A grosso modo, a Geometria Diferencial Clássica é o estudo das propriedades locais de curvas e de superfícies. Por propriedades locais entendemos aquelas propriedades que dependem exclusivamente do comportamente da curva ou superfície em uma vizinhança de um ponto. Os métodos que se revelaram adequados ao estudo de tais propriedades foram exatamente os do Cálculo Diferencial. Por este motivo, as curvas e as superfícies consideradas na Geometria Diferencial serão definidas mediante funções que possam ser derivadas um certo número de vezes.
Pode-se dizer que boa parte do objeto de estudo da Geometria Diferencial é o conceito de variedade diferenciável e das funções entre essas. Sem entrar em muitas minudências, uma variedade diferenciável consiste em um espaço topológico com "boas propriedades", que localmente se "parece" com um aberto de \( \mathbb{R}^n\). Veremos a definição precisa ao longo do curso.
Um dos principais resultados da Geometria Diferencial é o Teorema Egrégio de Gauss, que a grosso modo nos diz que a curvatura gaussiana é um invariante sob transformações que preservam comprimentos de ângulos (isometrias). Como uma aplicação deste notável teorema, temos o fato de que qualquer representação plana de uma porção da superfície terrestre apresenta alguma distorço,isto é, não existe nenhum "mapa plano perfeito" da superfície terrestre.
Além de suas diversas aplicações, por exemplo, à Física: em que a compreensão de diversos conceitos da Relatividade Geral, por exemplo, passa pela compreensão da noção de variedade diferenciável, a Geometria Diferencial é uma área efervescente da pesquisa em Matemática. Este curso pretende fornecer os subsídios para que os alunos enriqueçam seu repertório matemático com diversas de suas ferramentas, a fim de que consigam dar os primeiros passos neste rico campo de pesquisa.
O material deste curso está dividido em três agendas, cobrindo diversos tópicos da Geometria Diferencial das curvas e superfícies.
Nesta agenda recordamos fatos sobre funções diferenciáveis de variável real a valores vetoriais, introduzimos os conceitos de curva parametrizada diferenciável e de curvas parametrizadas diferenciáveis regulares. Apresentamos diversos exemplos, introduzimos os vetores tangente e normal unitário normal, apresentamos o conceito de parametrização por comprimento de arco e o de curvatura de uma curva plana.
Nesta agenda enunciamos e demonstramos detalhadamente o Teorema Fundamental das Curvas no \(\mathbb{R}^3\)
Nesta agenda fazemos uma revisão do Cálculo Diferencial de funções de \(\mathbb{R}^n\) em \(\mathbb{R}^m\), introduzimos o conceito de superfície regular. atlas, mudança de parâmetros, a primeira e a segunda formas fundamentais, os conceitos de curvatura gaussiana, linhas de curvatura e linhas assintóticas. Provamos detalhadamente resultados como a fórmula de Olinde Rodrigues e o Teorema Egrégio de Gauss.
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