8.3 Leis Fortes de Kolmogorov

Nesta seção provaremos outras duas versões de Leis Forte dos Grandes Números com hipóteses mais generosas que aquelas dos Teoremas 8.5 e 8.6.

A Primeira Lei Forte de Kolmogorov, provada em 1930, permite que as variáveis não tenham a mesma distribuição, mas tem uma condição sobre as variâncias. A chamada Lei Forte de Kolmogorov, provada em 1933, estabelece que a hipótese de integrabilidade é suficiente no caso de variáveis i.i.d., e é baseada na Primeira Lei Forte combinada com o método de truncamento.

A prova que daremos para a Primeira Lei Forte de Kolmogorov usa a elegante ideia, introduzida por Etemadi em 1981, de considerar variáveis não-negativas e estudar uma subsequência que cresce exponencialmente rápido porém com expoente pequeno. Com essa ideia precisamos apenas que as variáveis sejam independentes duas a duas, mas temos que supor uma condição sobre o primeiro momento que não era usada na demonstração original. Isso também permite provar a Lei Forte de Kolmogorov supondo apenas que as variáveis sejam independentes duas a duas.

Teorema 8.8 (Primeira Lei Forte dos Grandes Números).

Sejam (Yn)n(Y_{n})_{n} variáveis independentes duas a duas. Suponha que supn𝔼⁢|Yn|<∞\sup_{n}\mathbb{E}|Y_{n}|<\infty e ∑n=1∞𝔼⁢Yn2n2<∞\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mathbb{E}Y_{n}^{2}}{n^{2}}<\infty. Então

Y1+⋯+Yn−𝔼⁢[Y1+⋯+Yn]n⁢→q.c.⁢0.\frac{Y_{1}+\cdots+Y_{n}-\mathbb{E}[Y_{1}+\cdots+Y_{n}]}{n}\overset{\mathrm{q.% c.}}{\rightarrow}0.
Demonstração.

Utilizando a decomposição Yn=Yn+−Yn−Y_{n}=Y_{n}^{+}-Y_{n}^{-}, podemos supor, sem perda de generalidade, que YnY_{n} é não-negativa para todo n∈ℕn\in\mathbb{N}. Denotamos as somas por Tn=Y1+⋯+YnT_{n}=Y_{1}+\dots+Y_{n}. Mostraremos primeiro que

Tkn−𝔼⁢Tknkn⁢→q.c.⁢0\frac{T_{k_{n}}-\mathbb{E}T_{k_{n}}}{k_{n}}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0

para uma família especial de subsequências (kn)n(k_{n})_{n}. Seja α>1\alpha>1. Defina kn=⌊αn⌋k_{n}=\lfloor\alpha^{n}\rfloor. Note que kn−2⩽4⁢α−2⁢nk_{n}^{-2}\leqslant 4\alpha^{-2n} (pois x⩽2⁢⌊x⌋x\leqslant 2\lfloor x\rfloor para todo x⩾1x\geqslant 1) e kn+1kn→α\frac{k_{n+1}}{k_{n}}\to\alpha. Para cada r∈ℕr\in\mathbb{N}, escrevemos nr=min⁡{n∈ℕ:kn⩾r}⩾logα⁡rn_{r}=\min\{n\in\mathbb{N}:k_{n}\geqslant r\}\geqslant\log_{\alpha}r.

Estimando a partir da Desigualdade de Tchebyshev, obtemos

∑n=1∞ℙ⁢(|Tkn−𝔼⁢Tkn|⩾ε⁢kn)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(|T_{k_{n}}-\mathbb{E}T_{k_{n}}|% \geqslant\varepsilon k_{n}) ⩽∑n=1∞𝕍⁢Tknε2⁢kn2=ε−2⁢∑n=1∞kn−2⁢∑r=1kn𝕍⁢Yr\displaystyle\leqslant\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mathbb{V}T_{k_{n}}}{% \varepsilon^{2}k_{n}^{2}}=\varepsilon^{-2}\sum_{n=1}^{\infty}k_{n}^{-2}\sum_{r% =1}^{k_{n}}\mathbb{V}Y_{r}
=ε−2⁢∑r=1∞𝕍⁢Yr⁢∑n:kn⩾rkn−2=ε−2⁢∑r=1∞𝕍⁢Yr⁢∑n=nr∞kn−2\displaystyle=\varepsilon^{-2}\sum_{r=1}^{\infty}\mathbb{V}Y_{r}\sum_{n:k_{n}% \geqslant r}k_{n}^{-2}=\varepsilon^{-2}\sum_{r=1}^{\infty}\mathbb{V}Y_{r}\sum_% {n=n_{r}}^{\infty}k_{n}^{-2}
⩽ε−2⁢∑r=1∞𝕍⁢Yr⁢4⁢α−2⁢nr1−α−2⩽4⁢ε−21−α−2⁢∑r=1∞𝕍⁢Yrr2<∞,\displaystyle\leqslant\varepsilon^{-2}\sum_{r=1}^{\infty}\mathbb{V}Y_{r}\frac{% 4\alpha^{-2n_{r}}}{1-\alpha^{-2}}\leqslant\frac{4\varepsilon^{-2}}{1-\alpha^{-% 2}}\sum_{r=1}^{\infty}\frac{\mathbb{V}Y_{r}}{r^{2}}<\infty,

onde na primeira igualdade usamos a hipótese de que as variáveis (Yn)n(Y_{n})_{n} são independentes duas a duas. Pelos Lema de Borel-Cantelli e Proposição 7.16,

Tkn−𝔼⁢Tknkn⁢→q.c.⁢0.\frac{T_{k_{n}}-\mathbb{E}T_{k_{n}}}{k_{n}}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow% }0. (8.9)

Para concluir a prova, falta preencher as lacunas, controlando a diferença

Tr−𝔼⁢Trr\frac{T_{r}-\mathbb{E}T_{r}}{r}

para todo r∈ℕr\in\mathbb{N} grande e não apenas na subsequência knk_{n}. É aqui que usamos a hipótese de que as variáveis YnY_{n} são não-negativas. Para cada r⩾αr\geqslant\alpha, tomamos n=nr−1n=n_{r}-1, de forma que 1⩽kn<r⩽kn+11\leqslant k_{n}<r\leqslant k_{n+1}. Usando o fato de que TrT_{r} e 𝔼⁢Tr\mathbb{E}T_{r} são não-decrescentes e M=supr𝔼⁢Yr<∞M=\sup_{r}\mathbb{E}Y_{r}<\infty, vamos trabalhar a expressão acima para reduzir o problema a (8.9). Para isso, primeiro majoramos, depois alinhamos os índices do numerador, e finalmente os do denominador:

Tr−𝔼⁢Trr\displaystyle\frac{T_{r}-\mathbb{E}T_{r}}{r} ⩽Tkn+1−𝔼⁢Tknr⩽Tkn+1kn−𝔼⁢Tknkn+1\displaystyle\leqslant\frac{T_{k_{n+1}}-\mathbb{E}T_{k_{n}}}{r}\leqslant\frac{% T_{k_{n+1}}}{k_{n}}-\frac{\mathbb{E}T_{k_{n}}}{k_{n+1}}
=Tkn+1kn−𝔼⁢Tkn+1kn+(1kn−1kn+1)⁢𝔼⁢Tkn+1+𝔼⁢[Tkn+1−Tkn]kn+1\displaystyle=\frac{T_{k_{n+1}}}{k_{n}}-\frac{\mathbb{E}T_{k_{n+1}}}{k_{n}}+(% \tfrac{1}{k_{n}}-\tfrac{1}{k_{n+1}})\mathbb{E}T_{k_{n+1}}+\frac{\mathbb{E}[T_{% k_{n+1}}-T_{k_{n}}]}{k_{n+1}}
⩽kn+1kn⋅Tkn+1−𝔼⁢Tkn+1kn+1+(1kn−1kn+1)⁢kn+1⁢M+kn+1−knkn+1⁢M.\displaystyle\leqslant\frac{k_{n+1}}{k_{n}}\cdot\frac{T_{k_{n+1}}-\mathbb{E}T_% {k_{n+1}}}{k_{n+1}}+(\tfrac{1}{k_{n}}-\tfrac{1}{k_{n+1}})k_{n+1}M+\frac{k_{n+1% }-k_{n}}{k_{n+1}}M.

Usando (8.9), vemos que lim suprTr−𝔼⁢Trr⩽α⋅0+(α−1)⁢M+(1−α−1)⁢M\limsup_{r}\frac{T_{r}-\mathbb{E}T_{r}}{r}\leqslant\alpha\cdot 0+(\alpha-1)M+(% 1-\alpha^{-1})M q.c. Como isso vale para todo α>1\alpha>1, lim suprTr−𝔼⁢Trr⩽0\limsup_{r}\frac{T_{r}-\mathbb{E}T_{r}}{r}\leqslant 0 q.c. De forma análoga, mostramos que lim infrTr−𝔼⁢Trr⩾0\liminf_{r}\frac{T_{r}-\mathbb{E}T_{r}}{r}\geqslant 0 q.c., o que conclui a prova. ∎

Lema 8.10.

Seja (Xn)n(X_{n})_{n} uma sequência de variáveis aleatórias identicamente distribuídas e integráveis. Para cada n∈ℕn\in\mathbb{N}, defina Yn=Xn⁢𝟙{|Xn|⩽n}Y_{n}=X_{n}\mathds{1}_{\{|X_{n}|\leqslant n\}}. Então ∑n=1∞𝔼⁢Yn2n2<∞\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mathbb{E}Y_{n}^{2}}{n^{2}}<\infty.

Demonstração.

Escrevendo X=|X1|X=|X_{1}| por simplicidade,

∑n=1∞n−2⁢𝔼⁢Yn2=∑n=1∞n−2⁢𝔼⁢[Xn2⁢𝟙{|Xn|⩽n}]=∑n=1∞n−2⁢𝔼⁢[X2⁢𝟙{X⩽n}]\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n^{-2}\mathbb{E}Y_{n}^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}n% ^{-2}\mathbb{E}[X_{n}^{2}\mathds{1}_{\{|X_{n}|\leqslant n\}}]=\sum_{n=1}^{% \infty}n^{-2}\mathbb{E}[X^{2}\mathds{1}_{\{X\leqslant n\}}]
=𝔼⁢[X2⁢∑n=1∞n−2⁢𝟙{X⩽n}]⩽𝔼⁢[X2⁢(X−1+X−2)]=1+𝔼⁢X<∞,\displaystyle=\mathbb{E}\Big{[}X^{2}\sum_{n=1}^{\infty}n^{-2}\mathds{1}_{\{X% \leqslant n\}}\Big{]}\leqslant\mathbb{E}\Big{[}X^{2}(X^{-1}+X^{-2})\Big{]}=1+% \mathbb{E}X<\infty,

onde usamos o Teorema da Convergência Monótona para comutar soma e esperança, além da estimativa ∑n⩾⌈x⌉n−2⩽x−1+x−2\sum_{n\geqslant\lceil x\rceil}n^{-2}\leqslant x^{-1}+x^{-2} para x>0x>0. ∎

Teorema 8.11 (Segunda Lei Forte dos Grandes Números).

Seja (Xn)n(X_{n})_{n} sequência de variáveis aleatórias, independentes duas a duas, identicamente distribuídas e integráveis. Então

X1+⋯+Xnn⁢→q.c.⁢𝔼⁢X1.\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}\mathbb{E}X_{1}.
Demonstração.

Seja Yn=Xn⁢𝟙{|Xn|⩽n}Y_{n}=X_{n}\mathds{1}_{\{|X_{n}|\leqslant n\}} para cada n∈ℕn\in\mathbb{N}. Combinando o Lema 8.10 com a Primeira Lei Forte dos Grandes Números, obtemos

Y1+⋯+Yn−𝔼⁢[Y1+⋯+Yn]n⁢→q.c.⁢0.\frac{Y_{1}+\dots+Y_{n}-\mathbb{E}[Y_{1}+\dots+Y_{n}]}{n}\overset{\mathrm{q.c.% }}{\rightarrow}0.

Por outro lado, do Teorema da Convergência Dominada,

𝔼⁢Yn=𝔼⁢[Xn⁢𝟙{|Xn|⩽n}]=𝔼⁢[X1⁢𝟙{|X1|⩽n}]→𝔼⁢X1\mathbb{E}Y_{n}=\mathbb{E}[X_{n}\mathds{1}_{\{|X_{n}|\leqslant n\}}]=\mathbb{E% }[X_{1}\mathds{1}_{\{|X_{1}|\leqslant n\}}]\to\mathbb{E}X_{1}

e, por conseguinte,

𝔼⁢[Y1+⋯+Yn]n→𝔼⁢X1.\frac{\mathbb{E}[Y_{1}+\dots+Y_{n}]}{n}\to\mathbb{E}X_{1}.

Combinando estes limites, obtemos

Y1+⋯+Ynn⁢→q.c.⁢𝔼⁢X1.\frac{Y_{1}+\dots+Y_{n}}{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}\mathbb{E}X_{1}.

Finalmente, escrevemos Xn=Yn+ZnX_{n}=Y_{n}+Z_{n}, onde Zn=Xn⁢𝟙{|Xn|>n}Z_{n}=X_{n}\mathds{1}_{\{|X_{n}|>n\}}. Veja que

∑n=1∞ℙ⁢(Zn≠0)=∑n=1∞ℙ⁢(|Xn|>n)=∑n=1∞ℙ⁢(|X1|>n)<∞\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(Z_{n}\neq 0)=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(|X_{n% }|>n)=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(|X_{1}|>n)<\infty

pela Proposição 5.35. Pelo Lema de Borel-Cantelli, ℙ⁢(Zn≠0⁢ i.v.)=0\mathbb{P}(Z_{n}\neq 0\text{ i.v.})=0, logo Zn⁢→q.c.⁢0Z_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0 e portanto

Z1+⋯+Znn⁢→q.c.⁢0,\frac{Z_{1}+\dots+Z_{n}}{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0,

concluindo a prova. ∎