5.3 Aproximação e convergência da esperança

Em inúmeras situações estaremos interessados no limite de $\mathbb{E}X_{n}$ para uma sequência $X_{1},X_{2},X_{3},\dots$ de variáveis aleatórias. Mais precisamente, gostaríamos de poder comutar a esperança com um limite em $n$ , e por isso queremos estabelecer condições sob as quais $\mathbb{E}[\lim_{n}X_{n}]=\lim_{n}\mathbb{E}X_{n}$ . Vale lembrar que derivadas e integrais também são limites.

Para ler o livro em um nível mais básico, esta seção pode ser omitida. Para a leitura em um nível intermediário, as ferramentas desta seção serão usadas principalmente nas Seções 7.4, 8.3 e 10.3. A leitura em nível mais avançado requer o conteúdo da Seção 5.5, que inclui essas ferramentas.

5.3.1 Teorema da Convergência Monótona

Começamos pelo Teorema da Convergência Monótona, que tem menos pré-requisitos técnicos, e o usaremos para demonstrar várias propriedades da esperança enunciadas na seção anterior, usando aproximação por variáveis aleatórias simples e separando as partes positiva e negativa. Este teorema também será usado na Seção 8.3.

Teorema 5.44 (Teorema da Convergência Monótona).

Sejam $X$ e $(X_{n})_{n}$ variáveis aleatórias não-negativas, tais que, para todo $\omega$ , $(X_{n}(\omega))_{n}$ é não-decrescente e converge para $X(\omega)$ . Então $\mathbb{E}X_{n}\to\mathbb{E}X$ quando $n\to\infty$ .

Demonstração.

Como $0\leqslant X_{n}\leqslant X_{n+1}\leqslant X$ , temos que $\lim_{n}\mathbb{E}X_{n}$ existe e $\lim_{n}\mathbb{E}X_{n}\leqslant\mathbb{E}X$ , restando mostrar a desigualdade oposta. Seja $M<\mathbb{E}X$ qualquer, e tome $K$ tal que $\int_{0}^{K}\mathbb{P}(X>x)\,\mathrm{d}x>M$ . Seja $N\in\mathbb{N}$ . Escrevemos

\mathbb{E}X_{n}=\int_{0}^{+\infty}\mathbb{P}(X_{n}>x)\,\mathrm{d}x\geqslant% \int_{0}^{K}\mathbb{P}(X_{n}>x)\,\mathrm{d}x=\\ =\sum_{j=1}^{N}\int_{(j-1)\frac{K}{N}}^{j\frac{K}{N}}\mathbb{P}(X_{n}>x)\,% \mathrm{d}x\geqslant\sum_{j=1}^{N}\tfrac{K}{N}\mathbb{P}(X_{n}>j\tfrac{K}{N})% \to\sum_{j=1}^{N}\tfrac{K}{N}\mathbb{P}(X>j\tfrac{K}{N}),

pois $\{X_{n}>a\}\uparrow\{X>a\}$ . De forma análoga,

M\leqslant\int_{0}^{K}\mathbb{P}(X>x)\,\mathrm{d}x\leqslant\sum_{j=0}^{N-1}% \tfrac{K}{N}\mathbb{P}(X>j\tfrac{K}{N})\leqslant\tfrac{K}{N}+\sum_{j=1}^{N}% \tfrac{K}{N}\mathbb{P}(X>j\tfrac{K}{N}).

Combinando as desigualdades acima, $\lim_{n}\mathbb{E}X_{n}\geqslant M-\frac{K}{N}$ . Como isso vale para todo $N\in\mathbb{N}$ , segue que $\lim_{n}\mathbb{E}X_{n}\geqslant M$ . Como isso vale para todo $M<\mathbb{E}X$ , segue que $\lim_{n}\mathbb{E}X_{n}\geqslant\mathbb{E}X$ , concluindo a prova. ∎

Uma primeira aplicação deste teorema é a fórmula para esperança de funções de variáveis aleatórias discretas.

Demonstração do Teorema 5.36.

Seja $B=\{x_{1},x_{2},x_{3},\dots\}\subseteq\mathbb{R}$ tal que $\mathbb{P}(X\not\in B)=0$ . Podemos supor que $X(\omega)\in B$ para todo $\omega\in\Omega$ , pois caso contrário bastaria considerar $\tilde{X}=X\mathds{1}_{\{X\in B\}}$ . Defina $g_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}g(x_{k})\mathds{1}_{\{x_{k}\}}(x)$ e observe que $g_{n}(x)\uparrow g(x)$ para todo $x\in B$ , donde $g_{n}(X)\uparrow g(X)$ . Usando o Teorema 5.15 e o Teorema da Convergência Monótona,

\displaystyle\mathbb{E}[g(X)]=\lim_{n}\mathbb{E}[g_{n}(X)]=\lim_{n}\sum_{k=1}^% {n}g(x_{k})\mathbb{P}(X=x_{k})=\sum_{x}g(x)\mathbb{P}(X=x),

provando o Teorema 5.36. ∎

Demonstração do Teorema 5.26.

Como $\mathbb{E}X=\mathbb{E}X^{+}-\mathbb{E}X^{-}$ , basta aplicar o Teorema 5.36 com $g(x)=x^{+}$ e $g(x)=x^{-}$ , respectivamente. ∎

Para provar a propriedade de linearidade do Teorema 5.30, usaremos linearidade para variáveis aleatórias simples combinada com o fato de que sempre é possível aproximar variáveis não-negativas por variáveis simples.

Proposição 5.45.

Existe uma sequência de funções não-decrescentes $(\psi_{n})_{n}:\mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R}_{+}$ , cada uma das quais assumindo finitos valores, e tais que $\psi_{n}(x)\uparrow x$ para todo $x\geqslant 0$ .

Demonstração.

Para $n\in\mathbb{N}$ , seja $\psi_{n}$ definida por

\psi_{n}(x)=2^{-n}\cdot\max\left\{j\in\{0,1,\dots,2^{n}n\}\,:\,2^{-n}j% \leqslant x\right\},

(5.46)

ilustrada na Figura 5.3.

Figura 5.3: Gráfico de $\psi_{2}$ e a aproximação $\psi_{n}(z)\uparrow z$ para um $z$ fixo.

Observe que cada $\psi_{n}$ assume finitos valores. Ademais, dado $x\geqslant 0$ , temos que $x\geqslant\psi_{n+1}(x)\geqslant\psi_{n}(x)$ para todo $n\in\mathbb{N}$ , e para $n\geqslant x$ temos também $\psi_{n}(x)\geqslant x-2^{-n}$ . Portanto, esta sequência de funções satisfaz às propriedades enunciadas. ∎

Demonstração do Teorema 5.30.

Já provamos unitariedade e monotonicidade. Para a linearidade, primeiro observamos que da definição de esperança segue que $\mathbb{E}[aX]=a\,\mathbb{E}X$ , restando apenas mostrar que $\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}X+\mathbb{E}Y$ .

Suponha inicialmente que $X$ e $Y$ sejam não-negativas. Seja $(\psi_{n})_{n}$ a sequência de funções monótonas dadas pela Proposição 5.45. Usando o Teorema 5.9 e o Teorema da Convergência Monótona três vezes,

\mathbb{E}[X+Y]=\lim_{n}\mathbb{E}[\psi_{n}(X)+\psi_{n}(Y)]=\lim_{n}(\mathbb{E% }[\psi_{n}(X)]+\mathbb{E}[\psi_{n}(Y)])=\mathbb{E}X+\mathbb{E}Y.

Finalmente, sejam $X$ e $Y$ duas variáveis aleatórias quaisquer. Expandindo,

(X+Y)^{+}-(X+Y)^{-}=X+Y=X^{+}-X^{-}+Y^{+}-Y^{-},

donde

(X+Y)^{+}+X^{-}+Y^{-}=(X+Y)^{-}+X^{+}+Y^{+}.

Como todas as variáveis aleatórias acima são não-negativas, pelo caso anterior temos

\mathbb{E}(X+Y)^{+}+\mathbb{E}X^{-}+\mathbb{E}Y^{-}=\mathbb{E}(X+Y)^{-}+% \mathbb{E}X^{+}+\mathbb{E}Y^{+}.

Como estamos supondo que $\mathbb{E}X$ está definida, temos $\mathbb{E}X^{-}<\infty$ ou $\mathbb{E}X^{+}<\infty$ . Suponhamos que valha o primeiro caso (se for o segundo, o argumento será análogo). Como $Y$ é integrável, $\mathbb{E}Y^{-}<\infty$ e $\mathbb{E}(X+Y)^{-}\leqslant\mathbb{E}X^{-}+\mathbb{E}Y^{-}<\infty$ . Assim, podemos subtrair esses três termos, obtendo

\mathbb{E}(X+Y)^{+}-\mathbb{E}(X+Y)^{-}=(\mathbb{E}X^{+}-\mathbb{E}X^{-})+(% \mathbb{E}Y^{+}-\mathbb{E}Y^{-}),

o que conclui a prova da linearidade. ∎

Demonstração da Proposição 5.32.

Suponha que $X$ e $Y$ são não-negativas. Seja $(\psi_{n})_{n}$ a sequência de funções monótonas dadas pela Proposição 5.45. Usando o Teorema 5.17 e o Teorema da Convergência Monótona três vezes,

\mathbb{E}[XY]=\lim_{n}\mathbb{E}[\psi_{n}(X)\psi_{n}(Y)]=\lim_{n}(\mathbb{E}[% \psi_{n}(X)]\cdot\mathbb{E}[\psi_{n}(Y)])=\mathbb{E}X\cdot\mathbb{E}Y.

Suponha agora que $X$ e $Y$ são integráveis. Usando o caso anterior,

	$\displaystyle\mathbb{E}[XY]$	$\displaystyle=\mathbb{E}[X^{+}Y^{+}-X^{+}Y^{-}-X^{-}Y^{+}+X^{-}Y^{-}]$
		$\displaystyle=\mathbb{E}X^{+}\cdot\mathbb{E}Y^{+}-\mathbb{E}X^{+}\cdot\mathbb{% E}Y^{-}-\mathbb{E}X^{-}\cdot\mathbb{E}Y^{+}+\mathbb{E}X^{-}\cdot\mathbb{E}Y^{-}$
		$\displaystyle=(\mathbb{E}X^{+}-\mathbb{E}X^{-})(\mathbb{E}Y^{+}-\mathbb{E}Y^{-% })=\mathbb{E}X\cdot\mathbb{E}Y.\qed$

5.3.2 Teorema da Convergência Dominada

Veremos agora o Teorema da Convergência Dominada, cuja demonstração exige ferramentas um pouco mais avançadas. Isto nos permitirá, por exemplo, dar condições para tomar derivadas dentro da esperança, o que será usado nas Seções 10.1 e 10.2.

Teorema 5.47 (Teorema da Convergência Dominada).

Sejam $(X_{n})_{n},X$ e $Y$ variáveis aleatórias. Se $\mathbb{P}(X_{n}\to X)=1$ e $\mathbb{P}(|X_{n}|\leqslant Y)=1$ para todo $n\in\mathbb{N}$ , com $Y$ integrável, então $\mathbb{E}X_{n}\to\mathbb{E}X$ quando $n\to\infty$ .

Demonstração.

A prova usa o seguinte fato. Dada uma sequência $(Z_{n})_{n}$ de variáveis aleatórias não-negativas tais que $\liminf_{n}Z_{n}(\omega)$ é finito para todo $\omega\in\Omega$ , vale

\mathbb{E}[\liminf_{n}Z_{n}]\leqslant\liminf_{n}\mathbb{E}Z_{n}.

(5.48)

Com efeito, tomando $Y_{n}=\inf_{k\geqslant n}Z_{k}$ e definindo $Y=\liminf_{n}Z_{n}$ , obtemos $0\leqslant Y_{n}\uparrow Y$ . Pelo Teorema da Convergência Monótona, $\lim_{n}\mathbb{E}Y_{n}=\mathbb{E}Y.$ Como $Y_{n}\leqslant Z_{n}$ , temos $\liminf_{n}\mathbb{E}Z_{n}\geqslant\liminf_{n}\mathbb{E}Y_{n}=\mathbb{E}Y=% \mathbb{E}[\liminf_{n}Z_{n}]$ , provando a desigualdade acima.

Passemos à prova do teorema. Sem perda de generalidade, podemos supor que $X_{n}\to X$ e $\sup_{n}|X_{n}|\leqslant Y$ para todo $\omega\in\Omega$ (exercício!). Como $X_{n}\leqslant Y$ , temos $Y-X_{n}\geqslant 0$ , e portanto podemos aplicar (5.48), obtendo

\liminf_{n}\mathbb{E}[Y-X_{n}]\geqslant\mathbb{E}[\liminf_{n}(Y-X_{n})]=% \mathbb{E}[Y-X]

Como $Y$ é integrável, vale $\mathbb{E}[Y-X_{n}]=\mathbb{E}Y-\mathbb{E}X_{n}$ , $\mathbb{E}[Y-X]=\mathbb{E}Y-\mathbb{E}X$ e

\limsup_{n}\mathbb{E}X_{n}\leqslant\mathbb{E}X.

Aplicando o mesmo argumento com $-X_{n}$ no lugar de $X_{n}$ , obtemos a desigualdade oposta $\liminf_{n}\mathbb{E}X_{n}\geqslant\mathbb{E}X,\text{ e portanto }\mathbb{E}X_% {n}\to\mathbb{E}X.$ ∎

Uma das aplicações desse teorema é quando estamos considerando uma grandeza expressa em termos de uma variável aleatória e um parâmetro real. Sob certas condições, podemos derivar dentro da esperança.

Teorema 5.49.

Seja $f:[a,b]\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ contínua, com $\frac{\partial}{\partial t}f(t,x)$ também contínua, e seja $X$ uma variável aleatória. Suponha que $f(t,X)$ é integrável para todo $t\in[a,b]$ , e que existe uma variável aleatória integrável $Y$ tal que

\Big{\lvert}\tfrac{\partial}{\partial t}f(t,X)\Big{\rvert}\leqslant Y\text{ q.% c., para todo }t\in[a,b].

Então $\mathbb{E}[f(t,X)]$ é diferenciável em $[a,b]$ e

\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,\mathbb{E}[f(t,X)]=\mathbb{E}\Big{[}\tfrac{% \partial}{\partial t}f(t,X)\Big{]}.

Em $t=a$ e $t=b$ , as derivadas acima são derivadas laterais. O mesmo vale se consideramos o intervalo aberto $(a,b)$ .

Demonstração.

Pelo Teorema do Valor Médio, para todos $x\in\mathbb{R}$ e todos $s,t\in[a,b]$ tais que $s\neq t$ ,

\frac{f(s,x)-f(t,x)}{s-t}=\tfrac{\partial}{\partial t}f(\theta,x),

onde $\theta=\theta(s,t,x)$ está entre $t$ e $s$ . Portanto,

\Big{\lvert}\frac{f(s,X)-f(t,X)}{s-t}\Big{\rvert}=\Big{\lvert}\tfrac{\partial}% {\partial t}f(\theta,X)\Big{\rvert}\leqslant Y\text{ q.c.}

Tomando uma sequência $s_{n}\to t$ qualquer, podemos usar o Teorema da Convergência Dominada, obtendo

\displaystyle\lim_{s\to t}\mathbb{E}\Big{[}\frac{f(s,X)-f(t,X)}{s-t}\Big{]}=% \mathbb{E}\Big{[}\lim_{s\to t}\frac{f(s,X)-f(t,X)}{s-t}\Big{]}.

O termo da esquerda é igual a $\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,\mathbb{E}[f(t,X)]$ e o termo da direita é $\mathbb{E}\big{[}\frac{\partial}{\partial t}f(t,X)\big{]}$ . Caso $t=a$ ou $t=b$ , tomamos $s\to t^{\pm}$ . Isso conclui a prova. ∎