7 Aplicação: Polinômios Interpoladores

Terminamos estas notas apresentando uma solução para o problema de interpolação polinomial, ou seja, dada uma coleção de pontos \((x_i,y_i)\in \mathbb {R}^2\), \(1\leq i\leq n\), chamados de âncoras, tais que \(x_i\neq x_j\), se \(i\neq j\), determinar uma função polinomial cujo gráfico contenha os pontos dados. Mais precisamente, procuramos uma função polinomial \(f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}\) tal que \(f(x_i)=y_i\), para \(1\leq i\leq n\). Tal função é chamada de polinômio interpolador.

Na Figura 1 acima podemos verificar que \(f(x)=-\dfrac {x^4}{16}-\dfrac {x^3}{8}+x^2+x-2\) é um polinômio interpolador para as âncoras indicadas. Por outro, lado \(g(x)=\dfrac {x^2}{4}+\dfrac {x}{2}\) também é um polinômio interpolador para essas mesmas âncoras.

A situação acima mostra que polinômios interpoladores não são únicos quando existem e, em geral, podem não existir: nem sempre é possível encontrar uma função polinomial de primeiro grau cujo gráfico (que é uma reta) passe por três pontos dados. Qual é a condição geométrica para que isso aconteça?

Em geral é interessante encontrar polinômios interpoladores com o menor grau possível. Para isso, vamos traduzir o problema para a linguagem de sistemas lineares e então discutir a existênicia e a unicidade de soluções em termos do grau pretendido e do número de âncoras.

Se são dadas \(m\) âncoras, \((x_i,y_i)\), \(1\leq i\leq m\) e procuramos uma função polinomial de grau no máximo \(n\), precisamos determinar \(n+1\) números reais, \(a_0,\ldots ,a_n\), tais que a função \(f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}\), dada por \(f(x)=a_nx^n+\cdots +a_1x+a_0\), satisfaça

Temos então \(m\) equações lineares nas \(n+1\) incógnitas \(a_0,\ldots ,a_n\):

Estudar esse sistema requer a aplicação da eliminação Gaussiana à matriz aumentada. Após esse processo algumas linhas podem tornar-se identicamente nulas. Isso significa que a informação contida naquelas equações do sistema é irrelevante, já estando codificada na demais equações. No caso da interpolação polinomial isso significa que as respectivas âncoras não impõe condições adicionais para o ajuste da curva. Em outras palavras, o gráfico do polinômio interpolador que passa pelos demais pontos já passaria automaticamente por esses. É o caso de pedirmos, por exemplo, uma função polinomial cujo gráfico passa por três pontos colineares distintos (quaisquer dois deles determinam a mesma reta, que sempre vai passar pelo terceiro).

Descartando então as linhas identicamente nulas após a eliminação Gaussiana, temos uma matriz aumentada \([A|b]\) com \(k\) linhas \(n+2\) colunas (não custa lembrar aqui que inclu[imos a coluna de termos independentes). Feito isso, onsideramos os casos:

• se \(k{\gt}n+1\), então, necessariamente, ao menos uma das linhas de \([A|b]\) é identicamente nula, à exceção do último elemento. Iso caracteriza a matriz aumentada de um sistema incompatível, mostrado que não existe polinômio interpolador de grau no máximo \(n\) que passa pelas \(m\) âncoras.

• se \(k{\lt}n+1\), então a matriz aumentada é do tipo que determina um sistema possível e indeterminado, ou seja, existem infinitos polinômios interpoladores que passam pelas \(m\) âncoras.

• Se \(k=n+1\) a matriz de coeficientes, \(A\), é quadrada e conhecida como matriz de Vandermonde, cujo determinante é, a menos eventualmente de sinal, da forma

  \[ \det (A)=\prod _{1\leq i{\lt} j\leq m} (x_j-x_i), \]

  que é sempre não nulo, pois as abscissas das âncoras são todas distintas. Assim sendo, o exercício da seção anterior garante que o sistema é possível e determinado. Isso mostra a existência de um único polinômio interpolador de grau no máximo \(n\) para as âncoras fornecidas.

Exemplo

Determine, caso existam, as funções polinomiais de segundo grau, cujos gráficos passam pelos pontos \((-4,2)\) e \((-2,1)\).

Senfo \(f(x)=ax^2+bx+c\), as equações para os coeficientes são

\[ \left\{ \begin{aligned} 16a-4b+c& =2\\ 4a-2b+c& =1 \end{aligned}\right.\sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 16& -4& 1& 2\\ 4& -2& 1& 1 \end{array}\right]\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1& 0& -\frac{1}{8}& 0\\ 0& 1& -\frac{3}{4}& -\frac{1}{2} \end{array}\right]. \]

Assim, o sistema é possível e indeterminado, sendo a solução geral da forma \(a=\dfrac {c}{8}\) e \(b=-\dfrac {1}{2}+\dfrac {3c}{4}\), para todo \(c\in \mathbb {R}\). A forma geral das funções procuradas é

\[ f_c(x)=\dfrac {c}{8}x^2+\Big(\frac{3c}{4}-\frac{1}{2}\Big)x+c,\quad c\in \mathbb {R}. \]

Verique que essa família de funções atendo o pedido.

Exemplo

Determine, caso existam, as funções polinomiais de segundo grau, cujos gráficos pelos pontos \((-4,2)\), \((-2,1)\), \((0,1)\) e \((1,\frac{11}{8})\).

Repetindo as ideias dos exemplos anteriores temos a matriz aumentada

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 16& -4& 1& 2\\ 4& -2& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 1& 1& 1& \frac{11}{8} \end{array}\right]\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1& 0& 0& \frac{1}{8}\\ 0& 1& 0& \frac{1}{4}\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0 \end{array}\right], \]

ou seja, um sistema possível e determinado dizendo que \(f(x)=\dfrac {1}{8}x^2+\dfrac {1}{4}x+1\).