8.4 Algumas aplicações

O teorema abaixo tem um papel central em Estatística Matemática. Ele relaciona a chamada função de distribuição empírica, construída a partir de observações de variáveis aleatórias i.i.d., com a função de distribuição comum a essas variáveis, em princípio desconhecida. Suas aplicações ocorrem em várias áreas, como por exemplo Econometria e Aprendizado de Máquina.

A esta altura está claro que Análise Real e Teoria da Medida são ferramentas mais que importantes para o estudo de Probabilidade. Porém, um fato notável é que temos uma via de mão dupla. Há teoremas da Análise que podem ser obtidos com demonstrações probabilísticas. O Teorema de Weierstrass diz que toda função $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ contínua, por mais complicada que seja, pode ser aproximada uniformemente por uma sequência de polinômios.¹³¹³ 13 O Teorema 8.13 foi provado originalmente por Weierstrass em 1885. A demonstração probabilística que fornecemos é devida a Bernstein, publicada em 1912. Observe que trata-se de um teorema puramente de Análise Real.

Sejam $f$ e $\varepsilon$ como no enunciado. Podemos supor que $a=0$ e $b=1$, pois há uma bijeção entre $[0,1]$ e $[a,b]$ em forma de polinômio. Como $f$ é contínua no intervalo fechado $[0,1]$, existe $M$ tal que $|f(p)|\leqslant M$ para todo $p\in[0,1]$. Ademais, existe $\delta>0$ tal que $|f(p)-f(q)|<\frac{\varepsilon}{2}$ para todos $p,q\in[0,1]$ tais que $|p-q|<\delta$, porque $f$ é uniformemente contínua (Teorema A.17).

O polinômio que vai aproximar $f$ será a esperança de uma variável aleatória cuja distribuição é parametrizada por $p$.

Fixe algum $n>\frac{M}{\varepsilon\delta^{2}}$. Para $p\in[0,1]$, defina uma variável aleatória $Z_{p}\sim\mathop{\mathrm{Binom}}\nolimits(n,p)$ e $X_{p}=\frac{Z_{p}}{n}$. Note que $X_{p}$ toma valores em $[0,1]$ e tem média $p$.

O polinômio desejado será dado por

que é chamado polinômio de Bernstein.

Estimamos $g(p)-f(p)$ usando a Desigualdade de Tchebyshev:

o que conclui a prova do Teorema de Weierstrass.

No problema da agulha de Buffon (Seção 1.1.3), vimos que ao lançarmos aleatoriamente uma agulha de comprimento $\ell$ sobre um piso cortado por um feixe de retas paralelas e equidistantes também de $\ell$, a probabilidade de a agulha cruzar uma das retas do piso é de $\tfrac{2}{\pi}$. Sendo assim, se lançarmos uma agulha sucessivas vezes e de modo independente, a Lei Forte dos Grandes Números nos diz que

onde $X_{k}$ é a função indicadora do evento que a agulha cruza alguma reta do piso na $k$-ésima tentativa. Portanto, a Lei dos Grandes Números pode ser usada em simulações de lançamentos de agulha para estimarmos o valor de $\pi$. Isto é, $\frac{2n}{X_{1}+\dots+X_{n}}$ se aproxima de $\pi$ quando o número de tentativas, $n$, é grande. Mais que isto, a Desigualdade de Tchebyshev nos diz que

Ou seja, temos inclusive um certo controle do quão grande deve ser o número de lançamentos, $n$, para que uma aproximação com margem de erro $\varepsilon$ tenha determinado nível de confiabilidade (no caso, $1-\frac{1}{4n\varepsilon^{2}}$).¹⁴¹⁴ 14 Este experimento já foi realizado por diversas personalidades ao longo do tempo, sendo que a provável primeira aproximação foi realizada pelo astrônomo suíço R. Wolf em 1850 que ao lançar uma agulha 5.000 vezes encontrou a aproximação $\pi\approx 3{,}1596$.

Damos o nome de Método de Monte Carlo a qualquer cálculo que façamos via simulação (seja com computadores, lançando agulhas, dados, etc.), onde utilizamos a Lei dos Grandes Números para justificar o referido cálculo, como no exemplo acima. Tal ideia é utilizada em diversos campos do conhecimento, podendo ser aplicada desde o cálculo de velocidade de moléculas a probabilidades relacionadas a campeonatos de futebol.

Suponha que um número $x$ tenha sido sorteado de modo uniforme em $[0,1)$. O que podemos dizer sobre a frequência relativa com que cada dígito aparece na expansão decimal de $x$?

De modo mais formal, seja $U$ uma variável aleatória com distribuição uniforme em $[0,1)$ e defina $(X_{n})_{n}$, tomando valores em $\{0,1,\dots,9\}$ como sendo a sequência de dígitos na expansão decimal de $U$.

Analogamente ao Lema 4.28, a sequência $(X_{n})_{n}$ é i.i.d. com distribuição uniforme no conjunto $\{0,1,\dots,9\}$. Portanto, para todo dígito $k\in\{0,1,\dots,9\}$, a sequência $(Z^{k}_{n})_{n}$, dada por $Z^{k}_{n}=\mathds{1}_{\{X_{n}=k\}}$, também é i.i.d. com distribuição $\mathop{\mathrm{Bernoulli}}\nolimits(\tfrac{1}{10})$. Pela Lei Forte dos Grandes Números,

Dizemos que um número é simplesmente normal na base $10$ se todos os dígitos de sua expansão decimal aparecem com frequência relativa igual a $\tfrac{1}{10}$. Observe que um número racional é simplesmente normal na base $10$ se, e somente se, sua dízima periódica contém todos os 10 dígitos e todos eles têm a mesma frequência de $\tfrac{1}{10}$. Pela afirmação acima, um número sorteado uniformemente em $[0,1)$ é simplesmente normal na base $10$, quase certamente. Acredita-se que $e$, $\pi$ e $\sqrt{2}$ sejam normais apesar de não haver ainda uma prova.

Dizemos que um número é normal na base $10$ se, para todo $l\in\mathbb{N}$, todas as $10^{l}$ sequências de $l$ dígitos aparecem em sua expansão decimal com frequência relativa igual a $\tfrac{1}{10^{l}}$. Utilizando a Lei Forte dos Grandes Números e com algum esforço adicional, pode-se mostrar que um número sorteado uniformemente em $[0,1)$ é quase certamente normal na base $10$. A prova será dada como exercício guiado ao final deste capítulo.

Dado um número natural $b\geqslant 2$, dizemos que um número real é simplesmente normal na base $b$ se todos os dígitos de sua expansão na base $b$ aparecem com frequência relativa igual a $\tfrac{1}{b}$, e dizemos que um número real é normal na base $b$ se, para todo $l\in\mathbb{N}$, todas as $b^{l}$ sequências de $l$ dígitos aparecem em sua expansão decimal com frequência relativa igual a $\tfrac{1}{b^{l}}$. No mesmo exercício guiado vamos mostrar que um número sorteado uniformemente em $[0,1)$ é quase certamente normal na base $b$.

Finalmente, dizemos que um número é normal se ele é normal em toda base. Observe que um número sorteado uniformemente em $[0,1)$ é quase certamente normal, pois o evento de ser normal é interseção enumerável de eventos com probabilidade $1$. Apesar disso, a construção explícita de um número normal é algo bastante desafiador.