia do Espaço Projetivo, Transformações projetivas, Razão cruzada, Isometrias.

  4. 4. Geometria Hiperbólica: Modelos da geometria hiperbólica, Semi-plano, Disco de Poincaré, Modelo de Lorentz. Isometrias hiperbólicas.


Referências:


  1. Bullet P. Ryan, Euclidean and Non-Euclidean Geometry: an analytic approach.

  2. Bullet M. Audin, Geometry.

  3. Bullet H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry.



Listas:


  1. 1. Lista1.pdf 

  2. 2.  Lista2.pdf

  3. 3.  lista3.pdf

  4. 4.  Lista4.pdf

  5. 5.  Lista5.pdf