Tanto no Cálculo quanto na Geometria, ainda que estudados de modo elementar e intuitivo, o papel da noção de “distância entre dois pontos” é fundamental, bem como conceitos que deste derivam, como o de “vizinhança de um ponto”, “limite”, “função (de uma variável real a valores reais) contínua em um ponto” dentre muitos outros. Assim, parece razoável, quando buscarmos uma generalização dos conceitos do Cálculo, da Análise Matemática e da Geometria, buscarmos também uma generalização do conceito de distância que independa da materialidade dos “espaços” em apreço.
Ao longo deste curso encontraremos respostas para questões do tipo: “o que devemos entender por distância?”, “Por que a definição de distância apresentada nas aulas de Geometria não corresponde ao uso popular?”, “Por que duas curvas, com aspectos tão diferentes, são designadas com um mesmo nome [curva fechada]?”, “O que significa dizer que uma reta se aproxima de outra?” e “o que, enfim, é Topologia?”
O conhecimento da teoria dos espaços métricos é fundamental para compreender o funcionamento de diversos métodos numéricos (para, por exemplo, resolver equações diferenciais) bem como em Análise Matemática. O Teorema do Ponto Fixo de Banach, por exemplo, essencial para se demonstrar a existência e unicidade da solução de problemas de valor inicial, faz uso de conceitos métricos como o de “completude”.
Em toda a Matemática, especialmente nos ramos da Geometria, Topologia e da Análise, o conhecimento da teoria dos espaços métricos é uma ferramenta essencial. Podemos encontrar aplicações do conceito de métrica aos códigos corretores de erros: para um comprimento \(n\), fixado, a “distância de Hamming” (o número de posições nas quais duas “strings” diferem entre si) é uma métrica no espaço vetorial das palavras daquele comprimento. Na Teoria das Distribuições podemos citar a “métrica de Wasserstein”, que fornece uma noção de distância entre distribuições de probabilidades.
O “quid” do conceito de espaço métrico é o conceito de distância, que foi introduzido no âmbito do Cálculo Funcional pelo matemático francês Maurice Fréchet em 1906, em sua tese de doutoramento sobre o Cálculo Funcional (“Sur quelques points du calcul fonctionnel"). Neste trabalho, Dentre os tipos importantes de espaços generalizados que Fréchet divisou, estavam os (por ele denominados) \(L\)-espaços, ou seja, espaços nos quais se podia definir uma “função distância”. Fréchet formulou uma generalização dos conceitos de limite, derivada e continuidade para os espaços de funções.
Em 1910, David Hilbert sugeriu axiomas para “vizinhanças” de pontos em um conjunto abstrato qualquer, generalizando, portanto, propriedades de pequenos discos centrados em pontos do plano. O termo “espaço métrico” ([der] „metrischer Raum”) foi, finalmente, introduzido pelo matemático alemão Felix Hausdorff (1869-1942) em 1912, enquanto ponderava sobre o papel de conjuntos de pontos na Teoria dos Conjuntos. Ele apresentou uma lista de axiomas em seu livro “Grundzüge der Mengenlehre” (“Noções Básicas de Teoria dos Conjuntos”)(1914, pp. 211-2).
Os axiomas de Hausdorff que descrevem a separação (ou “afastamento”, do alemão „die Entfernung”) foram baseados no tratamento dado por Maurice Fréchet de “l’écart” (a distância, o “afastamento”) em sua obra. Hausdorff também propôs, em seguida, axiomas que capturassem a noção de “vizinhanças” ([die] Umgebunsaxiome):
Ressalte-se, porém, que as ideias já eram conhecidas e usadas por Henri Poincaré (1854-1912) desde 1895, conforme contam em seus diversos artigos. A contextura (praticamente) atual da teoria dos espaços métricos foi desenvolvida posteriormente por Urysohn, em 1924.
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Rua do Matão, 1010 - CEP 05508-090 - São Paulo - SP
Telefone: (11) 3091-6193 E-mail: j.berni@unesp.br
