4 Matrizes e Sistemas Lineares

Com a linguagem das operações com matrizes, podemos escrever o sistema (2) em notação matricial: $Ax=b$, onde

\[ A=(a_{ij})\in M_{{m}\times {n}}(\mathbb {R}),\qquad x=(x_j)\in M_{{n}\times {1}}(\mathbb {R}),\qquad \text{e}\qquad b=(b_i)\in M_{{m}\times {1}}(\mathbb {R}). \]

Além dessa representação, podemos utilizar as operações matriciais para interpretar geometricamente, e de duas maneiras, um sistema linear. Neste primeiro momento faremos o caso de sistemas $2\times 2$. Para isso, precisamos do conhecimento das equações de retas no plano cartesiano, ou seja, da representação gráfica do conjunto solução de equações do tipo $ax+by=c$ e algum conhecimento básico de vetores, como o estudado para Física no ensino médio. Futuramente seremos capazes de intpretar geometricamente sistemas com $3$ variáveis e, com um pouco de abstração, enxergar a situação em $n$ variáveis!

Interpretação por linhas: Considerando o sistema $\left\{ \begin{aligned} ax+by& =c\\ dx+ey& =f \end{aligned}\right.$, nas variáveis $x$ e $y$, temos que o conjunto solução de cada equação separadamente é uma reta e, portanto, o conjunto solução do sistema é a interseção dessas duas retas. Vejamos todas as possibilidades em exemplos concretos:

$\left\{ \begin{aligned} 2x+3y& =7\\ x-y& =1 \end{aligned}\right.$ tem solução única:

$\begin{tikzpicture} \draw[-Stealth] (-3,0) -- (5,0) node[below] {$x$}; \draw[-Stealth] (0,-3) -- (0,3) node[right] {$y$}; \draw[blue, thick, domain=-2:4.5] plot (\x, {(7-2*\x)/3}) node[right]{$2x+3y=7$}; \draw[purple, thick, domain=-2:4] plot (\x, {\x-1}) node[right]{$x-y=1$}; \filldraw (2,1) circle (2pt); \draw[dashed] (-0.25,1) node[left]{$1$} -- (2,1) -- (2,-0.25) node[below]{$2$}; \end{tikzpicture}$
$\left\{ \begin{aligned} 2x+3y& =1\\ 4x+6y& =2 \end{aligned}\right.$ tem infinitas soluções:

$\begin{tikzpicture} \draw[-Stealth] (-3,0) -- (5,0) node[below] {$x$}; \draw[-Stealth] (0,-3) -- (0,3) node[right] {$y$}; \draw[blue, very thick, domain=-3:5] plot (\x, {(1-2*\x)/3}) node[above right]{$2x+3y=1$}; \draw[purple, thick, domain=-3:5] plot (\x, {(1-2*\x)/3}) node[right]{$4x+6y=2$} ; \end{tikzpicture}$
$\left\{ \begin{aligned} 2x+3y& =1\\ 4x+6y& =12 \end{aligned}\right.$ não tem soluções:

$\begin{tikzpicture} \draw[-Stealth] (-3,0) -- (5,0) node[below] {$x$}; \draw[-Stealth] (0,-3) -- (0,3) node[right] {$y$}; \draw[blue, thick, domain=-3:5] plot (\x, {(1-2*\x)/3}) node[right]{$2x+3y=1$}; \draw[purple, thick, domain=-3:5] plot (\x, {(12-4*\x)/6}) node[right]{$4x+6y=12$} ; \end{tikzpicture}$

Interpretação por colunas: Usando a operação multiplicação entre matrizes e escalares, podemos escrever o sistema $\left\{ \begin{aligned} ax+by& =c\\ dx+ey& =f \end{aligned}\right.$ como uma equação matricial:

\[ x \begin{bmatrix} a \\ d \end{bmatrix}+y \begin{bmatrix} b \\ e \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} c \\ f \end{bmatrix}. \]

Identificando as matrizes coluna com vetores no plano cartesiano, ou seja $ \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\sim \vec{u}=(a,b)$ e $ \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\sim \vec{v}=(c,d)$, essa equação pergunta se é possível, partindo da origem, chegar ao ponto $(e,f)$, andando somente em direções paralelas aos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$. Vejamos essa interpretação nos exemplos acima:

$\left\{ \begin{aligned} 2x+3y& =7\\ x-y& =1 \end{aligned}\right.\sim x \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}+y \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \end{bmatrix}$:

$\begin{tikzpicture} \draw[-Stealth] (-0.5,0) -- (8,0); \draw[-Stealth] (0,-1.5) -- (0,3); \draw[blue, thick, -Stealth] (0,0)--(2,1) node[above]{$\vec{u}$}; \draw[purple, thick, -Stealth] (0,0)--(3,-1) node[below]{$\vec{v}$}; \draw[dashed, blue, thick, -Stealth] (0,0)--(4,2) node[above]{$2\vec{u}$}; \draw[dashed, purple, -Stealth] (4,2)--(7,1) node[above]{$\vec{v}$}; \draw[thick, -Stealth] (0,0)--(7,1) node[below]{$2\vec{u}+\vec{v}$}; \filldraw (7,1) circle (2pt); \end{tikzpicture}$

Futuramente vamos justificar exatamente tudo o que está acontecendo aqui dentro da teoria de vetores. Note que a indicação das variáveis $x$ e $y$ não estão mais nos eixos. Por que será?
$\left\{ \begin{aligned} 3x+2y& =2\\ 6x+4y& =1 \end{aligned}\right.\sim x \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix}+y \begin{bmatrix} 6 \\ 3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$:

$\begin{tikzpicture} \draw[-Stealth] (-0.5,0) -- (7,0); \draw[-Stealth] (0,-0.5) -- (0,4); \draw[purple, thick, -Stealth] (0,0)--(6,3) node[right]{$\vec{v}$}; \draw[blue, thick, -Stealth] (0,0)--(4,2) node[below]{$\vec{u}$}; \draw[thick, -Stealth] (0,0)--(2,1); \filldraw (2,1) circle (2pt); \end{tikzpicture}$

Aqui é possível atingir o ponto $(2,1)$ de infinitas maneiras: para cada número real $\lambda $, tomando $x=\lambda $ e $y=\dfrac {2-3\lambda }{2}$ teremos uma solução.
$\left\{ \begin{aligned} 3x+2y& =12\\ 6x+4y& =1 \end{aligned}\right.\sim x \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix}+y \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 12 \\ 1 \end{bmatrix}$:

$\begin{tikzpicture} \draw[-Stealth] (-0.5,0) -- (13,0); \draw[-Stealth] (0,-0.5) -- (0,4); \draw[purple, thick, -Stealth] (0,0)--(6,3) node[right]{$\vec{v}$}; \draw[blue, thick, -Stealth] (0,0)--(4,2) node[below]{$\vec{u}$}; \draw[thick, -Stealth] (0,0)--(12,1); \filldraw (12,1) circle (2pt); \end{tikzpicture}$

Aqui é impossível atingir o ponto $(1,2)$ andando apenas na direção dos vetores $(6,3)$ e $(2,4)$, evidenciando que o sistema não solução.

Passamos agora a uma abordagem ingênua para tentarmos analisar sistemas lineares. Iniciamos com o caso mais simples, ou seja, $m=n=1$. Nesse caso, o sistema é $ax=b$, onde $a,b\in \mathbb {R}$. Temos casos a analisar:

se $a\neq 0$, então existe $\dfrac {1}{a}=a^{-1}\in \mathbb {R}$ tal que $a^{-1}a=1$ (elemento neutro da multiplicação, análogo à matriz identidade). Dessa forma

\[ ax=b\implies a^{-1}(ax)=a^{-1}b\implies (a^{-1}a)x=a^{-1}b\implies 1x=a^{-1}b\implies x=a^{-1}b=\dfrac {b}{a}, \]

é a única solução da equação!
se $a=0$, então não existe $a^{-1}$ como acima. A equação aqui assume $0x=b$, que só tem solução se $b=0$ (em que qualquer $x\in \mathbb {R}$ é solução).

Queremos imitar isso no caso geral: escrevemos um sistema $m\times n$ na forma matricial $Ax=b$, onde $A\in M_{{m}\times {n}}(\mathbb {R})$, $b\in M_{{m}\times {1}}(\mathbb {R})$ são respectivamente a matriz de coeficientes e de termos independentes, enquanto $x\in M_{{n}\times {1}}(\mathbb {R})$ é a matriz com as incógnitas. Para resolver esse sistema, procuramos uma matriz que faria o papel de inverso multiplicativo (à esquerda). Se $Y$ é tal matriz, então teremos

\[ Ax=b\implies Y(Ax)=Yb\implies (YA)x=Yb\implies I_nx=Yb\implies x=Yb. \]

Ainda não temos um método geral para determinar a matrix $Y$ acima, mas vamos experimentar isso num caso concreto.

Exemplo

Considere o sistema

\[ \left\{ \begin{aligned} ax+by& =\alpha \\ cx+dy& =\beta \end{aligned}\right. \sim \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}. \]

Queremos uma matriz $Y= \begin{bmatrix} k & l \\ m & n \end{bmatrix}$ tal que

\[ \begin{bmatrix} k & l \\ m & n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Podemos verificar diretamente que a matriz $Y= \dfrac {1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ atende à propriedade desejada. De sua expressão fica claro que $Y$ só existe se $ad-bc\neq 0$. Esse número é determinante ¹ para garantir a existência dessa inversa.