Motivação: o processo de integração segundo Riemann; Integral de Riemann. Partições de um intervalo; Riemann-integrabilidade: soma de Riemann superior e inferior; Propriedades da integral de Riemann; Teorema da Média; Aplicações da integral definida: área da região delimitada por dois gráficos, cálculo do comprimento de curvas, centroide de lâminas planas, volume de sólidos de revolução e áreas de superfícies de revolução. Apêndice: Rudimentos da Teoria de Integração segundo Riemann

Motivação para o estudo de integrais impróprias; Extensões da noção de integral de Riemann; Estudo da convergência ou divergência de integrais impróprias; Aplicações de integrais impróprias; Cálculo de integrais de funções descontínuas em uma quantidade finita de pontos.

Curvas em \( \mathbb{R}^2\) - O sistema de coordenadas polares; Gráficos de funções dadas em coordenadas polares: \( r = f(\theta)\) Como representar graficamente sistemas de inequações em coordenadas polares; Coeficiente angular de uma curva dada em coordenadas polares; Esboço de curvas dadas em coordenadas polares; Como relacionar coordenadas polares e cartesianas; Áreas delimitadas por curvas dadas em coordenadas polares; Área delimitada por duas curvas dadas em coordenadas polares; Cálculo do comprimento de uma curva dada em coordenadas polares; Apêndice: parábolas e elipses em coordenadas polares (com pólo na origem e no foco).

Funções de variável real a valores vetoriais. Limites, continuidade e derivabilidade de tais funções. Classes de diferenciabilidade de funções de variável real a valores vetoriais. Regra da Cadeia. Curvas em \( \mathbb{R}^2\) e em \( \mathbb{R}^3\). Parametrização de curvas em \(\mathbb{R}^2\) e em \(\mathbb{R}^3\) - equações paramétricas. Parametrização de curvas especiais: a reta, a ciclóide, a hélice circular. Aplicações ao estudo dos movimentos. Comprimento de arco. Parametrização de uma curva por comprimento de arco. Vetor tangente unitário e vetor normal unitário principal. Curvatura de uma curva plana.

Funções de várias variáveis reais. Domínio e imagem de funções de duas variáveis reais a valores reais. Esboço do domínio de uma função de duas variáveis reais a valores reais. Operações com funções: soma, subtração, produto e quociente. O gráfico de uma função de duas variáveis reais a valores reais. Curvas de nível e curvas de contorno. Traços e seções. Noções métricas e topológicas de \( \mathbb{R}^2\): bola aberta, ponto interior, ponto de fronteira, interior de um conjunto, fronteira de um conjunto. Conjunto aberto. Ponto de acumulação de um conjunto \( X \subseteq \mathbb{R}^2\). Ponto isolado de um conjunto. Conjunto derivado. Conjunto fechado de \(\mathbb{R}^2\). Conjunto limitado. Conjunto compacto em \(\mathbb{R}^2\). Função limitada. Coberturas abertas. Subcoberturas. Teorema de Heine-Borel (enunciado). Segmento. Linha poligonal. Conjunto conexo por linhas poligonais. Limite de uma função de duas variáveis reais a valores reais. Inexistência de limites (critério dos caminhos).

Funções limitadas e funções infinitésimas. Propriedades dos limites. Limite do módulo, da recíproca, da soma, do produto e do quociente de funções de duas variáveis reais a valores reais. Continuidade de uma função de duas variáveis reais a valores reais. Exemplos: função constante, função linear, função afim, projeções na primeira e na segunda coordenada. Continuidade da soma, produto, recíproca e quociente de funções de duas variáveis reais a valores reais.

Derivadas parciais de uma função em um ponto de seu domínio. Exemplos. Interpretação geométrica das derivadas parciais de uma função de duas variáveis reais a valores reais em um ponto. Função derivada parcial e derivadas parciais de ordem superior de uma função. Classes de diferenciabilidade: funções de classe \(\mathcal{C}^k\,(U;\mathbb{R})\). O Teorema das Derivadas Mistas (Schwarz). Diferenciabilidade de uma função de duas variáveis reais a valores reais em ponto. Exemplos. Definição da diferencial de uma função. Propriedades das funções diferenciáveis. Teorema do Incremento e linearização. Diferenciabilidade \(\Rightarrow \) continuidade. Diferenciabilidade \(\Rightarrow \) existência de derivadas parciais. Condição suficiente para diferenciabilidade de uma função em um dado ponto. Plano tangente ao gráfico de uma função diferenciável em um ponto. Reta normal ao gráfico de uma função de duas variáveis reais a valores reais em um ponto.

Regra da Cadeia para composição de funções \(f: U \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) com funções \( \sigma: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2 \). Exemplos de aplicações. O Teorema da Função Implícita para funções de duas e três variáveis; O vetor gradiente e suas propriedades. Definição precisa de vetor tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis em um ponto; Derivada direcional; O gradiente como vetor que indica a direção e o sentido de maior variação de uma função de duas variáveis.

Fórmula de Taylor com resto de Lagrange; Máximos e mínimos locais; Pontos críticos de uma função. Máximos e mínimos em regiões compactas do plano; Formas bilineares; Formas quadráticas induzidas por uma forma bilinear simétrica; Classificação de formas quadráticas (formas definidas: positivas e negativas e formas indefinidas). Forma quadrática hessiana associada a uma função em um ponto. Classificação de pontos críticos de funções por meio da forma hessiana.

Resumo histórico. Enunciado. Demonstração da regra (devida a Whitford e Klamkin).