3.1 Soma de Matrizes
Dadas duas matrizes \(A=(a_{ij})\) e \(B=(b_{ij})\), ambas em \(M_{{m}\times {n}}(\mathbb {R})\), definimos a matriz \(A+B\), também em \(M_{{m}\times {n}}(\mathbb {R})\), por
Ou seja, cada entrada de \(A+B\) é dado pela soma dos números reais nas entradas correspondentes de \(A\) e \(B\).
se \(A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) e \(B= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}\), então \(A+B= \begin{bmatrix} 1+2 & 2+1 \\ 3+5 & 4+6 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 8 & 10 \end{bmatrix}\).
se \(A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \end{bmatrix}\) e \(B= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\), então \(A+B= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \end{bmatrix}\).
se \(A= \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -1 & 4 & 4 \end{bmatrix}\) e \(B= \begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 1 & -4 & -4 \end{bmatrix}\), então \(A+B= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\).
Algumas das propriedades principais da soma de matrizes estão listadas abaixo.
Se \(A,B,C\in M_{{m}\times {n}}(\mathbb {R})\), então
\(A+B=B+A\) (comutativa);
\(A+(B+C)=(A+B)+C\) (associativa);
existe \(\mathbb {0}\in M_{{m}\times {n}}(\mathbb {R})\) tal que \(A+\mathbb {0}=\mathbb {0}+A=A\), para qualquer matriz \(A\in M_{{m}\times {n}}(\mathbb {R})\) (elemento neutro);
dada qualquer \(A\in M_{{m}\times {n}}(\mathbb {R})\), existe \(-A\in M_{{m}\times {n}}(\mathbb {R})\), tal que \(A+(-A)=(-A)+A=\mathbb {0}\) (elemento oposto).
Faremos em sala de aula.
Dos exemplos acima podemos inferir que a matriz com todas as entradas nulas funciona como elemento neutro. Além disso, observamos também a matriz cujas entradas são os opostos das entradas de \(A\) funciona como elemento oposto de \(A\). Verifique esses fatos no caso geral.
Verifique que tanto o elemento neutro, quanto o elemento oposto são únicos (faremos isso em sala, se necessário).