Relações planas. Representação geométrica. Produto cartesiano e relações. Domínio, contradomínio, imagem e gráfico de uma relação. Univocidade e totalidade de uma relação. Funções. Funções de uma variável real a valores reais. Preservação e inversão da ordem. Paridade de uma função. Funções definidas por partes. Translações no gráfico de uma função. Funções limitadas e funções periódicas. Injetividade, sobrejetividade e bijetividade. Operações com funções. Inversas laterais de uma função: seções e retrações. A inversa de uma função.

Funções Trigonométricas Diretas: Seno e Cosseno; Estudo de Variações das Funções Trigonométricas Seno e Cosseno; Funções Trigonométricas Diretas: Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante; Funções Trigonométricas Inversas (ou “Funções Ciclométricas”); Modelagem usando as Funções Seno e Cosseno;

Funções exponenciais: motivação e exemplos; Crescimento e decaimento exponencial; Variações das funções exponenciais; Número e: motivação e definição; Irracionalidade do número e; Logaritmos: motivação histórica; Funções logarítmicas; Propriedades das funções logarítmicas deduzidas pelo método axiomático.

Sequências e subsequências; Definição de limite de uma sequência; Definição de soma e de produto de sequências por escalar; Propriedades; Sequências crescentes e decrescentes; Unicidade do limite de uma sequência; Vizinhança (ou entorno) de um ponto: vizinhanças completas e laterais; Ponto de acumulação. Ponto de acumulação lateral. Limites superior e inferior de uma função; Existência de ponto de acumulação: o Teorema de Bolzano-Weierstrass. Definição formal do número e.

Definição formal de limite via épsilons e deltas; Propriedades Aritméticas dos Limites; Definição de limites laterais; Unicidade do limite no caso de sua existência; "O" Teorema

Definição de continuidade de uma função; Definição de função descontínua em um ponto; Propriedades "aritméticas" das funções contínuas; Teorema da Conservação do Sinal; Exemplos de Funções Contínuas; Cálculo de alguns limites.

Mudança de variável na resolução de limites; Extensões do conceito de limite: limites "infinito e menos infinito"; Extensões do conceito de limite: limites laterais "infinito e menos infinito"; Extensões do conceito de limite: limites no "infinito e menos infinito"; Extensões do conceito de limite: limites "infinito e menos infinito" no "infinito e em menos infinito"; Propriedades "operatórias" de limites infinitos e no infinito; Limites no infinito de funções racionais; Cálculo de alguns limites.

O Teorema do Confronto; O Teorema do Confronto para limites laterais à direita; O Teorema do Confronto para limites laterais à esquerda; O Teorema do Confronto para limites no infinito; Funções infinitésimas em um ponto; Produto de uma função infinitésima por uma função limitada em um ponto; Limite trigonométrico fundamental: \({\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}} = 1\); Limite exponencial fundamental: \({\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e}\); Propriedades de Funções Contínuas; O Teorema do Anulamento; O Teorema do Valor Intermediário; O Teorema da Limitação; O Teorema de Weierstrass.

Derivadas. Motivação cinemática; Declividade de uma curva; Derivadas; Derivadas laterais; Derivabilidade e Continuidade; Curvas sem tangentes e movimento browniano; Regras de derivação: derivação da soma, diferença, produto e quociente de funções; Regra da cadeia;

Funções elementares e suas derivadas; - Derivada da função seno; - Derivada da função cosseno; - Derivada da função \( x \mapsto x^n\) com \(n \in \mathbb{Z}\); - Derivada da função exponencial de base \(a \in ]0,1[\cup ]1,\infty[\); - Derivada da função logarítmica; - Derivada da função \(x \mapsto x^{\alpha}\) com \(\alpha \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}.\); - Cálculo de algumas derivadas; - Funções definidas implicitamente por equações; - Derivação de funções dadas implicitamente; - Derivação da função inversa.

Aplicações da Derivada: Regra de L'Hospital; Aplicações da Derivada: Intervalos de crescimento e de decrescimento de uma função; Aplicações da derivada: determinação de extremantes globais; Taxa de variação pontual; O Teorema do Valor Médio; O teste da Derivada Primeira.

Derivadas de ordem superior; A interpretação cinemática da derivada segunda; A concavidade do gráfico de uma função; O teste da derivada segunda; Máximos e mínimos de uma função contínua em um intervalo; Assíntotas do gráfico de uma função; Esboço do gráfico de funções;

Motivação para a integração: área delimitada pela parábola \(y=x^2\), pela reta \(x=1\) e pelos eixos coordenados; A integral de Riemann; Partições de um intervalo; Integrabilidade de funções contínuas; Linearidade da Integral de Riemann; Monotonicidade da Integral de Riemann; Aditividade da Integral de Riemann; O Teorema da Média; O Teorema Fundamental do Cálculo - parte 1; Primitiva de uma função; O Teorema Fundamental do Cálculo - parte 2; Propriedades das integrais indefinidas; O Teorema da Mudança de Variável; Apêndice: rudimentos da teoria da integração segundo Riemann.

Método da mudança de variável (ou substituição); Método da integração por partes; Frações racionais, frações racionais parciais e sua integração; Integração de frações racionais; Integração de certas classes de funções trigonométricas; Integração de produtos de potências de funções trigonométricas; Integração de expressões da forma \(R(x, \sqrt{k \pm x^2})\): Integrais da forma: \(\int R(x, ax^2+bx+c)dx\); Funções cujas integrais não podem ser expressas em termos de funções elementares.

Linearização e diferenciabilidade; Interpretação de dy/dx enquanto um quociente; Diferencial de uma função em um ponto; Variações absoluta, relativa e percentual; Erro na aproximação diferencial; Fórmula de Taylor; Estimativa do erro.

Fatos sobre o conjunto dos números naturais, \(\mathbb{N}\) - axiomas de Dedekind-Peano, Princípio da Boa Ordem. Corpos (domínios de racionalidade). Relações de ordem. Corpos ordenados. O axioma do supremo. Propriedade arquimediana de \(\mathbb{R}\). O Teorema dos Intervalos Encaixados. Um contraexemplo para o estudo de limites.