Este curso é uma complementação dos três primeiros cursos de Cálculo para as Engenharias. Nele estudaremos diversos conceitos que foram apenas citados em diversos momentos daqueles cursos.
Em Cálculo IV desenvolveremos diversos conceitos imprescindíveis que constituem o ferramental dos profissionais das mais diversas engenharias. Neste curso estuda-se sequências e séries numéricas, sequências e séries de potências (ou seja, de funções), tópicos de Análise de Fourier (que traz ferramentas muito importantes para processamento de imagens, por exemplo), e as equações diferenciais ordinárias, capazes de modelar diversos fenômenos que envolvem a variação de alguma grandeza.
Sequências numéricas são simplesmente funções cujo domínio é o conjunto dos números naturais, \(\mathbb{N} = \{0,1,2, \cdots \}\) e cujo contradomínio é \(\mathbb{R}\). Costumamos denotá-las por \( (a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots )\), para indicar que \(a_0\) é o 0-ésimo termo, \(a_1\) é o 1º termo e assim por diante. O estudante certamente está familiarizado com dois tipos de sequência, vistos no Ensino Médio: as progressões aritméticas e as progressões geométricas. As progressões aritméticas são aquelas em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante ao termo anterior. Já as progressões geométricas são aquelas em que cada termo, a partir do segundo, se obtém do termo anterior multiplicando-o por uma constante. Por exemplo, a sequência \( (1,2,4,8,16, \cdots)\) é uma progressão geométrica, enquanto a sequência \( (1,3,5,7, \cdots)\) é uma progressão aritmética.
Associada a uma sequência, temos outra, que é a das somas dos seus \(n\) primeiros termos. Assim, dada a sequência \( (a_0,a_1,a_2, \cdots, a_n, \cdots)\), podemos formar a sequência \( (a_0, a_0+a_1, a_0+a_1+a_2, \cdots)\). A esta sequência denominamos série infinita.
Consideremos, por exemplo, a progressão geométrica, \( (1,r,r^2,r^3, \cdots, r^n, \cdots)\) com \(r \) entre \(0\) e \(1\). No que segue, considere o quadrado de lado \(r^0 = 1\) cujo lado inferior está contido em uma semirreta que se estende para a direita. Marcamos, no lado vertical direito do quadrado, o ponto de altura \(r\) e, em seguida, traçamos um segmento de reta que une o vértice superior esquerdo do quadrado com o ponto de altura \(r\). Esta reta intercepta a semirreta horizontal em um ponto, formando um triângulo de área \(1 + r + r^2 + r^3 + \cdots\). Esta igualdade pode ser verificada construindo-se um novo quadrado de lado \(r\), obtendo o segmento de medida \(r^2\), uma vez que a razão entre as medidas dos segmentos é \(\frac{1}{r}=\frac{r}{r^2}\). Continuando o processo, construindo-se quadrados de lados \(r, r^2, \cdots\) obtemos a área indicada. Das Das semelhanças entre o triângulo maior e o triângulo contido no quadrado, segue que: $$S =1+r+r^2+\cdots = \frac{1}{1-r}$$
As séries infinitas são conhecidas desde a antiguidade, e a primeira a ocorrer na história da Matemática é uma série geométrica de razão \(\frac{1}{4}\), que aparece no cálculo da área de uma parábola, feito pot Arquimedes.
Ao lado de pesquisadores de Oxford, havia também pesquisadores em outros centros. Na Universidade de Paris, em particular, havia um professor chamado Nicole Oresme (1325 --- 1382), um destacado intelectual em vários ramos do conhecimento, como Filosofia, Matemática, Astronomia e Ciências Físicas. Além de professor universitário, Oresme era conselheiro do rei, principalmente na área de finanças públicas; e nessa função revelou-se um homem de grande visão, recomendando medidas monetárias que tiveram sucesso na prática. Ao lado de tudo isso, Oresme foi bispo de Lisieux.
Depois dessa ocorrência de uma série geométrica em um trabalho de Arquimedes, as séries infinitas só voltaram a aparecer 1500 anos mais tarde, no século XIV. Naquela época, havia um grupo de matemáticos na Universidade de Oxford que estudava Cinemática e, ao que tudo indica, foi este estudo que levou à consideração das séries infinitas.
Oresme mantinha contato com o grupo de pesquisadores de Oxford e contribuiu no estudo de várias séries com as quais se trabalhava na época. Uma dessas séries é: $$\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\cdots + \frac{n}{2^n}+ \cdots $$
Veja: para explicitar a lei de formação dos termos da série, escrevemos o termo genérico \(n/2^n\). A notação do somatório (\(\sum\)) facilita e abrevia esse trabalho. Basta escrever: $$\sum \frac{n}{2^n}$$ Essa série foi considerada, por volta de 1350, por Richard Swineshead, um dos matemáticos de Oxford. Ela surge a propósito de um movimento que se desenvolve durante o intervalo de tempo \([0,1]\) do seguinte modo: a velocidade permanece constante e igual a 1 durante a primeira metade do intervalo, de \(0\) a \(1/2\); dobra de valor no segundo subintervalo (de duração \(1/4\)), triplica de velocidade no terceiro intervalo (de duração \(1/16\)) e assim por diante. Como se vê, a soma da série assim construída é a soma dos produtos da velocidade pelo tempo em cada um dos sucessivos subintervalos de tempo e representa o espaço total percorrido pelo móvel.
Swineshead achou o valor \(2\) para a soma através de um longo e complicado argumento verbal. Mais tarde, Oresme deu uma explicação geométrica bastante interessante para a soma da série. Observe que essa soma é igual à área formada com uma ``infinidade'' de retângulos verticais. O raciocínio de Swineshead, combinado com a interpretação geométrica de Oresme, se traduz simplesmente no seguinte a soma das áreas desses retângulos verticais é igual à soma das áreas dos retângulos horizontais. Ora, isto é o mesmo que substituir o movimento original por uma sucessão infinita de movimentos, todos com velocidade igual a \(1\): o primeiro no intervalo de tempo \([0,1]\); o segundo, no intervalo de tempo \([1/2,1]\); o terceiro no intervalo de tempo \([3/4, 1]\) e assim por diante. Vê-se, assim, que o espaço percorrido (soma das áreas dos retângulos horizontais) é agora dado pela soma da série geométrica.
$$S = 1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}$$
Isso permite obter a soma da série original, pois sabemos somar os termos de uma série geométrica, que neste caso, é \(2\). Assim, obtemos a soma da série original: $$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \cdots + \frac{n}{2^n}+ \cdots = 2$$
Com as ferramentas do Cálculo, a maneira de "somar" a série de Swineshead é: $$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 + (n-1)}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}+ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{n-1}{2^n} = 1 + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{n-1}{2^n} = 1 + \frac{1}{2}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n-1}{2^{n-1}} = 1 + \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{j}{2^j} = 1 + \frac{S}{2}$$ Donde decorre que \(S=2\). Ao longo do curso, veremos as justificativas para cada uma dessas igualdades.
Após o estudo das sequências e das séries numéricas, faremos um estudo das sequências e séries de funções, começando pelas chamadas "séries de potências", que são séries da forma:
em que \( (c_n)_{n \in \mathbb{N}}\) é uma sequência e \(x_0 \in \mathbb{R}\).
Veremos que sob certas condições, diversas funções podem ser expandidas como séries de potências, sendo o principal resultado a este respeito o Teorema de Taylor. Veremos, ainda, resultados que nos permitem exibir os conjuntos nos quais a série de Taylor é realmente igual ao valor da função. Em geral, a série de Taylor de uma função \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) de classe \( \mathcal{C}^{\infty}([a,b])\) em torno de um ponto \( x_0 \in ]a,b[\) é dada por: $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot (x-x_0)^n$$ Veja abaixo a sequência de polinômios de Taylor (coloridas) que aproximam, tanto melhor quanto maior for \(N\), a função seno em torno do ponto \(x_0 = 0\):
Veremos, na sequência, alguns tópicos de Análise de Fourier, uma teoria que nos permite, sob certas condições, decompor funções periódicas como séries infinitas de funções trigonométricas. Ao resolver a equação diferencial parcial do calor usando o método denominado por "método da separação de variáveis" e aplicando formalmente o "princípio da superposição" (segundo o qual a soma de soluções da equação ainda é solução) [para uma exposição detalhada da dedução e resolução da equação do calor, veja as p. 49 - 59 deste artigo], conclui-se que a função que descreve a propagação do calor se expressa como uma série infinita envolvendo senos e cossenos.
Dada uma função de classe \(\mathcal{C}^1\), periódica de período \(2L\), obtemos a expressão: $$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n \cdot \cos\left(\frac{n \cdot \pi \cdot x}{L}\right) +b_n \cdot \sin\left(\frac{n \cdot \pi \cdot x}{L}\right) \right)$$
que suscita alguns questionamentos, que serão respondidos ao longo do curso, quais sejam:
Na última parte do curso, estudaremos as equações diferenciais ordinárias e seus métodos analíticos de resolução.
As aulas para a Turma 9 serão ministradas na sala C2-04 para a Turma 10 nos seguintes horários:
| Dia | Horários da Turma 9 |
|---|---|
| Terça-feira | 13h10 às 14h50 ✔ |
| Quinta-feira | 15h00 às 16h40 ✔ |
As aulas para a Turma 10 serão ministradas na sala C2-02 para a Turma 9 nos seguintes horários:
| Dia | Horários da Turma 10 |
|---|---|
| Terça-feira | 15h00 às16h40 ✔ |
| Quinta-feira | 13h10 às 14h50 ✔ |
O curso contará com o auxíio de dois monitores, o Ian e o Mayk, que disponibilizam o intervalo entre as 12h e 13h para atendimento:
| Dia de Atendimento | Monitor | Local de Atendimento |
|---|---|---|
| Segunda-feira | Ian | Presencial (cirquinho) |
| Quarta-feira | Mayk | Presencial (cirquinho) |
| Quinta-feira | Ian | Presencial (cirquinho) |
| Sexta-feira | Mayk | Presencial (cirquinho) |
Serão realizadas duas provas presenciais, a \(P_1\) (aplicada em 04 de outubro) e a \(P_2\) (aplicada em 06 de dezembro). A prova substitutiva (\(Sub\), a ser aplicada em 20 de dezembro, também presencial, será aberta, também em formato teste.
A média final da avaliação 1, \(M_1\) será calculada pela fórmula:
$$M_1 = \max \{\frac{P_1 + P_2}{2}, \frac{\text{Sub} + P_2}{2}, \frac{P_1 + \text{Sub}}{2} \}$$Apenas os alunos que tiverem média do semestre estritamente menor do que 5,0 e maior ou igual a 3,0 poderão fazer a prova de recuperação (REC), a ser aplicada em 20 de julho. Neste caso, a média da segunda avaliação será calculada pela fórmula: \(M_2 = \frac{M_{\text{Sub}} + 2 REC}{3}\).
Para efeito de cálculo das médias, as notas da \(P_1, P_2, {\text{Sub}}\) e \(REC\) são consideradas com todas as casas decimais. Não serão feitos arredondamentos, senão aqueles que já são automaticamente feitos pelo sistema Jupiter quando do cadastro das notas, ou seja, 4.95 ou mais sobe para 5 e 2.95 ou mais sobe para 3.
Sequências numéricas. Subsequências. Convergência (definição formal). Relação entre o limite de uma função e o limite de uma sequência. Sequências divergentes. Operações aritméticas com sequências. Sequências limitadas. Teorema do Confronto. Limite do produto de uma sequência que tende a zero por uma sequência limitada. Limite da soma, subtração, produto e quociente de sequências. Unicidade do limite. Sequências monótonas crescentes e decrescentes. Convergência de sequências monótonas limitadas. Sequências de Cauchy. Teorema da Conservação do Sinal. Limite superior e inferior. O número \( e \).
Séries numéricas. Exemplos. Convergência e divergência de séries numéricas. Série geométrica. Série telescópica. Soma e diferença de séries. Critérios de convergência para séries numéricas: Critério da Comparação, condição necessária para a convergência de uma série numérica; Representação decimal de um número real no intervalo \( [0,1[\). Dízimas periódicas. Critério do Termo Geral. A série harmônica e uma demonstração de sua divergência. Teste da Integral. Convergência e divergência de séries da forma \(\sum_{n} \frac{1}{n^p}\). Critério da Comparação no Limite. . Teste da Razão. Teste da Raiz. Critérios de convergência para séries de termos de qualquer sinal. Convergência absoluta e condicional. Séries alternadas. Teste de Leibniz.
Sequências e séries de funções. Convergência pontual e uniforme. Consequências da convergência uniforme: continuidade do limite, integração e derivação termo a termo. Séries de potências. Raio de convergência de uma série de potências. Intervalo de convergência. Derivação e integração termo a termo de séries de potências. Teorema de Abel. Funções analíticas. Expansão de funções em séries de potências. A série de Taylor. A fórmula de Taylor com resto de Lagrange. Teorema da Estimativa. Multiplicação e divisão de séries de potências.
O problema da condução do calor: modelagem matemática e método de Fourier. Motivação para o estudo das séries de Fourier. Funções pares e ímpares. Funções periódicas. Polinômios trigonométricos e séries trigonométricas. Coeficientes de Fourier. Séries de Fourier. Séries de Fourier de funções pares e ímpares. O Teorema de Fourier. Integração de séries de Fourier. Séries de Fourier. Séries de Fourier de funções pares e ímpares. O Teorema de Fourier. Integração de séries de Fourier. Identidade de Parseval e Desigualdade de Bessel.
Equações diferenciais. Classificação por tipo, ordem e linearidade. EDOs de primeira ordem. Problemas de Valor Inicial (PVI). Solução de PVIs. Teorema de Existência e Unicidade de Solução para PVIs de primeira ordem. Campos de direções. Soluções implícitas e explícitas. EDOs de primeira ordem: variáveis separáveis, lineares, homogêneas, exatas e redutíveis a exatas mediante fator integrante. EDOs de Bernoulli. EDOs de ordem \(n\). EDOs homogêneas de ordem superior. EDOs de segunda ordem: redutíveis, EDOs lineares com coeficientes constantes. Princípio da superposição. Wronskiano. Conjunto fundamental de soluções. EDOs de Cauchy-Euler. EDOs não-homogêneas: o método dos coeficientes a determinar e o método da variação de parâmetros.
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