Sistemas Lineares e Matrizes: A Notação de Somatório

3.3 A Notação de Somatório

Aqui vamos dar um significado para expressões do tipo \(\sum \limits _{i=1}^n a_i\), onde \(a_i\in \mathbb {R}\) para \(1\leq i\leq n\) ¹ .

A ideia é que essa notação abrevia uma soma de termos cujos valores estão atrelados ao índice da soma, nesse caso a variável \(i\). Por exemplo,

\[ \sum \limits _{i=1}^6 a_i=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6, \]

ou, de maneira ainda mais concreta,

\[ \sum \limits _{i=1}^4 \dfrac {1}{i}=\dfrac {1}{1}+\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{3}+\dfrac {1}{4}=\dfrac {25}{12}. \]

No que se segue trataremos apenas de somatórios envolvendo números reais como somandos. Em termos computacionais, podemos encarar esse somatório como laço que acumula os termos da sequência de elementos \(a_i\) numa variável. Você pode tentar escrever um programa de computador que calcula o exemplo acima. Em Python, ele se parece com algo do tipo:

soma = 0

for i in range(1, 5):
    soma += 1 / i

print(f"A soma dos inversos dos inteiros de 1 a 4 é: {soma}")

Vale a pena observar que a variável índice da somatória pode ser substituída por qualquer outra letra e o resultado não se altera:

\[ \sum \limits _{i=1}^4 \dfrac {1}{i}=\sum \limits _{k=1}^4 \dfrac {1}{k}, \]

assim como trocar o indexador do laço no código não altera o comportamento e resultado do algoritmo.

Exemplo

Vejamos como traduzir para a notação de somatório algumas afirmações em língua portuguesa:

A soma dos quadrados dos \(20\) primeiros números naturais: \(\sum \limits _{k=0}^{19}k^2\);
A soma dos \(n\) primeiros termos de uma progressão geométrica de termo inicial \(a\) e razão \(r\): \(\sum \limits _{j=1}^nar^{j-1}\). É um exercício legal mostrar que essa soma vale \(\dfrac {a(r^n-1)}{r-1}\);

Proposição 10

Valem as seguintes propriedades para somatórios:

\[ \alpha \sum \limits _{k=1}^{n}a_k=\sum \limits _{k=0}^{n}\alpha a_k\qquad \text{e}\qquad \sum \limits _{k=0}^{n}a_k+\sum \limits _{k=0}^{n}b_k=\sum \limits _{k=0}^{n}a_k+b_k. \]

Demonstração ▼

Exercício.

Não raramente nos deparamos com somatórios duplos (triplas, etc.). Por exemplo, a soma

\[ \sum \limits _{i,j=1}^{3} a_{ij} \]

pode ser lida como soma de todas entradas da matriz \(A=(a_{ij})\in M_{3}(\mathbb {R})\). Em termos computacionais isso corresponde a laços encaixados, veja um código em Python para isso:

soma = 0

A=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]

for i in range(1,4):
    for j in range(1,4):
        soma += A[i][j]

print(f"A soma de todas as entradas da matriz é: {soma}")

No código acima acumulamos a soma de todos os elementos, um por vez, de uma linha e depois passamos para a linha seguinte pois para cada \(i\) fixado, percorremos todos os valores de \(j\). Se invertermos a ordem dos comandos de laço, faremos a soma com cada coluna de uma vez. Neste caso, as somas são as mesmas (por quê?) ² Com isso podemos perceber que

\[ \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3} a_{ij}=\sum \limits _{i,j=1}^{3} a_{ij}=\sum \limits _{j=1}^{3}\sum \limits _{i=1}^{3} a_{ij}. \]

Finalmente, também não é difícil verificar que

\[ \left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_i\right)\left(\sum \limits _{j=1}^{n}b_j\right)=\sum \limits _{i,j=1}^{n} a_ib_j. \]

Exercício

Definindo \(\displaystyle {\binom {n}{k}=\dfrac {n!}{k!(n-k)!}}\) (ou seja, o número de maneiras de escolhermos \(k\) elementos de um conjunto com \(n\) elementos), calcule

\[ \sum \limits _{i=0}^{n}\binom {n}{i}\qquad \text{e}\qquad \sum \limits _{i=0}^{n}(-1)^n\binom {n}{i}. \]
É verdade que \(\displaystyle {\left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_i\right)\left(\sum \limits _{i=1}^{n}b_i\right)= \sum \limits _{i=1}^{n} a_ib_i}\)? Justifique.

Ao infinito e além: apesar de não aparecer neste curso é frequente precisarmos estudar somas com uma quantidade infinita de parcelas. Vejamos alguns exemplos:

Soma das parcelas de uma progressão geométrica infinita, de termo inicial \(a\) e razão \(r\): \(\displaystyle {S=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a r^n=a\sum \limits _{n=0}^{\infty }r^n}\). Pode-se mostrar que \(S\) é um número real se, e somente se \(|r|{\lt}1\) e, nesse caso, \(S=\dfrac {a}{1-r}\). Você consegue verificar esse fato?
Pode-se mostrar que \(\displaystyle {\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}}\) não é um número real, mas que \(\displaystyle {\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac {(-1)^{n+1}}{n} =\ln (2)}\) e que \(\displaystyle {\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n^2}=\dfrac {\pi ^2}{6}}\).