Capítulo 15 Grandes Desvios

Seja (Xn)n(X_{n})_{n} uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. com média μ\mu e variância σ2\sigma^{2}. Escrevendo Sn=X1+⋯+XnS_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}, a Lei dos Grandes Números nos diz que

Snn⁢→q.c.⁢μ,\frac{S_{n}}{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}\mu,

e o Teorema do Limite Central mostra que

Sn−n⁢μσ⁢n⁢→d⁢𝒩.\frac{S_{n}-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}% \mathcal{N}.

Em palavras, a Lei dos Grandes Números mostra que a média observada Snn\frac{S_{n}}{n} converge para μ\mu, enquanto o Teorema do Limite Central nos diz que os desvios de SnS_{n} em torno de sua média n⁢μn\mu são tipicamente da ordem de n\sqrt{n}. Neste capítulo estudamos

ℙ⁢(|Snn−μ|⩾ε⁢n)\mathbb{P}\Big{(}\Big{|}\frac{S_{n}}{n}-\mu\Big{|}\geqslant\varepsilon n\Big{)}

para nn grande, isto é, consideramos o evento, muito improvável, de que a diferença entre SnS_{n} e sua média seja da ordem de nn. Um desvio dessa ordem é chamado um grande desvio. Mais precisamente, vamos estudar a Desigualdade de Concentração de Chernoff e o Princípio dos Grande Desvios de Cramér, que nos dizem como se comporta a probabilidade de tais desvios.

Notação. O termo o⁢(bn)o(b_{n}) denota alguma função g⁢(n)g(n) satisfazendo g⁢(n)bn→0\frac{g(n)}{b_{n}}\to 0 quando n→∞n\to\infty. Cada vez que aparece, pode denotar uma função diferente.