6.2 Determinantes
Nesta seção construiremos recursivamente 1 uma fução que associa a cada matriz quadrada um número real. Este número tem um significado geométrico muito forte que será apresentado nas aulas seguintes. Por enquanto faremos uma abordagem puramente algébrica e, apesar disso, não muito rigorosa. Entretanto, observaremos o que precisa ser provado para garantir que o objeto em questão está bem definido.
Seja \(A\in M_{n}(\mathbb {R})\) uma matriz quadrada. O determinante de \(A\), \(\det (A)\), é o número real assim definido:
se \(n=1\), então \(A=[a]\) e \(\det (A)=a\);
se \(n{\gt}1\), então escolha qualquer linha \(1\leq i\leq n\) da matriz e então
\[ \det (A)=\sum _{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}\det (A_{ij}), \]onde \(A_{ij}\in M_{n-1}(\mathbb {R})\) é a matriz obtida removendo-se a linha \(i\) e a coluna \(j\) de \(A\).
O número real \(\tilde{a}_{ij}=(-1)^{i+j}\det (A_{ij})\) é chamado de cofator do elemento \(a_{ij}\) e a matriz \(\tilde{A}=(\tilde{a}_{ij})\) e a matriz de cofatores de \(A\) e sua transposta, \((\tilde{A})^t\) é chamada de matriz adjunta de \(A\).
Uma pergunta natural aqui é: por que podemos escolher qualquer linha para computar o determinante quando \(n{\gt}1\), quem garante que o resultado será sempre o mesmo?
Obviamente isso precisaria ser provado, pois o que apresentamos aqui não é definição formal do determinante e sim um algoritmo para calculá-lo (conhecido como regra de Laplace). Você deve ter visto outros métodos para fazer em isso em casos especiais (a regra de Sarrus, quando \(n=3\), por exemplo).
Vamos calcular alguns determinantes:
\(n=1\): \(A=[2]\implies \det (A)=2\)
\(n=2\): \(A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\). Escolhendo a primeira linha, \(i=1\), temos
\begin{align*} \det (A) & =(-1)^{1+1}a_{11}\det \big([a_{22}]\big)+ (-1)^{1+2}a_{12}\det \big([a_{21}]\big)\\ & =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=1\cdot 4-2\cdot 3=-2. \end{align*}Repita o processo escolhendo a linha \(i=2\) e compare os resultados.
\(n=2\): \(A= \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}\). Usando novamente a primeira linha e observando que a fórmula é a mesma do caso acima acima, vem que:
\[ \det (A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=2\cdot 6-3\cdot 4=0. \]\(n=3\): \(A= \begin{bmatrix} 2 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \end{bmatrix}\). Vamos usar a segunda linha:
\begin{align*} \det (A) & =(-1)^{2+1}a_{21}\det (A_{21})+(-1)^{2+2}a_{22}\det (A_{22})+(-1)^{2+3}a_{23}\det (A_{23})\\ & =-a_{21}\det \left( \begin{bmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\right)+ a_{22}\det \left( \begin{bmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix}\right)- a_{23}\det \left( \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}\right)\\ & =-a_{21}(a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32})+a_{22}(a_{11}a_{33} -a_{13}a_{31})-a_{23}(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{31})\\ & =0\big(4\cdot (-2)-(-3)\cdot 2\big)+(-2)\big(2\cdot (-2)-(-3)\cdot 2\big)-1\big(2\cdot 2-4\cdot 2\big)=0. \end{align*}
O processo de eliminação gaussiana não preserva o determinante de uma matriz. No segungo exemplo acima, aplicando este algoritmo à matriz obtermos a matriz identidade \(I_2\), cujo determinante é \(1\). Por outro lado, no terceiro exemplo a matriz resultante após a eliminação Gaussiana é \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\), cujo determinante é \(0\), exatamente como o da matriz original.
Isto também tem uma interpretação geométrica importante, que também será abordada em momento oportuno. Adiantando um pouco: note que, no terceiro exemplo, a segunda linha é o dobro da primeira; no quarto exemplo, a terceira linha é a soma das daus primeiras. Veja como isso interage com as interpretações geométricas dos sistemas lineares, feito na Seção 4.
Listamos algumas propriedades dos determinantes em relação às operações de produto de matrizes, transposição e a matriz de cofatores. A demosntração de tais fatos é um tanto técnica e pode ser omitida neste momento.
Sejam \(A,B\in M_{n}(\mathbb {R})\). Então,
se \(C\) é a matriz obtida ao multiplicarmos uma única linha de \(A\) por um escalar \(\alpha \), então \(\det (C)=\alpha \det (A)\);
se as matrizes \(A\) e \(B\) coincidem, exceto por uma linha, então a matriz \(C\) obtida copiando-se essas linhas idênticas e somando-se aquelas em que diferem, então \(\det (C)=\det (A)+\det (B)\).
trocar duas linhas de linhas de posição numa matriz, troca o sinal de seu determinante;
\(\det (\alpha A)=\alpha ^n\det (A)\);
\(\det (AB)=\det (A)\det (B)\);
\(\det (A^t)=\det (A)\);
\(A(\tilde{A})^t=(\tilde{A})^tA=\det (A)I_n\).
O último item do teorema acima nos diz que a inversa de uma matriz \(A\), quando existir pode ser calculada como \(A^{-1}=\dfrac {1}{\det (A)}(\tilde{A})^t\). Em outras palavras, a inversa de uma matriz é a transposta de seus cofatores, dividida pelo seu determinante.
Além disso, podemos também concluir que \(A\) é invertível se, e somente se, \(\det (A)\neq 0\).
Vejamos um exemplo concreto de verificação da segunda propriedade: sejam \(A= \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\) e \(A= \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\). Então \(C= \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\). Verifique que \(\det (C)=\det (A)+\det (B)\).
Verifique através de um exemplo que \(\det (A+B)\neq \det (A)+\det (B)\).
Verifique com exemplos concretos interessantes, cada uma das propriedades acima.
Mostre que se uma matriz tem duas linhas iguais ou duas colunas iguais, então seu determinante se anula.
Mostre que se \(A\in M_{n}(\mathbb {R})\), o sistema \(Ax=b\) tem solução única se, e somente se, \(\det (A)\neq 0\). O que pode acontecer se \(\det (A)=0\)?
Desafio: será que, usando as propriedades acima, conseguimos estabelecer uma relação entre o determinante uma matriz e o determinante dela na sua forma escalonada reduzida por linhas? Pense no que acontece a cada etapa do processo de eliminação Gaussiana.