Capítulo 5 Esperança Matemática

A esperança $\mathbb{E}X$ de uma variável aleatória $X$ é a média dos valores assumidos por $X$, ponderada pela probabilidade de $X$ assumir esses valores. Podemos pensar em $\mathbb{E}X$ como sendo o “centro de massa” de $X$. A esperança de $X$ é, em vários sentidos, a melhor aproximação determinística para a variável aleatória $X$.

Uma das justificativas mais importantes, que veremos mais adiante, é a lei dos grandes números: se $X_{1},\dots,X_{n}$ são independentes e têm a mesma distribuição, então a média observada $\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_{j}$ se aproxima de $\mathbb{E}X_{1}$ quando tomamos $n$ grande.

Começaremos definindo a esperança e estudando suas propriedades básicas, o que cumpriremos nas duas primeiras seções. Depois veremos propriedades de convergência da esperança, que serão usadas em algumas passagens específicas dos próximos capítulos, e a definição de esperança condicional dado um evento, que será usada no capítulo de esperança condicional.

Na última seção, que constitui a metade deste capítulo, vamos construir a integral de Lebesgue e estudar algumas das suas propriedades mais importantes. Essa seção será usada nos tópicos mais avançados deste livro.