1 Sistemas de Equações Lineares

Definição 1 Equação Linear

Uma equação linear nas \(n\) incógnitas \(x_1,x_2,\ldots ,x_n\) é uma expressão do tipo

\begin{equation} \label{eq:eqlin} a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_nx_n=b, \end{equation}

onde \(a_1,\ldots ,a_n\in \mathbb {R}\) são os coeficientes e \(b\in \mathbb {R}\) é o termo independente da equação.

Observação

Os símbolos utilizados para descrever as incógnitas da equação não são importantes, a informação relevantes está nos coeficientes e no termo independente, como vemos nos exemplos a seguir.

Exemplo

São exemplos de equações lineares:

\(n=1\): \(ax=b\) e \(ax_1=b\), com \(a,b\in \mathbb {R}\), representam a mesma equação linear com uma incógnita.
\(n=2\): \(a_1x_1+a_2x_2=b\) e \(a_1x+a_2y=b\), com \(a_1,a_2,b \in \mathbb {R}\), representam a mesma equação linear com duas incógnitas.
\(n=3\): \(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b\) e \(a_1x+a_2y+a_3z=b\), representam a mesma equação linear com três incógnitas.
\(a_1x^2+a_2xy+a_3y^2=b\) e \(a_1\sin (x_1)+a_2\cos (x_2)=b\), com \(a_1,a_2,b\in \mathbb {R}\), são exemplos de equações não lineares nas incóginitas \(x_1\) e \(x_2\).

Definição 2 Solução de uma Equação Linear

Uma solução para a equação linear (1) é uma coleção de \(n\) números reais \(\alpha _1,\ldots ,\alpha _n\) tais que

\[ a_1\alpha _1+\cdots +a_n\alpha _n=b. \]

Exemplo

\(2x=4\) tem \(x=2\) como (a única) solução.
\(0x=2\) não admite soluções reais.
\(0x=0\) tem qualquer número real como solução.
\(3x+2y=7\) tem \(x=1\) e \(y=2\) como solução; \(x=2\) e \(y=\dfrac {1}{2}\) é outrra solução para equação. Você consegue achar quantas outras soluções nesse caso?
\(3x+0y=6\) tem \(x=\) e \(y\) um número real qualquer como (todas!) as suas soluções.

Observação

Os coeficientes e o termo independente de uma equação determinam quantas e quais são as suas soluções.

Definição 3 Sistemas de Equações Lineares

Um sistema de equações lineares (ou simplesmente, um sistema linear) com \(m\) equações lineares a \(n\) incógnitas é uma coleção de equações lineares:

\begin{equation} \label{eq:sistlin} \left\{ \begin{array}{ccccccc} a_{11}x_1& +& \cdots & +& a_{1n}x_n& =& b_1\\ a_{21}x_1& +& \cdots & +& a_{2n}x_n& =& b_2\\ & & \vdots & & & & \vdots \\ a_{m1}x_1& +& \cdots & +& a_{mn}x_n& =& b_m\\ \end{array}\right. \end{equation}

Dizemos também, para simplificar, que este é um sistema \(m\times n\).

Exemplo

São exemplos de sistemas lineares:

todas as equações lineares do exemplo anterior (\(m=1\));
\(m=n=2\): \( \left\{ \begin{aligned} x+2y& =5\\ 3x-4y& =-5 \end{aligned}\right.\);
\(m=2\), \(n=3\): \( \left\{ \begin{aligned} 2x+4y-3z& =3\\ 0x-2y+z& =-1 \end{aligned}\right.\);
\(m=3\), \(n=2\): \( \left\{ \begin{aligned} x+2y& =5\\ 3x-4y& =-5\\ x-y& =4 \end{aligned}\right.\);
\(m=n=3\): \( \left\{ \begin{aligned} 2x+4y-3z& =3\\ 0x-2y+z& =-1\\ 2x+2y-2z& =1 \end{aligned}\right.\).

Definição 4 Solução de um Sistema Linear

Uma solução para o sistema linear dado em (2) é uma coleção de \(n\) números reais que é solução de todas as \(m\) equações simultaneamente.

Exemplo

Nos casos do exemplo anterior:

\(\left\{ \begin{aligned} x+2y& =5\\ 3x-4y& =-5 \end{aligned}\right.\) tem \(x=1\) e \(y=2\) como (a única solução);
\(\left\{ \begin{aligned} 2x+4y-3z& =3\\ 0x-2y+z& =-1 \end{aligned}\right.\) tem \(x=y=z=1\) como solução (existem outras?);
Como ter certeza que os dois últimos exemplos não admitem nenhuma solução?

Definição 5 Nomenclatura para sistemas lineares

Diremos que um sistema linear é possível e determinado (SPD), se admite uma única solução, possível e indeterminado (SPI), se se admite mais de uma solução e incompatível (SI), se não admite soluções.

Perguntas que serão respondidas com as próximas seções:

Como decidir se um sistema linear tem soluções ou não?
Se tiver uma solução como saber se tem outra?