3.2 Multiplicação de um Escalar por uma Matriz
Dado um escalar (número real) \(\alpha \) e uma matriz \(A=(a_{ij})\in M_{{m}\times {m}}(\mathbb {R})\), definimos a matriz \(\alpha A\in M_{{m}\times {n}}(\mathbb {R})\) por
\(2\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ -4 & 0 & 14 \end{bmatrix}\);
\(3\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \end{bmatrix}+2\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 & 10 & 15 \\ -10 & 0 & 35 \end{bmatrix}=(3+2)\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \end{bmatrix}\);
Inspirando-nos nos exemplos acima podemos verificar as propriedades da multiplicação por escalar, enumeradas abaixo.
Sejam \(\alpha ,\beta \in \mathbb {R}\) e \(A=(a_{ij}),B=(b_{ij})\in M_{{m}\times {n}}(\mathbb {R})\). Então
\(\alpha (\beta A)=(\alpha \beta )A=(\beta \alpha A)=\beta (\alpha A)\);
\((\alpha +\beta )A=\alpha A+\beta A\);
\(\alpha (A+B)=\alpha A+\alpha B\);
\(1A=A\).
Faremos em sala.
Em vista da definição e dessas propriedades podemos abusar um pouco da notação e escrever livremente \(A\alpha \), definido da mesma forma que \(\alpha A\).
Usando as propriedades acima verifique que \(0A=\mathbb {0}\), \(\alpha \mathbb {0}=\mathbb {0}\) e que \((-1)A=-A\).